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高中数学必修2-3第一章1.2 1.2.1第1课时排列与排列数公式


1.2 排列与组合 1.2.1 排 列 第 1 课时 排列与排列数公式

1.问题导航 (1)排列的概念是什么?两个排列是相同排列的条件是什么? (2)排列数的定义是什么?什么是排列数公式? 2.例题导读 (1)例 1 是排列数的计算,请试做教材 P20 练习 2 题. (2)例 2、例 3、例 4 是排列的实际问题,请试做教材 P20 练习 5、6 题.

r />
1.排列 (1)一般地, 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素, 按照________一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素________完全相同,且元素的________排 列顺序也相同. 2.排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有________不同排列的个数叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的排列数,用________Am n 表示. n! (2)排列数公式 Am ; n =________n(n-1)(n-2)?(n-m+1)= (n-m)! 特别地,An (m,n∈N*,且 m≤n),0! n=________n×(n-1)×(n-2)×?×3×2×1=n! =________1.

1.判断(对的打“√”,错的打“×”) (1)a,b,c 与 b,a,c 是同一个排列.( ) (2)同一个排列中,同一个元素不能重复出现.( ) (3)在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化.( ) (4)从 4 个不同元素中任取三个元素,只要元素相同得到的就是相同的排列.( 答案:(1)× (2)√ (3)× (4)× 2.下列问题属于排列问题的是( ) ①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地; ②从 10 个人中选 2 人去扫地; ③从班上 30 名男生中选出 5 人组成一个篮球队; ④从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算.

)

A.①④ B.①② C.④ D.①③④ 答案:A 3.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为( A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲 B.甲乙丙,乙丙甲 C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙 D.甲乙,甲丙,乙丙 答案:C 2 4.A4 =________,A3 3=________. 答案:12 6

)

1.排列定义的两个要素 一是“取出元素”,二是“将元素按一定顺序排列”,这是排列的两个要素. 2.对排列数公式的说明 (1)这个公式是在 m,n∈N*,m≤n 的情况下成立的,m>n 时不成立. (2)公式右边是 m 个数的连乘积,形式较复杂,其特点是:从 n 开始,依次递减 1,连 乘 m 个. 3.排列与排列数的区别 排列与排列数是两个不同的概念,一个排列就是完成一件事的一种方法,不是数;排列 m 数是指所有排列的个数,它是一个数.符号 Am n 中,m,n 均为正整数,且 m≤n,An 是一个 整体.

排列的概念 判断下列问题是否为排列问题: (1)北京、 上海、 天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同); (2)选 2 个小组分别去植树和种菜; (3)选 2 个小组去种菜; (4)选 10 人组成一个学习小组; (5)选 3 个人分别担任班长、学习委员、生活委员; (6)某班 40 名学生在假期相互通信. [解] (1)中票价只有三种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所 以不是排列问题. (2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.

(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题. (5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于 排列问题. (6)A 给 B 写信与 B 给 A 写信是不同的,所以存在着顺序问题,属于排列问题. 所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题. 判断一个具体问题是否为排列问题, 就看取出元素后排列是有序的还是无序的, 而检验 它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来 决定),看其结果是否有变化,有变化就是排列问题,无变化就不是排列问题.

1.(1)从 1,2,3,4 四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们 的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两 数字位置无关,故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题. (2)判断下列问题是否是排列问题. ①从 1 到 10 十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标,可得多少个不 同的点的坐标? ②从 10 名同学中任抽两名同学去学校开座谈会,有多少种不同的抽取方法? ③某商场有四个大门,若从一个门进去,购买物品后再从另一个门出来,不同的出入方 式共有多少种? 解: ①由于取出的两数组成点的坐标与哪一个数作横坐标, 哪一个数作纵坐标的顺序有 关,所以这是一个排列问题. ②因为从 10 名同学中抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序,所以这不 是排列问题. ③因为从一门进,从另一门出是有顺序的,所以是排列问题. 综上,①、③是排列问题,②不是排列问题.

“树形图”解决排列问题 四个人 A,B,C,D 坐成一排照相有多少种坐法?将它们列举出来. [解] 先安排 A 有 4 种坐法,安排 B 有 3 种坐法,安排 C 有 2 种坐法,安排 D 有 1 种 坐法,由分步乘法计数原理,有 4×3×2×1=24 种. 画出树形图.

