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2016届广西高考数学一模试卷(文科)(解析版)


2016 届广西高考数学一模试卷(文科) (解析版)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A={x|x<4},集合 B={x∈Z|x>﹣1},则 A∩B 等于( A.{0,1} B.{1,2,3} )

C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3} )

2.在复平面内,复数

﹣2 对应的点位于(

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.命题“?x∈R,x2+2x+2>0”的否定是( A.?x∈R,x2+2x+2≤0 B.?x∈R,x2+2x+2≤0 C.?x∈R,x2+2x+2<0 4.已知双曲线 A.2 5.已知 A. B.2 ﹣ D.?x∈R,x2+2x+2>0 =1(b>0)的离心率等于 D.8 ) b,则该双曲线的焦距为( ) )

C.6

<α<π,3sin2α=2cosα,则 cos(α﹣π)等于( B. C. D.

6.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 的值为(



A.﹣2 B.﹣2 或﹣1 C.1 或﹣3

D.﹣2 或

7.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(



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A.1

B.2

C.3

D.4 )

8.函数 y=(x3﹣x)2|x|图象大致是(

A.

B.

C.

D.

9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是(



A.f(x)= sin( x+ C.f(x)= sin( x+

)B.f(x)= sin( x+ ) ) D.f(x)= sin( x﹣ )

10.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图 如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

A.

B.

C.

D. = a,a=2 ,

11.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 若 b∈[1,3],则 c 的最小值为( A.2 B.3 C.2 D.2 )

12.若关于 x 的方程 2x3﹣3x2+a=0 在区间[﹣2,2]上仅有一个实根,则实数 a 的取值范围为( A.(﹣4,0]∪[1,28) B.[﹣4,28] C.[﹣4,0)∪(1,28] D.(﹣4,28)



二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

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13.某单位有员工 90 人,其中女员工有 36 人,为做某项调查,拟采用分层抽样抽取容量为 15 的样 本,则男员工应选取的人数是 14.已知向量 , 的夹角为 ,| |= . ,| |=2,则 ?( ﹣2 )= .

15.已知 A,B,C 三点在球 O 的球面上,AB=BC=CA=3,且球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半 径的 ,则球 O 的表面积为 .

16.过点 P(﹣2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点,且|PA|= |AB|,则点 A 到抛物 线 C 的焦点的距离为 .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=9,a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an≠a1 时,数列{bn}满足 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

18.为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A,B 两班中各抽 5 名学生进行 视力检测,检测的数据如下: A 班 5 名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B 班 5 名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5. (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好?并计算 A 班 5 名学生 视力的方差; (2)现从 B 班的上述 5 名学生中随机选取 2 名,求这 2 名学生中至少有 1 名学生的视力低于 4.5 的 概率. 19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)证明:C1F∥平面 ABE; (2)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P﹣B1C1F 的体积.

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20. 已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆 x2+y2﹣2 (1)求椭圆的标准方程;

x=0 的圆心重合, 且椭圆过点 (

1) , .

(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 积.

=2

,求△ AOB 的面

21.设函数 f(x)=clnx+ x2+bx(b,c∈R,c≠0),且 x=1 为 f(x)的极值点. (Ⅰ)若 x=1 为 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 c 表示); (Ⅱ)若 f(x)=0 恰有两解,求实数 c 的取值范围.

请考生在第 22.23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,选修 4-1:几何证 明选讲 22.已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 A、B,直线 AF 交⊙O 于 A、F(不与 B 重合),直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. (1)求证:∠BAC=∠CAG; (2)求证:AC2=AE?AF.

选修 4--4:坐标系与参数方程 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C1 的参数方程为 (t

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 为参数) , 以坐标原点为极点, 且曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)若直线 l 的斜率为 2,判断直线 l 与曲线 C1 位置关系; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值;
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+ax(a>0)在(1,+∞)上的最小值为 15,函数 g(x)=|x+a|+|x+1|.

(2)求函数 g(x)的最小值.

