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北京市东城区2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 文


北京市东城区 2015-2016 学年上学期高二年级期末考试 数学试卷(文科)
本试卷共 100 分,考试时长 120 分钟。 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的) 1. 圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 的半径为( A. 1 B. ) D. 4

2

C. 2 )

2. 直线 3x ? 3 y ? 1 ? 0 的倾斜角是( A. 30° B. 60°

C. 120°

D. 150° )

3. 过点(1,0)且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程为( A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 4. 双曲线 2x ? y ? 8 的实轴 长为(
2 2

B. x ? 2 y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 1 ? 0 ) C. 4 D. 4 2 )

A. 2

B. 2 2

5. 已知 m, n 表示两条不同直线, ? 表示平面,下列说法正确的是( A . 若 m⊥ ? , n ? ? ,则 m⊥n C. 若 m∥ ? , m ⊥n,则 n⊥ ? B. 若 m⊥ ? ,m⊥n,则 n∥ ? D. 若 m∥ ? , n ∥ ? ,则 m∥n

? x ? y ? 0, ? 6. 若 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为( ? x ? 0, ?
A. 0 B. 1 C.



3 2

D. 2 )

7. 已知抛物线 y 2 ? 8x 上 一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离为( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 )

8. 一个四棱锥的底面为长方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是(

1

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 )

9. 过点 P(? 3,?1) 的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是( A. (0,

3 ] 3

B. (0, 3 ]

C. [0,

3 ] 3

D. [0, 3 ]

10. 甲工厂八年来某种产品年产量与时间(单位:年)的函数关系如图所示。现有下列四种说法:

①前三年该产品产量增长速度越来越快; ②前三年该产品产量增长速度越来越慢; ③第三年后该产品停止生产; ④第三年后该产品年产量保持不变。 其中说法正确的是( A. ①③ ) C. ②③ D. ②④

B. ①④

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. 抛物线 y ? 4 x 的准线方程为__ __________。
2

12. 以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 __________。 13. 双曲线

x2 y2 ? ? 1 的两条渐近线的方程为_________。 16 9

2

14. f ?( x) 是 f ( x) ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) =__________。 3

15. 设椭圆 C : 知 | AB |?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,右顶点为 A,上顶点为 B,已 a2 b2

3 | F1 F2 | ,则 C 的离心率为________。 2

16. 如图所示, 正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的棱长为 1,BD ? AC ? O , M 是线段 D1O 上的动点, 过点 M 作平面 ACD1 的垂线交平面 A1 B1C1 D1 于点 N,则点 N 到点 A 距离的最小值为__________。

三、解答题(本大题共 5 小题,共 52 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分) 已知三角形的三个顶点 A(4,6), B(?3,0), C (?1,?4) ,求 BC 边上中线和高线所在的直线方程。 18.(本小题满分 10 分) 已知圆 C 经过 A(1,3), B(?1,1) 两点,且圆心在直线 y ? x 上。 (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 经过点 (2,?2) ,且 l 与圆 C 相交所得弦长为 2 3 ,求直线 l 的方程。 19.(本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形,PA=PB,且侧面 PAB⊥平面 ABCD,点 E 是 AB 的中点。

(Ⅰ)求证:CD∥平面 PAB; (Ⅱ)求证:PE⊥AD;

3

(Ⅲ)若 CA=CB,求证:平面 PEC⊥平面 PAB。 20.(本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ? 2x 3 ? (6 ? 3a) x 2 ? 12ax ? 2, a ? R 。 (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x) 在 [?2,2] 上的最小值。 21.(本小题满分 11 分) 已知椭圆

x2 y2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的长轴长为 2 2 ,离心率 e ? ,过右焦点 F 的直线 l 交椭 2 2 a b

圆于 P,Q 两点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)当直线 l 的斜率为 1 时,求△POQ 的面积; (Ⅲ)若以 OP,OQ 为邻边的平行四边形是矩形,求满足该条件的直线 l 的方程。

4

【试题答案】 一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. C 6. D 2. A 7. B 3. A 8. B 4. C 9. D 5. A 10. D

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11. x ? ?1 12. 2? 13. y ? ?

3 x 4

14. 3

15.

2 2

16.

6 2

三、解答题(共 5 小题,共 52 分) 17.(本小题满分 10 分) 解:设 BC 边中点为 M ( x0 , y0 ) , 因为 B(?3,0), C (?1,?4) , 所以 x 0 ?

? 3 ? (?1) ? ?2 , 2

y0 ?

0 ? (?4) ? ?2 。 2
2分

所以 M (?2,?2) 。 又 A(4,6),

k AM ?

