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第七届中国东南地区数学奥林匹克


2010年第12期

第七届中国东南地区数学奥林匹克
中圈分类号:C-424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2010)12—0029—04

第一天
1.设口、b、c∈{0,1,…,9).若二次方程 a,x2+h+c=0有有理根,证明:三位数abc不 是质数. (张鹏程供题)

等+警≥筹.(裘宗沪供题)
6.设Z+为正整数集合,定义:口。=2,

口川=曲引耋寺+÷<?延z+】(n=-幺…,.


2.对于集合A={口。,a2,…,口。),记

P(A)=口l口2…口。。设Al,A2,…,A。n=c凳lo)
是集合(1,2,…,2 010)的所有99元子集. 求证:2
011

求证:a川=a:一a。+1.
(李胜宏供题)

l∑P(Ai).

(叶永南供题)


7.设//,是一个正整数,实数口l,口2,…,口。
和rl,r2,…,r。满足:
口l≤口2≤…≤口。jFⅡ0≤r1≤r2≤…≤r。.

3.如图1,已

知△ABC内切圆
o,分别与边AB、 BC切于点F、D, 直线AD、CF分别 与O,交于另一点 日、K.求证:
FD?HK,. FH.DK—J‘ 图l

求证:∑∑aiaimin(r;,o)≥o.
(朱华伟供题) 8.在一个圆周上给定8个点A。,A:,…, A。.求最小的正整数n,使得以这8个点为顶 点的任意I'g个三角形中,必存在两个有公共 (熊斌供题) 边的三角形. (陶平生供题)

4.设正整数a,b满足1≤D<b≤100.若 存在正整数k,使得口6 I(口‘+b‘),则称数对 (口,b)是“好数对”.求所有好数对的个数. (熊斌供题)

参考答案
第一天
1.用反证法.

假设abc=p是质数.则由二次方程八名)
=ax2+bx+c=0的有理根是

第二天
5.如图2,△ABC为直角三角形,/ACB
=900,M1、M2为 △ABC内任意两

髫I,2

一b±“际 2——1了~,

易知,b2—4ac为完全平方数,茗。、石:均为负 数,且以茗)=口(戈一菇1)(菇一茹2).故

点,肼为线段% 鸩的中点,直线
BMl、BM2、BM与曰 边AC分别交于点 Ⅳl、Ⅳ2、Ⅳ.求证:
图2

P=以10):口(10一聋。)(10一茄2),
4ap=(20a一2似1)(20a一2似2). 易知,20a一2axl、20a一2ax2均为正整 数.从而。


I(20a一2axI)或P I(20a一2ax2).

万方数据

中等数学

不妨设PI(20a一2毗。).则
p一<20a一2axl.

又一∑P(A;)就是多项式八n)中玎的


于是,4a>一20a一2仳2,与x2为负数矛盾. 所以,三位数abc不是质数. 2.证法1对于集合{l,2,…,2 olo}的 每个99元子集A;={口。,口:,…,口钟),其与 Bi={6。,b:,…,699)_—一对应,其中,
bI=2

911次项的系数,故2

011

l∑P(Ai).

3.设AF=戈,BF=y,CD=厄 由斯特瓦尔特定理得

AD2=丽BD?AC2+丽CD?AB2一BD?DC


01l一口‘(矗=l,2,…,99).
x2

旦 因为∑(Ⅱ^+6I)=99
t=1

:丛型尘土亟业一竹:茗:+鲤.
v+z '+z

oll=奇数,所

以,集合A。≠鼠. 而P(Ai)+尸(Bi)

=口心…口辨+Ⅱ(2
i=1 99 i=l

011一口;)

由切割线毫理得AH=等=嘉. 放肋=AD-AH-A_D2矿_x2=历4(x’,y两z.
腿,KF

量a心…口钟+Ⅱ(一ai)
--0(mod


2葫?

011),

故2∑P(A;)=∑ P(A;)+∑PiBi)
‘;I i=1

DK=百DF.CD=而DF?z.
由余弦定理得

因为△CDKGO△CrD,所以,

-ffi0(mod 因此,2



011).

又因为△AFH∽△ADF,所以,

011

I宝P(A。).
i=l

朋=1DF矿.AF=而DF%
DP:BD2+BF2—2BD.BFcos B
010 1,

证明2构造多项式
2 010

以n)=Ⅱn—i)一万2m02
‘=t

其中,II,∈Z. 注意到2 011为质数,由威尔逊定理知
2 010

=妒[t一虹瓷‰铲】
垒型三三 堡坐.垒望
ADⅦ’CF%



一(苴+),)(Y+彳)。

1善一l(mod



011). ”FH?DK

又由费马定理,当2 011、卜n时,
舻mo暑1(mod
2 011).