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2016 年广西高考数学一模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 A={x|x<4},集合 B={x∈Z|x>﹣1},则 A∩B 等于( A.{0,1} B.{1,2,3} )

C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;定义法;集合. 【分析】先用描述法可得 A∩B={x∈Z|﹣1<x<4},再列举法表示出来即可. 【解答】解:∵A={x|x<4},B={x∈Z|x>﹣1}, ∴A∩B={x∈Z|﹣1<x<4}={0,1,2,3}, 故选 C. 【点评】本题考查了集合的表示方法的应用.

2.在复平面内,复数

﹣2 对应的点位于(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数代数形式的乘除运算;复数的代数表示法及其几何意义. 【专题】转化思想;数系的扩充和复数. 【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出. 【解答】解:复数 故选:B. 【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题. ﹣2= ﹣2=﹣1+i 对应的点(﹣1,1)位于第二象限.

3.命题“?x∈R,x2+2x+2>0”的否定是( A.?x∈R,x2+2x+2≤0 B.?x∈R,x2+2x+2≤0 C.?x∈R,x2+2x+2<0 【考点】命题的否定.



D.?x∈R,x2+2x+2>0

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【专题】对应思想;综合法;简易逻辑. 【分析】根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则,可写出原命题的否定. 【解答】解:原命题为:?x∈R,x2+2x+2>0, ∵原命题为全称命题, ∴其否定为存在性命题,且不等号须改变, ∴原命题的否定为:?x∈R,x2+2x+2≤0. 故选:B. 【点评】本题考查命题的否定的写法,常见的命题的三种形式写否定:(1)“若 A,则 B”的否定为 “若¬A,则¬B”;(2)全称命题的否定为存在性命题,存在性命题的否定为全称命题;(3)切命 题的否定为或命题,或命题的否定为切命题.本题考查第二种形式,属简单题.

4.已知双曲线 A.2 B.2



=1(b>0)的离心率等于 D.8

b,则该双曲线的焦距为(



C.6

【考点】双曲线的简单性质. 【专题】数形结合;定义法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】设双曲线 ﹣ =1(b>0)的焦距为 2c,根据双曲线的几何性质求出 c 的值即可得焦距.

【解答】解:设双曲线 由已知得,a=2; 又离心率 e= = 且 c2=4+b2, 解得 c=4; b,



=1(b>0)的焦距为 2c,

所以该双曲线的焦距为 2c=8. 故选:D. 【点评】本题考查了双曲线的定义与简单几何性质的应用问题,是基础题目.

5.已知

<α<π,3sin2α=2cosα,则 cos(α﹣π)等于(
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A.

B.

C.

D.

【考点】二倍角的正弦. 【专题】三角函数的求值. 【分析】由条件求得 sinα 和 cosα 的值,再根据 cos(α﹣π)=﹣cosα 求得结果. 【解答】解:∵ <α<π,3sin2α=2cosα, . )= ,

∴sinα= ,cosα=﹣

∴cos(α﹣π)=﹣cosα=﹣(﹣ 故选:C.

【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用,属于中档题.

6.已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为 0 时,输入的 x 的值为(



A.﹣2 B.﹣2 或﹣1 C.1 或﹣3 【考点】程序框图.

D.﹣2 或

【专题】探究型;分类讨论;数学模型法;算法和程序框图. 【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是计

算并输出分段函数 y=

的函数值.

【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知:

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该程序的作用是计算并输出分段函数 y=

的函数值.

当 x≤0 时,由 y=( )x﹣4=0,可得:x=﹣2; 当 x>0 时,由 y=log 故选:D. 【点评】算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空 也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的 输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错 误. +1=0,可得:x= ;

7.已知变量 x,y 满足约束条件

则 z=2x+y 的最大值为(



A.1

B.2

C.3

D.4

【考点】简单线性规划. 【专题】数形结合. 【分析】先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,z=2x+y 表示直线在 y 轴上的截距, 只需求出可行域直线在 y 轴上的截距最大值即可. 【解答】解:作图 易知可行域为一个三角形, 其三个顶点为(0,1),(1,0),(﹣1,﹣2), 验证知在点(1,0)时取得最大值 2 当直线 z=2x+y 过点 A(1,0)时,z 最大是 2, 故选 B.