由“树形图”可知, 所有坐法为 ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA, DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA. [互动探究] 本例条件再增加一条“A 不坐排头”,则结论如何? 解:画出树形图

由“树形图”可知, 所有坐法为 BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA, 共 18 种坐法. “树形图”在解决排列问题个数不多的情况时, 是一种比较有效的表示方式. 在操作中 先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准,进行分类,在每一类中再按 余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二位元素,再按此元素分类,依次进行,直到完 成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树形图写出排列.

2. (1)从 1, 2, 3, 4 这四个数字中任取两个不同的数字, 则可组成不同的两位数有( A.9 个 B.12 个 C.15 个 D.18 个 解析:选 B.用树形图表示为:

)

由此可知共有 12 个. (2)将玫瑰花、月季花、莲花各一束分别送给甲、乙、丙三人,每人一束,共有多少种 不同的分法?请将它们列出来. 解:按分步乘法计数原理的步骤:

第一步,分给甲,有 3 种分法; 第二步,分给乙,有 2 种分法; 第三步,分给丙,有 1 种分法. 故共有 3×2×1=6 种不同的分法. 列出这 6 种分法,如下: 甲 玫瑰花 玫瑰花 月季花 月季花 莲花 莲花 乙 月季花 莲花 玫瑰花 莲花 玫瑰花 月季花 丙 莲花 月季花 莲花 玫瑰花 月季花 玫瑰花

排列数公式的应用
4 (1)计算 2A3 4+A4; 4 5 4A8+2A8 (2)计算 8 ; A8-A5 9 x 1 (3)求 3Ax 8=4A9 中的 x. 4 [解] (1)2A3 4+A4=2×4×3×2+4×3×2×1=72.


5 4 4A4 4A4 4+8 4 8+2A8 8+2×4A8 (2) 8 = = . 5 4 4= A8-A9 4×3×2A8-9A8 24-9 5

3×8! 4×9! x-1 (3)原方程 3Ax = , 8=4A9 可化为 (8-x)! (10-x)! 即 3×8! 4×9×8! = ,化简, (8-x)! (10-x)(9-x)(8-x)!

得 x2-19x+78=0, 解得 x1=6,x2=13.
?x≤8, ? 由题意知? 解得 x≤8. ? ?x-1≤9,

所以原方程的解为 x=6. (1)排列数的第一个公式 Am n =n(n-1)?(n-m+1)适用于具体计算以及解当 m 较小时的 含有排列数的方程和不等式;在运用该公式时要注意它的特点. (2)排列数的第二个公式 Am n= n! 适用于与排列数有关的证明、解方程、解不等 (n-m)!

式等, 在具体运用时, 应注意先提取公因式, 再计算, 同时还要注意隐含条件“m≤n 且 n∈N*, ” m∈N 的运用.

3.(1)4×5×6×?×(n-1)×n 等于(

)

4 A.A4 B.An n n n-3 C.n!-4! D.An 解析:选 D.4×5×6×?×(n-1)×n 中共有 n-4+1=n-3 个因式,最大数为 n,最小 数为 4, n-3 故 4×5×6×?×(n-1)×n=An . 6 5 4 (2)A6-6A5+5A4=________. 6 5 5 解析:原式=A6 6-A6+A5=A5=5×4×3×2×1=120. 答案:120 +2 x (3)解不等式:Ax 8 <6A8. 解:原不等式可化为


8! 8! <6× , (8-x-2)! (8-x)! 即 x2-15x+50<0,即(x-5)(x-10)<0. 得 5<x<10,
?x+2≤8, ? 又? ?x≤8, ?

∴5<x≤6,x∈N*,∴x=6.

易错警示


因忽视 Am n 中的隐含条件而致误

x 2 解不等式:Ax 9>6A9 . 9! 6·9! [解] 原不等式即 > , (9-x)! (9-x+2)!

由排列数定义知?

?0≤x≤9, ? ? ?0≤x-2≤9,

∴2≤x≤9,x∈N*. 化简得(11-x)(10-x)>6, ∴x2-21x+104>0, 即(x-8)(x-13)>0, ∴x<8 或 x>13. 又 2≤x≤9,x∈N*, ∴2≤x<8,x∈N*. 故 x=2,3,4,5,6,7. [错因与防范] 求解本题易忽视 0≤x≤9,0≤x-2≤9.解含排列数的方程或不等式时, * 要注意排列数 Am n 中,m,n∈N ,且 m≤n 这些限制条件,要注意含排列数的方程和不等式 中未知数的取值范围.

