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1.2.1


§1.2.1
一 、教学目标:



列(一)

1.知识与技能: (1)通过实例理解排列的概念,能用列举法、树形图列出所有排列. (2)能利用计数原理推导排列数公式,从排列数公式特点体会排列数与计数原理的关系. (3)从简单排列问题的计数过程中体会排列在解决简单的实际问题的价值. 2.过程与方法: 通过对具体实例的观察、归纳,找出本质规律得出结论,体会从特殊实例到数学抽象,从特殊到一般 的“化归”数学思想,掌握排列数公式;并掌握一些分析和解决排列问题的基本方法. 3. 情感、态度与价值观: 通过实例分析培养学生严谨的学习态度,提高学生的抽象能力和逻辑思维能力,会分析简单的排列应 用问题.

二 、教学重点与难点
教学重点:理解排列的概念、排列数公式,体会分析和解决排列问题的基本方法. 教学难点:分析和解决排列问题的基本方法

三、教学过程:
环节 复 习 回 顾 教学内容 1.分类计数原理: 完成一件事,有 n 类办法,在第 1 类办法中,有 m1 种不同的方法,在第 2 类办法中,有 m2 种不同的方法??在第 n 类办法中,有 mn 种不同的 方法,则完成这件事有 N=m1+m2+??+mn 种不同的方法 2.分步计数原理:完成一件事,需要分成 n 个步骤,在第 1 步中,有 m1 种不同的方法, 在第 2 步中,有 m2 种不同的方法??在第 n 步中,有 mn 种不同的方 法,则完成这件事有 N=m1×m2×m3??×m3 不同的方法 设计意图 回顾问题 解决的本 质源泉, 激 发学生寻 找新方法 简化计数 过程. 从特殊实 例到数学 抽象, 在问 题的解答 过程中建 立理解排 列概念的 经验.

问题 1 特 殊 实 例 探 究 新 知 共有 3×2=6 种. 要从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名参加某天的一项活动, 其中 1 名 同学参加上午的活动, 另 1 名同学 参加下午的活动, 有多少种不同的 选法?并列出所有的选法.

问题 2 从 1,2,3,4 这 4 个数中,每次取 出 3 个排成一个三位数, 共可得到多 少个不同的三位数?并写出所有的 三位数.

所有的三位数: 123,124, 132, 134, 213,214, 231, 234, 312,314, 321, 324, 412,413, 421, 423, 共有 4×3×2=24 种.
-1-

142, 241, 341, 431,

143, 243, 342, 432,

数 学 抽 象

从 3 个不同的元素 a、b、c 中任取 从 4 个不同的元素 a、b 、c 、d 中 2 个,按照一定的顺序排成一列, 任取 3 个,按照一定的顺序排成一 共有多少种不同的排列方法? 列,共有多少种不同的排列方法?

a b c

b c a c a b

所有不同的排列是

所有不同的排列是

ab, ac, ba, bc, ca, cb,
共有 3×2=6 种. 思 考 1.排列: 从 n 个不同元素中取出 m ( m ? n ,

abc, abd, acb, acd, adb, adc, bac, bad, bca, bcd, bda, bdc, cab, cad, cba, cbd, cda, cdb, dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
共有 4×3×2=24 种.

上面两个问题有什么共同特征?可以用怎样的数学模型来刻画? 概括排列 的概念

排成 m, n ? N ? )个元素,按照一定的顺序 .....
王新敞
奎屯 新疆

一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 .... 说明: (1)排列的定义包括两个方面:①取出元素,②按一定的顺序排列; (2)两个排列相同的条件:①元素完全相同,②元素的排列顺序也相同 2.排列数: 从 n 个不同元素中,任取 m ( m ? n ,

辨析排列 的概念
王新敞
奎屯 新疆

m, n ? N ? )个元素的所有排列的个数叫 语言的理 m 做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数,用符号 An 表示 解, 让学生
王新敞
奎屯 新疆

数学符号

思考: “排列”和“排列数”有什么区别和联系? 3.排列数公式
2 3 (1)猜想:你根据问题 1: A3 ? 3? 2 及问题 2: A4 ? 4 ? 3? 2 , m 猜想出 An ?

感受数学 的简洁美, 数学文化 的渗透. 培养学生 观察、 归纳 的能力, 鼓 励学生猜 想、 推理的 胆识.