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【点评】本小题是考查线性规划问题,本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值, 属于基础题.

8.函数 y=(x3﹣x)2|x|图象大致是(



A.

B.

C.

D.

【考点】函数的图象. 【专题】数形结合;综合法;函数的性质及应用. 【分析】根据函数 y 为奇函数,它的图象关于原点对称,当 0<x<1 时,y<0;当 x>1 时,y>0, 结合所给的选项得出结论. 【解答】解:由于函数 y=(x3﹣x)2|x|为奇函数,故它的图象关于原点对称, 当 0<x<1 时,y<0;当 x>1 时,y>0, 故选:B. 【点评】本题主要考查函数的图象和性质,属于基础题.

9.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如图所示,则该函数的解析式可能是(



A.f(x)= sin( x+ C.f(x)= sin( x+

)B.f(x)= sin( x+ ) ) D.f(x)= sin( x﹣ )

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.
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【专题】函数思想;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】函数的图象的顶点坐标求出 A 的范围,由周期求出 ω 的范围,根据 f(2π)<0,结合所 给的选项得出结论. 【解答】解:由函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象可得 0<A<1,T= 求得 0<ω<1. 再根据 f(2π)<0,结合所给的选项, 故选:B. 【点评】本题主要考查由函数 y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式,正弦函数的图象特征,属于基 础题. >2π,

10.高为 4 的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体,它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图 如图所示,则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的( )

A.

B.

C.

D.

【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】剩余几何体为四棱锥,分别计算出三棱柱和剩余几何体的体积. 【解答】解:由俯视图可知三棱柱的底面积为 =2,∴原直三棱柱的体积为 2×4=8.

由剩余几何体的直观图可知剩余几何体为四棱锥,四棱锥的底面为侧视图梯形的面积 =6,由俯视图可知四棱锥的高为 2, ∴四棱锥的体积为 =4.

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∴该几何体体积与原三棱柱的体积比为 故选 C.



【点评】本题考查了几何体的三视图与体积计算,属于中档题.

11.在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, 若 b∈[1,3],则 c 的最小值为( A.2 B.3 C.2 D.2 )

=

a,a=2



【考点】正弦定理. 【专题】计算题;转化思想;分析法;函数的性质及应用;解三角形. 【分析】利用正弦定理,余弦定理化简已知得 3cosC= c 【解答】解:由 =(b﹣ sinC,可求 cosC= ,由余弦定理可得

)2+9,由 b∈[1,3],即可得解 c 的最小值. = a,

可得: 即:3cosC= 故:cosC= , 所以:c 因为:b∈[1,3], 所以:当 b=

, sinC,可得:tanC= ,

=(b﹣

)2+9,

时,c 取得最小值 3.

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式,二次函数的图象和性质 在解三角形中的综合应用,考查了转化思想,属于中档题.

12.若关于 x 的方程 2x3﹣3x2+a=0 在区间[﹣2,2]上仅有一个实根,则实数 a 的取值范围为( A.(﹣4,0]∪[1,28) 【考点】二分法的定义. 【专题】转化思想;综合法;函数的性质及应用. B.[﹣4,28] C.[﹣4,0)∪(1,28] D.(﹣4,28)



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【分析】利用导数求得函数的增区间为[﹣2 0)、(1,2],减区间为(0,1),根据 f(x)在区间[﹣

2,2]上仅有一个零点可得 f(0)≠0,故

①,或

②,分

别求得①、②的解集,再取并集,即得所求. 【解答】解:设 f(x)=2x3﹣3x2+a,则 f′(x)=6x2﹣6x=6x(x﹣1),x∈[﹣2,2], 令 f′(x)≥0,求得﹣2≤x≤0,1≤x≤2 令 f′(x)<0,求得 0<x<1, 故函数的增区间为[﹣2 0)、(1,2],减区间为(0,1), 根据 f(x)在区间[﹣2,2]上仅有一个零点,f(﹣2)=a﹣28,f(0)=a,f(1)=a﹣1,f(2)=a+4, 若 f(0)=a=0,则 f(x)=x2 (2x﹣3),显然不满足条件,故 f(0)≠0.