4 3 4.解方程:A2 x+1=140Ax .

? ?2x+1≥4, 解:因为? ?x≥3, ?

所以 x≥3,x∈N*, 3 由 A4 2x+1=140Ax 得 (2x+1)2x(2x-1)(2x-2)=140x(x-1)(x-2). 化简得,4x2-35x+69=0, 23 解得,x1=3,x2= (舍). 4 所以方程的解为 x=3.

1.

A3 4 等于( 5!

) . . 12 5 1 10

1 A. 20 1 C. 5

4×3×2 A3 1 4 解析:选 C. = = . 5! 5×4×3×2×1 5 2.在 A、B、C、D 四位学生中,选出两人担任正、副班长,共有选法( ) A.4 种 B.12 种 2 C.4 种 D.24 种 解析:选 B.这是一个排列问题,即从四个不同元素中选出两个元素的排列数,由公式 2 知 A4=4×3=12,故选 B. 3.一次演出,因临时有变化,拟在已安排好的 4 个节目的基础上再添加 2 个小品节目, 且 2 个小品节目不相邻,则不同的添加方法共有________种. 解析:从原来 4 个节目形成的 5 个空中选 2 个空排列,共有 A2 5=20 种添加方法. 答案:20 4.某药品研究所研制了 5 种消炎药 a1,a2,a3,a4,a5,4 种退热药 b1,b2,b3,b4, 现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验,但 a1,a2 两种药或同时使用或同时 不用,a3,b4 两种药不能同时使用,试写出所有不同试验方法. 解:如图,

由树形图可写出所有不同试验方法如下:a1a2b1,a1a2b2,a1a2b3,a1a2b4,a3a4b1,a3a4b2, a3a4b3,a3a5b1,a3a5b2,a3a5b3,a4a5b1,a4a5b2,a4a5b3,a4a5b4,共 14 种.

[A.基础达标] 1.①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组; ②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动; ③从 a,b,c,d 四个字母中取出两个字母;

④从 1,2,3,4,5 五个数字中取出 3 个数字组成一个三位数. 其中是排列问题的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:选 B.①是排列问题,因为两名同学参加的活动与顺序有关;②不是排列问题, 因为两名同学参加的活动与顺序无关;③不是排列问题,因为取出的两个字母与顺序无关; ④是排列问题,因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列. 2.已知 A2 ) n=132,则 n 等于( A.11 B.12 C.13 D.14 解析:选 B.由已知得 n(n-1)=132,即 n2-n-132=0, ∴n=12 或 n=-11(舍去),故选 B. 3.乘积 m(m+1)(m+2)?(m+20)可表示为( ) 20 20 A.Am B.Am+20 21 22 C.Am+20 D.Am +20 解析:选 C.可知最大数是 m+20,展开式中是 21 个连续自然数的积,因而可表示为 21 Am+20. 4.给出的下列四个关系式中,其中正确的个数是( ) (n-m)! (n-1)! m-1 m-1 ①Am ;②An ;③Am -1 = n= n =nAn-1 ; n! (m-n)! (n+1)! ④n!= . n+1 A.1 B.2 C.3 D.4 解析:选 B.①②不成立,③④成立. 5.不等式 A2 ) n-1-n<7 的解集为( A.{n|-1<n<5} B.{1,2,3,4} C.{3,4} D.{4} 2 解析:选 C.由不等式 An-1-n<7, 得(n-1)(n-2)-n<7, 整理得 n2-4n-5<0, 解得-1<n<5. 又因为 n-1≥2 且 n∈N*, 即 n≥3 且 n∈N*, 所以 n=3 或 n=4, 故不等式 A2 n-1-n<7 的解集为{3,4}. 6.从 a,b,c,d,e 五个元素中每次取出三个元素,可组成____个以 b 为首的不同的 排列,它们分别是__________________________________. 解析:画出树状图如下:

可知共 12 个,它们分别是 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec, bed. 答案:12 bac,bad,bae,bca,bcd,bce,bda,bdc,bde,bea,bec,bed
5 A7 n-An 7.若 =89,则 n=________. A5 n 5 (n-5)(n-7+1)A5 n-An 解析:原方程左边= 5 An