(2)归纳:请你根据排列定义计算以下排列数
1 An ? n; 2 An ? n(n ?1) ; 3 An ? n(n ?1)(n ? 2) ; 4 An ? n(n ?1)(n ? 2)(n ? 3) ;… m An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m, n ? N ? , m ? n )

(3)原理解释: 帮助学生 记忆, 符合 认知规律.

思考:为了便于记忆,请你能说一说排列数公式的特点?
-2-

【例 1】判断下列问题是不是排列问题? (1)10 名学生中抽 2 名学生开会,有多少种选法? (2)10 名学生中选 2 名做正、副组长有多少选法? (3)从 2,3,4,5 四个数字中,任选两个做加法,其不同结果有多少种? (4)从 2,3,4,5 四个数字中,任选两个做除法,其不同结果有多少种?
4 【例 2】求值:(1)A6 ? 5 (2) A5 ?

定义是判 断事物的 依据, 进一 步理解排 列的概念. 熟悉排列 数公式. 会分析简 单的排列 应用问题.

排 列 应 用

【例 3】某年全国足球甲级(A 组)联赛共有 14 队参加,每队都要与其余各队在主 客场分别比赛一次,问一共进行多少场比赛? 练习 1. 从 4 种蔬菜品种中选出 3 种,分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验, 有 种种法? 2. 从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛,并排定他 们的出场顺序, 有 种不同的方法? 【例 4】用 0 到 9 这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法 1: (主位置法)对排列方法分步思考: 用分步计数原理:
1 2 所求的三位数的个数是: A9 ? A9 ? 9 ? 9 ? 8 ? 648

解法 2: (主元素法)对排列方法分类思考,符合条件的三位数可以分成三类:
3 每一位数字都不是 0 的三位数有 A9 个,
2 个位数字是 0 的三位数有 A9 个, 2 十位数字是 0 的三位数有 A9 个,

由分类计数原理,符合条件的三位数的
3 2 2 个数是: A9 ? A9 ? A9 ? 648 .

解法 3: (排除法)逆向思维、间接求:
3 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为 A10 , 其中以 0 为排头的排列数 3 2 2 2 为 A9 ,因此符合条件的三位数的个数是 A 10 ? A 9 ? 648 - A 9 .

多角度分 析一个问 题, 培养思 维的灵活 性, 一题多 解发散思 维, 间接排 除逆向思 维, 掌握分 析解决排 列问题的 基本方法.

(变式 1)可以组成多少个三位数?

(变式 2)可以组成多少个没有重复数字的三位奇数?

一题多变 的变式教 学激发学 生思维的 活跃度.

(变式 3)可以组成多少个没有重复数字的三位偶数? 课 堂 练 习
-31 2 3 4 1.计算: A4 = ? A4 ? A4 ? A4

2. (2009 北京文) 用数字 1, 2, 3, 4, 5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( A.8 B.24 C.48 D.120

巩固强化, 让学生感 觉到学有 ) 所用, 体验 到成功的 喜悦.

课 堂 小 结

1.排列:①(选)从 n 个不同中取出( m ? n , ②(排)按照一定的顺序排成一列

m, n ? N ? )个元素

知识总结, 方法提炼, 合作交流, 共同进步.

m 2.排列数: An ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1) ( m ? n ,

m, n ? N ? )

3.排列问题常用方法:①主位置法 ②主元素法 ③排除法(间接法) §1.2.1 1.排列: 例1 例2 例3 例4 排 列 问题 2

问题 1

板 书 设 计

2.排列数: 3.排列数公式:
Anm ? n(n ?1)(n ? 2)?(n ? m ?1)

( m ? n , m, n ? N ? )
2 A3 ? 3? 2 3 A4 ? 4 ? 3? 2

课 下 思 考

四名男生和三名女生排成一排, (1)一共有多少种不同的排法? (2)甲站在正中间的不同排法有多少种? (3)甲只能站在排头或排尾,有多少种排法? (4)甲、乙二人必须站在两端的排法有多少种? (5)甲、乙二人不能站在两端的排法有多少种? (6)甲、乙不相邻的排法有多少种? (7)甲、乙相邻的排法有多少种? (8)男女相间的排法有多少种?

鼓励优秀, 激发潜能.

-4-


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