①,或

②.

解①求得 1<a≤28,解②求得﹣4≤a<0, 故选:C. 【点评】本题主要考查方程的根与函数的零点间的关系,利用导数研究函数的单调性,属于中档题.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.某单位有员工 90 人,其中女员工有 36 人,为做某项调查,拟采用分层抽样抽取容量为 15 的样 本,则男员工应选取的人数是 9 . 【考点】分层抽样方法. 【专题】计算题;整体思想;定义法;概率与统计. 【分析】总体的个数是 90 人,要抽一个 15 人的样本,则每个个体被抽到的概率是 ,用概率去乘以 男员工的人数,得到结果 【解答】解:总体的个数是 90 人,要抽一个 15 人的样本,则每个个体被抽到的概率是 男员工应选取的人数(90﹣36)× =9 人, 故答案为:9. 【点评】本题考查分层抽样方法,本题解题的关键是注意在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等, 这是解题的依据.
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= ,

14.已知向量 , 的夹角为

,| |=

,| |=2,则 ?( ﹣2 )= 6 .

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】对应思想;综合法;平面向量及应用. 【分析】求出 【解答】解: ∴ ?( ﹣2 )= 故答案为:6. 【点评】本题考查了平面向量的数量积运算,属于基础题.
2

和 =
2

,将 ?( ﹣2 )展开得出答案. =﹣2, =2+2×2=6.
2

=| |2=2,

﹣2

15.已知 A,B,C 三点在球 O 的球面上,AB=BC=CA=3,且球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半 径的 ,则球 O 的表面积为 【考点】球的体积和表面积. 【专题】计算题;方程思想;综合法;球. 【分析】设出球的半径,小圆半径,通过已知条件求出两个半径,再求球的表面积. 【解答】解:设球的半径为 r,O′是△ ABC 的外心,外接圆半径为 R= ∵球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径的 , ∴得 r2﹣ r2=3,得 r2= 球的表面积 S=4πr2=4π× 故答案为: π. . = π. , π .

【点评】本题考查球 O 的表面积,考查学生分析问题解决问题能力,空间想象能力,是中档题.

16.过点 P(﹣2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点,且|PA|= |AB|,则点 A 到抛物 线 C 的焦点的距离为 .

【考点】抛物线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】利用过点 P(﹣2,0)的直线与抛物线 C:y2=4x 相交于 A,B 两点,且|PA|= |AB|,求出 A 的坐标,即可求出点 A 到抛物线 C 的焦点的距离. 【解答】解:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则分别过 A,B 作直线 x=﹣2 的垂线,垂足分别为 D, E. ∵|PA|= |AB|, ∴3(x1+2)=x2+2,3y1=y2, ∴x1= , ∴点 A 到抛物线 C 的焦点的距离为 1+ = . 故答案为: . 【点评】本题考查抛物线的定义,考查学生的计算能力,解题的关键是利用抛物线的定义确定 A 的 横坐标.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 60 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=9,a1,a3,a7 成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若 an≠a1 时,数列{bn}满足 bn=2 ,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和;等比数列的通项公式. 【专题】计算题;转化思想;综合法;等差数列与等比数列. 【分析】 (1)由等差数列前 n 项和公式、通项公式及等比数列性质,列出方程组,求出首项与公差, 由此能求出数列{an}的通项公式. (2)由 an≠a1,各 bn=2 =2n+1,由此能求出数列{bn}的前 n 项和 Tn.