故婴塑:鲻丛吐丝垃盟 DF DF

所以,对于每个n∈Z, (1)当2 011’H时,
2 010

=丽者Y惫百“.
DP(x+)(y+z) 理得



… ①

以,1)葺I-[(n—i)-O(mod 2 011);
’(2)当2
011

n时,

2..,0—10

KF?HD=DF?HK+FH?DK.

以n)看儿(,l-i)-2010 1
-=2 010 1—2 010

1-o(mod



011),

再结合式①即得膦=3.
4.令a,b)=d,a=sd,b=td,(s,t)=1(t>s). 于是,sM2 I矿(s‘+,). 因为(st,s‘+,)=1,所以,st ld‘.

即对于每个n∈Z都有2 011 I以n). 而以n)是一个2 009次多项式,于是, 以,1)的各项系数都能被2 0ll整除.

万方数据

2010年第12期

3l

于是,St的所有质因子都能整除d. 若s或t中有一个不小于11的质因子 p,则pld.于是,P2 l口或P2 而P2>100。矛盾. 因此,St的质因子只可能是2,3,5,7. 若St的质因子中2,3,5,7至少出现三 个,则
d>t2


(1,5),d只能是5,10,15,20.共4个好数对. 若st的质因子集是{3},则 当(s,t)=(1,3)时,d只能是3,6,…,33; 当(s,t)=(1,9)时。d只能是3,6,9; 当(s,t)=(1,27)时,d只能是3. 共15个好数对. 若st的质因子集是{2},则

b.

3×5=30.

当(s,t)=(1,2)时,d只能是2,4,…,50; 当(5,t)=(1,4)时,d只能是2,4,…,24; 当(s,t)=(1,8)时,d只能是2,4,…,12; 当(s,t)=(1,16)时,d只能是2,4,6; 当(s,t)=(1,32)时。d只能是2. 共47个好数对. 因此,好数对共有 1+2+6+19+2+4+15+47=96(个).

从而,max{口,b}≥5d>100,矛盾. 若St的质因子集是{3,7},则 m旺{口,6}≥7×3×7>100, 矛盾; 同样,St的质因子集也不可能是{5,7}. 若St的质因子集是{3,5},d只能为15, 此时,s=3,t=5,所以,(口,b)=(45,75).共 1个好数对. 若st的质因子集是{2,7},d只能为14, 此时,(s,t)=(2,7),(4,7),所以,(口,6)= (2s,9s),(56,9s).共2个好数对. 若st的质因子集是{2,5},d只能为10,20. 当d=10时, (s,t)=(2,5),(1,10),(4,5),(5,8); 当d=20时,(s,t)=(2,5),(4,5). 共6个好数对. 若st的质因子集是{2,3},d只能是6,
12,18,24,30.

第二天

5.设H,、日:、日分别为点M。、鸩、肘在直
线BC上的投影.则
M1NI H Lc M2N2 H2C

BMl—BHl’BM2一BH2’ MN
HC HlC+H2c

BM—BIt—BHl+BH2。

不妨设BC=1,BHl=茗,观=,,.则
M LNl HIC 1一x

BMl一删1一菇’

当d=6时, (s,t)=(1,6),(1,12),(2,3),(2,9), (3,4),(3,8),(3,16),(4,9), (8,9),(9,16); 当d=12时。 (s,t)=(1,6),(2,3),(3,4),(3,8); 当d=18时,(s,t)=(2,3),(3,4); 当d=24时,(s,t)=(2,3),(3,4); 当d=30时,(s,t)=(2,3). 共19个好数对. 即

面M 2丽2一Y’
B.

M2N2

H2C

1一丫

BⅣ,



MN.HC—L二兰±l—z
BM—BH一


聋+Y

于是,原不等式等价于

也+生≥2.L型虫:




菇+Y

4+土≥土.




菇+Y

(茹一,,)2≥0. 这显然成立,故原不等式成立.

若St的质因子集是{7},则(s,t)= (1,7),d只能是7,14.共2个好数对.
若st的质因子集是{5},则(5,t)=

6.由ai=2及式①考虑丢+丁1<1.
则A>2.

万方数据

32

中等数学

从向,口2=3,即当n=1时,结论成立.
假设对所有的n≤J}一1(j}≥2)结论成立.

先取出数表A,中第一行、第一列的各元 素,并求其和,剩下的数表记为A:;再取出数 表A:中第一行、第一列的各元素,并求其和,
剩下的数表记为A,;……如此得

当//,=k时,由式①考虑

骞丢+{孔 ¨>(?一骞∥. 下面证明:(1一蜜∥毪(口I-1).
由于假设对于2≤n≤后, a.=口。一,(口.一,一1)+1。 士

∑∑aiajmin(r;,o)

=∑r√口:+2a。∑口i)

碉再2云忑:j可2云j一石,
即石1
口^.