=(n-5)(n-6)-1. 所以原方程可化为(n-5)(n-6)-1=89,即 n2-11n-60=0, 解得 n=15 或 n=-4(舍去). 又 n≥7 且 n∈N*, ∴15>7 满足题意. 答案:15 8.用 1、2、3、4 这四个数字能组成没有重复数字的三位数________个.(用数字表示) 解析:这是一个排列问题,由排列数公式可知,可组成 A3 4=4×3×2=24 个没有重复 数字的三位数. 答案:24 9.写出下列问题的所有排列: (1)北京、广州、南京、天津 4 个城市相互通航,应该有多少种机票? (2)A、B、C、D 四名同学排成一排照相,要求自左向右,A 不排第一,B 不排第四,共 有多少种不同的排列方法? 解:(1)列出每一个起点和终点情况,如图所示.

故符合题意的机票种类有: 北京→广州,北京→南京,北京→天津,广州→南京,广州→天津,广州→北京,南京 →天津,南京→北京,南京→广州,天津→北京,天津→广州,天津→南京,共 12 种. (2)因为 A 不排第一,排第一位的情况有 3 类(可从 B、C、D 中任选一人排),而此时兼 顾分析 B 的排法,列树形图如图.

所以符合题意的所有排列是:

BADC,BACD,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CBAD,CBDA,CDBA,DABC, DBAC,DBCA,DCBA 共 14 种. 10.(1)从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学,每人一本,共有多少种不同的给法; (2)4 名同学争夺一项比赛的前 3 名,有多少种比赛结果? 解:(1)从 5 本不同的书中选两本送给 2 名同学,每人 1 本,实际上就是从 5 个不同元 素中选取两个元素的排列问题,则共有不同的给法 A2 5=20 种. (2)4 名同学争夺一项比赛的前 3 名,由于名次是有顺序的,故而是从 4 个不同的元素中 选取 3 个元素的排列问题,共有 A3 4=24 种比赛结果. [B.能力提升] m 1.下列各式中与排列数 An 相等的是( ) n! A. (n-m+1)! B.n(n-1)(n-2)?(n-m) nAm n-1 C. n-m+1
m 1 D.A1 n·An-1


n! 解析:选 D.∵Am , n= (n-m)! (n-1)! n! m-1 而 A1 = , n·An-1 =n· [(n-1)-(m-1)]! (n-m)!
1 m 1 ∴Am n =An·An-1 ,故选 D. 2 3 4 100 2.若 S=A1 ) 1+A2+A3+A4+?+A100 ,则 S 的个位数字是( A.8 B.5 C.3 D.0 n 1 解析:选 C.∵当 n≥5 时,An的个位数是 0,故 S 的个位数取决于前四个排列数.又 A1 3 4 +A2 2+A3+A4=33,故选 C. m 3.若集合 P={x|x=A4 ,m∈N*},则集合 P 中共有________个元素. m 解析:因为 x=A4 , 所以有 m∈N*且 m≤4, 2 3 4 所以 P 中的元素为 A1 4=4,A4=12,A4=A4=24, 即集合 P 中有 3 个元素. 答案:3 4. 用 1, 2, 3, 4, 5 这 5 个数字组成没有重复数字的三位数, 其中偶数的个数为________. 2 2 解析:分两类,一类是末位是 2 时,有 A4个;另一类是末位是 4 时,有 A2 4个,共有 2A4 =24 个. 答案:24


5.证明:Am n=

1 n + Am 1= Am- . n-m n n-m n 1

1 证明:因为 Am =nAm n n-1, 又 m+1≤n?n-m>0, 所以,两边除以 n-m,




1 n +1 Am = Am- . n n-m n-m n 1

又因为

1 1 + Am 1= ·n·(n-1)· ?· (n-m+1)· (n-m)=n(n-1)?(n-m+1)=Am n, n-m n n-m 1 n +1 Am = Am- . n n-m n-m n 1

所以 Am n=

6.一条铁路有 n 个车站,为适应客运需要,新增了 m 个车站,且知 m>1,客运车票 增加了 62 种,问原有多少个车站?现在有多少个车站? 2 2 2 解:由题意可知,原有车票的种数是 A2 n种,现有车票的种数是 An+m种,∴An+m-An= 62, 即(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62. ∴m(2n+m-1)=62=2×31, ∵m<2n+m-1,且 n≥2,m,n∈N*,
?m=2, ? ∴? ? ?2n+m-1=31,

解得 m=2,n=15, 故原有 15 个车站,现有 17 个车站.


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