【解答】解:(1)∵等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S3=9,a1,a3,a7 成等比数列,



,解得







时,an=3;

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时,an=2+(n﹣1)=n+1. =2n+1,

(2)∵an≠a1,∴an=n+1,∴bn=2 ∴ , =2,

∴{bn}是以 4 为首项,以 2 为公比的等比数列, ∴Tn= = =2n+2﹣4.

【点评】本题考查数列的通项公式的求法,考查前 n 项和的求法,是中档题,解题时要认真审题, 注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.

18.为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A,B 两班中各抽 5 名学生进行 视力检测,检测的数据如下: A 班 5 名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B 班 5 名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5. (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好?并计算 A 班 5 名学生 视力的方差; (2)现从 B 班的上述 5 名学生中随机选取 2 名,求这 2 名学生中至少有 1 名学生的视力低于 4.5 的 概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;众数、中位数、平均数;极差、方差与标准差. 【专题】计算题;转化思想;综合法;概率与统计. 【分析】(1)分别求出 A 班 5 名学生视力平均数和 B 班 5 名学生视力平均数,从计算结果看,A 个班的学生视力较好,再求出 A 班 5 名学生视力的方差. (2)从 B 班的上述 5 名学生中随机选取 2 名,基本事件总数 n= =10,这 2 名学生中至少有 1 名

学生的视力低于 4.5 对立事件是这 2 名学生的视力都不低于 4.5,用列举法求出这 2 名学生的视力都 不低于 4.5,包含的基本事件个数,由此能求出这 2 名学生的视力都不低于 4.5 的概率. 【解答】解:(1)A 班 5 名学生视力平均数 B 班 5 名学生视力平均数 = = =4.5,
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=4.6,

从计算结果看,A 个班的学生视力较好, A 班 5 名学生视力的方差: = [(4.3﹣4.6)2+(5.1﹣4.6)2+(4.6﹣4.6)2+(4.1﹣4.6)2+(4.9﹣4.6)2]=0.136. =10,

(2)从 B 班的上述 5 名学生中随机选取 2 名,基本事件总数 n=

这 2 名学生中至少有 1 名学生的视力低于 4.5 对立事件是这 2 名学生的视力都不低于 4.5, 这 2 名学生的视力都不低于 4.5,包含的基本事件有(5.1,4.5),(5.1,4.9),(4.9,4.5), ∴这 2 名学生的视力都不低于 4.5 的概率: p=1﹣ = .

【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.

19.在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点. (1)证明:C1F∥平面 ABE; (2)设 P 是 BE 的中点,求三棱锥 P﹣B1C1F 的体积.

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 【专题】转化思想;定义法;空间位置关系与距离. 【分析】(1)根据线面平行的判定定理即可证明:C1F∥平面 ABE; (2)根据三棱锥的体积公式即可求三棱锥 P﹣B1C1F 的体积. 【解答】(1)证明:取 AC 的中点 M,连接 C1M,FM, 在△ ABC 中,FM∥AB, 而 FM?面 ABE,∴FM∥平面 ABE, 在矩形 ACC1A1 中,E,M 都是中点, ∴C1M∥AE, 而 C1M?平面 ABE,∴C1M∥平面 ABE, ∵C1M∩FM=M,
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∴平面 FC1M?平面 ABE, ∵C1F?平面 FC1M, ∴C1F∥平面 ABE, (2)取 B1C1 的中点 H,连接 EH, 则 EH∥AB,且 EH= AB= ∵AB⊥平面 BB1C1C, ∴EH⊥平面 BB1C1C, ∵P 是 BE 的中点, ∴ = = . FM,

【点评】本题主要考查线面平行的判定以及空间几何体的体积的计算,根据相应的判定定理以及三 棱锥的体积公式是解决本题的关键.

20. 已知对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆 x2+y2﹣2 (1)求椭圆的标准方程;

x=0 的圆心重合, 且椭圆过点 (

1) , .