I=士I一者.
口n一一l 口B—l

=骞“【(吼+i耋,a1)2一(。耋!ai)2】 =毒以【(耋q)2一(i耋1口i)2】 =k宝=l rk(塞ai)2一莹k=l (i耋1口i)2 =骞“(耋q)2一k宝=21 k。(砉i口i)2
、 , lkr i =I

、=I+



‘=



i =I







=I



求和得蚤k石1=l—ib,即

:奎(^一^一。)(宝口i)2≥o(此处约
定r0=0). 因此,结论得证. 8.先考虑两两无公共边的三角形个数的 最大值r.

骞吉小再1+去小≤五. 于是,(?一砉∥吨(tzk--1). 故吼+。=血n(A f砉去+T1<?,A∈z+)
=口^(口I一1)+1. 由数学归纳法,知对所有正整数n有

而八个点每两点连一条弦,共得c;=28
条弦.


如果每条弦只属于一个三角形,则这些 弦至多能构成两两无公共边的三角形个数

口。+I=口:一口。+1.
7.住凡×n的新嘉
ala2rl

r≤【警】=9个.但若有九个这样的三角形,
共得27个顶点,则八个点中必有一个点 (设为A。)至少属于四个三角形.共顶点A。的 四个三角形,A。的对边都是A。,A:,…,A,之中

a2122r2

Al



口BⅡ21"2

的两点连线,其中必有一点(设为A。)出现了
两次,于是,相应的两个三角形将有一条公共 边A8AI,矛盾.因此,r≤8. 另一方面,可以作tBA.个三角形,使得其

由于∑∑口iajrain(rl,rj)的第i(i=l,
i=1 J=1

2,…,n)项∑aia,min(ri,,:『)就是数表中第i
J=1

中任两个三角形都无公共边. 注意到这样的八个三角形,共产生24个
顶点,且每点至多属于三个三角形.故每点恰

行各元素的和,因此,∑∑ala.fmin(ri,o)就
是数表A。中所有元素的和. 另外,此和也可以按以下方式求得.

好属于三个三角形,即每点度数皆为6.

万方数据

2010年第12期

33

●课外训练●

羧孥翕簿蜃禽劫啥锄豫韪(136)
中圈分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005—6416(2010)12—0033—04

第一试
一、选择题(每小题7分,共42分) 1.设a,b、c为正实数,满足 口2=b(b+c),b2----C(C+口). 则( ).

B冬c丛c
图1 图2

(A)告=i1+了1(B)÷=i1+了1 (c)÷寻i1+i1 (D)吾=i1+16
2.对于每个茹。函数Y是 YI=2x,扎'-X+2,Y3=一h ( ). (A)4 (B)6
4-12

4.在等边△ABC中,D、E分别是BC、AC
上的点,且AE=CD,联结AD、BE交于点P, 联结PC.若PB=2PA,则/CPD的度数是 ( ). (A)30。(B)450(c)600 (D)750

这三个函数的最小值.则函数,,的最大值是

5.设二次函数Y=一矿+戈4-6(b<0),当
自变量为m时,其函数值大于O;当自变量为 m—I、m+l时,其函数值分别为Y.、Y2.则 ( ). (A)yl>O,Y2>0 (c)yl<0,扎>O (B)yl>0,Y2<0 (D)yl<0,Y2<O

(c)警
).

(D)孚

3.如图1,边长为//,的正/X DEF的三个 顶点恰好在边长为m的正△ABC的各边上. 则△AEF的内切圆半径为(

6.如图3,AB为半圆00的直径,C为半 圆弧上的一个动点(半圆弧中点及直径的两 个端点除外),分别联结AC、BC,作CD上AB 于点D,作oD。与AD切于点E,与CD及oD

(A)譬(m训 (c)孚(m川
作为图G的八个顶

(B)譬(m刊 (D)譬(m训

为简明起见,如图3,取圆周的八等分点

腰三角形: (1,2,3),(3,4,5),(5,6,7),(7,8,1) 及(1,4,6),(3,6,8),(5,8,2),(7,2,4),

点,作8阶完全图,
然后去掉其中四条 直径,于是,共得24


条边,且每点均属8
于六条边.在由这 些边所构成的三角 形中,选取八个等

照粼
l 图3 2



它们两两无公共边(每一组的四个三角形皆 可由其中一个三角形绕圆心适当旋转而得
到). 因此,r=8. 从而,所求的最小值n=r+l=9. (陶平生提供)



万方数据

第七届中国东南地区数学奥林匹克
作者: 作者单位: 刊名: 英文刊名: 年,卷(期): 陶平生

中等数学 HIGH-SCHOOL MATHEMATICS 2010(12)

本文链接:http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zdsx201012007.aspx


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