(2)过点 P(0,1)的直线与该椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 积. 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】综合题;转化思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)设椭圆方程为 =1,由此能求出椭圆的标准方程. (2) 由 , 得 =1(a>b>0),先求出 c=

=2

,求△ AOB 的面

,由椭圆过点(

,1),得

x2+4kx , 设直线方程为 y=kx+1, 代入椭圆, 得 (2k2+1)

﹣2=0,由此利用韦达定理,结合已知条件能求出△ AOB 的面积.

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【解答】解:(1)∵对称中心在原点的椭圆的一个焦点与圆 x2+y2﹣2 过点( ,1), =1(a>b>0),c 为半焦距,c= ,

x=0 的圆心重合,且椭圆

∴设椭圆方程为 ∴a2﹣b2=2,① 由椭圆过点(

,1),得

=1,②

由①②,得 a2=4,b2=2, ∴所求椭圆的标准方程为 .

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),由

,得



设直线方程为 y=kx+1,代入椭圆

,得(2k2+1)x2+4kx﹣2=0,

解得 x=

,设





则﹣

=2?

,解得



∴△AOB 的面积 S= |OP|?|x1﹣x2|= ?

=

=



【点评】本题考查椭圆方程的求法,考查三角形面积的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意 椭圆性质、韦达定理、向量的数量积的合理运用.

21.设函数 f(x)=clnx+ x2+bx(b,c∈R,c≠0),且 x=1 为 f(x)的极值点. (Ⅰ)若 x=1 为 f(x)的极大值点,求 f(x)的单调区间(用 c 表示); (Ⅱ)若 f(x)=0 恰有两解,求实数 c 的取值范围. 【考点】函数在某点取得极值的条件;函数的零点;利用导数研究函数的单调性. 【专题】导数的综合应用. 【分析】(Ⅰ利用 x=1 为 f(x)的极大值点,得到 f'(1)=0,然后利用导数研究 f(x)的单调区间 (用 c 表示);
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(Ⅱ)分别讨论 c 的取值,讨论极大值和极小值之间的关系,从而确定 c 的取值范围. 【解答】解: ∵x=1 为 f(x)的极值点, ∴f'(1)=0, ∴ (I)若 x=1 为 f(x)的极大值点, ∴c>1, 当 0<x<1 时,f'(x)>0; 当 1<x<c 时,f'(x)<0; 当 x>c 时,f'(x)>0. ∴f(x)的递增区间为(0,1),(c,+∞);递减区间为(1,c). (II)①若 c<0,则 f(x)在(0,1)上递减,在(1,+∞)上递增, f(x)=0 恰有两解,则 f(1)<0,即 ,∴ c<0; 且 c≠1,b+c+1=0. ,

②若 0<c<1,则 f(x)的极大值为 f(c)=clnc+ c2+bc, f ∵b=﹣1﹣c, 则 f ③若 c>1,则 ,则 f(x)=0 只有一解. 综上,使 f(x)=0 恰有两解的 c 的范围为: c<0. =clnc﹣c﹣ ,从而 f(x)=0 只有一解; =clnc﹣c﹣ , , ,

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值和单调性,考查学生的计算能力,以及分类讨论思 想.

请考生在第 22.23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,选修 4-1:几何证 明选讲
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22.已知:直线 AB 过圆心 O,交⊙O 于 A、B,直线 AF 交⊙O 于 A、F(不与 B 重合),直线 l 与⊙O 相切于 C,交 AB 于 E,且与 AF 垂直,垂足为 G,连接 AC. (1)求证:∠BAC=∠CAG; (2)求证:AC2=AE?AF.

【考点】与圆有关的比例线段. 【专题】证明题;立体几何. 【分析】(1)连接 BC,根据 AB 为⊙O 的直径得到∠ECB 与∠ACG 互余,根据弦切角得到 ∠ECB=∠BAC,得到∠BAC 与∠ACG 互余,再根据∠CAG 与∠ACG 互余,得到∠BAC=∠CAG; (2)连接 CF,利用弦切角结合(1)的结论,可得∠GCF=∠ECB,再用外角进行等量代换,得到 ∠AFC=∠ACE,结合∠FAC=∠CAE 得到△ FAC∽△CAE,从而得到 AC 是 AE、AF 的比例中项, 从而得到 AC2=AE?AF. 【解答】证明:(1)连接 BC, ∵AB 为⊙O 的直径… ∴∠ACB=90°?∠ECB+∠ACG=90°… ∵GC 与⊙O 相切于 C, ∴∠ECB=∠BAC ∴∠BAC+∠ACG=90°… 又∵AG⊥CG?∠CAG+∠ACG=90° ∴∠BAC=∠CAG… (2)由(1)可知∠EAC=∠CAF,连接 CF ∵GE 与⊙O 相切于 C, ∴∠GCF=∠CAF=∠BAC=∠ECB ∵∠AFC=∠GCF+90°,∠ACE=∠ECB+90° ∴∠AFC=∠ACE… ∵∠FAC=∠CAE ∴△FAC∽△CAE…
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∴ ∴AC2=AE?AF…

【点评】 本题综合考查了弦切角、 三角形的外角定理和相似三角形的性质等知识点, 属于中档题. 解 题时要注意充分利用互余的角和弦切角进行等量代换,方可得到相似三角形.

选修 4--4:坐标系与参数方程 23.已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C1 的参数方程为 (t

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 为参数) , 以坐标原点为极点, 且曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)若直线 l 的斜率为 2,判断直线 l 与曲线 C1 位置关系; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π) 【考点】参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程. 【专题】计算题;方程思想;转化法;直线与圆;坐标系和参数方程. 【分析】(1)利用加减消元法和平方消元法消去参数 t,可把直线 l 与曲线 C1 的参数方程化为普通 方程,结合直线与圆的位置关系,可得结论; (2)将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点的坐标,进而可化为极坐标. 【解答】解:(1)由直线 l 的参数方程为 (t 为参数)可得直线 l 过(﹣1,1)点,

当直线 l 的斜率为 2 时,直线 l 的普通方程为 y﹣1=2(x+1),即 2x﹣y+3=0, 由曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数),消参得:(x﹣2)2+(y﹣4)2=4,

则曲线 C1 表示以(2,4)点为圆心,以 2 为半径的圆, 此时圆心到直线的距离 d= 故直线 l 与曲线 C1 相交;
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=

<2,

(2)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,即 ρ2=4ρcosθ, 化为普通方程为:x2+y2﹣4x=0, 由 得: ,

故 C1 与 C2 交点的坐标为(2,2), 故 C1 与 C2 交点的极坐标(2 , )

【点评】本题考查的知识点是参数方程与极坐标,直线与圆的位置关系,圆的交点,难度中档.

选修 4-5:不等式选讲 24.已知函数 f(x)= (1)求实数 a 的值; (2)求函数 g(x)的最小值. 【考点】函数的最值及其几何意义. 【专题】函数思想;分析法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(1)由 f(x)= 得 a 的值; (2)运用|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4,即可得到所求的最小值. 【解答】解:(1)f(x)= =a[(x﹣1)+ +1]≥a(2 +ax(a>0,x>1) +1)=3a, +ax=a[(x﹣1)+ +1],运用基本不等式可得最小值,解方程可 +ax(a>0)在(1,+∞)上的最小值为 15,函数 g(x)=|x+a|+|x+1|.

当且仅当 x=2 时,取得最小值 3a, 由题意可得 3a=15,解得 a=5; (2)函数 g(x)=|x+a|+|x+1|=|x+5|+|x+1|, 由|x+5|+|x+1|≥|(x+5)﹣(x+1)|=4, 当且仅当(x+5)(x+1)≤0,即﹣5≤x≤﹣1 时,取得等号. 则 g(x)的最小值为 4. 【点评】本题考查函数的最值的求法,注意运用基本不等式和绝对值不等式的性质,考查运算能力, 属于中档题.

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