4 。 3

4分 6分

所以 BC 边上中线所在的直线方程为 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 。

设 BC 边上的高线为 AH, 因为 AH⊥BC,

5

所以 k AH ? ?

1 k BC

?

1 。 2

8分 10 分

所以 BC 边上高线所在的直线方程为 x ? 2 y ? 8 ? 0 。 18.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)设圆 C 的圆心坐标为 ( a, a ) 。
2 2 依题意,有 (a ? 1) ? (a ? 3) ?

(a ? 1) 2 ? (a ? 1) 2 ,
2分 4分 5分

2 2 即 a ? 6a ? 9 ? a ? 2a ? 1,解得 a ? 1 。

所以 r 2 ? (1 ? 1) 2 ? (3 ? 1) 2 ? 4 , 所以圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 。 (Ⅱ)依题意,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 1, 所以直线 x ? 2 符合题意。 6分

设 直线 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 2) ,即 kx ? y ? 2k ? 2 ? 0 , 则

| k ?3|

4 ? 1 ,解得 k ? ? 。 3 k 2 ?1
4 ( x ? 2) ,即 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 。 3
9分 10 分

所以直线 l 的方程为 y ? 2 ? ?

综上,直线 l 的方程为 x ? 2 ? 0 或 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 。 19.(本小题满分 10 分) 解:(Ⅰ)因为底面 ABCD 是菱形,

所以 CD∥AB。 又因为 CD ? 平面 PAB, 且 AB ? 平面 PAB, 所以 CD∥平面 PAB。

1分 2分

3分

(Ⅱ)因为 PA=PB,点 E 是棱 AB 的中点, 所以 PE⊥AB, 因为平面 PAB⊥平面 ABCD, 4分

PE ? 平面 PAB,
6

所以 PE⊥平面 ABCD, 因为 AD ? 平面 ABCD, 所以 PE⊥AD。

6分

7分

(Ⅲ)因为 CA=CB,点 E 是 AB 的中点, 所以 CE⊥AB。 由(Ⅱ)可得 PE⊥AB, 又因为 CE ? PE ? E , 所以 AB⊥平面 PEC, 又因为 AB ? 平面 PAB, 所以平面 PAB⊥平面 PEC。 20.(本小题满分 11 分) 解: f ?( x) ? 6[ x 2 ? (2 ? a) x ? 2a] ? 6( x ? 2)(x ? a) 。 (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?(0) ? ?12, f (0) ? 2 , 所以切线方程为 y ? 2 ? ?12x ,即 12x ? y ? 2 ? 0 。 (Ⅱ)令 f ?( x) ? 0 ,解得: x1 ? ?2, x2 ? a 。 ① a ? 2 ,则当 x ? (?2,2) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (?2,2) 上单调递减, 所以,当 x ? 2 时, f ( x) 取得最小值,最小值为 f (2) ? 42 ? 36a 。 ② ? 2 ? a ? 2 ,则当 x ? (?2,2) 时, 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表: 6分 4分 2分 10 分 9分 8分

x
f ?( x)
f ( x)

-2

(?2, a)


a
0 极小值

(a,2)
+ ↗

2

10 ? 12 a



42 ? 36 a

所以,当 x ? a 时, f ( x) 取得最小值, 最小值为 f (a) ? ?a ? 6a ? 2 。
3 2

8分

③ a ? ?2 ,则当 x ? (?2,2) 时, f ?( x) ? 0, f ( x) 在 (?2,2) 上单调递增, 所以,当 x ? ?2 时, f ( x) 取得最小值, 最小值为 f (?2) ? 10 ? 12a 。 10 分

综上,当 a ? ?2 时, f ( x) 的最小值为 10 ? 12 a ; 当 ? 2 ? a ? 2 时, f ( x) 的最小值为 ? a ? 6a ? 2 ;
3 2

当 a ? 2 时, f ( x) 的最小值为 42 ? 36 a 。 21.(本小题满分 11 分)

11 分

7

x2 y2 解:(Ⅰ)由已知,椭圆方程可设为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 。 a b
因为长轴长为 2 2 ,离心率 e ? 所以 b ? c ? 1, a ? 所求椭圆方程为

1分

2 , 2

2,
3分

x2 ? y2 ? 1。 2

(Ⅱ)因为直线 l 过椭圆右焦点 F (1,0) ,且斜率为 1, 所以直线 l 的方程为 y ? x ? 1 。 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) , 由? 4分

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 1 得 3 y 2 ? 2 y ? 1 ? 0 ,解得 y1 ? ?1, y 2 ? , 3 ? y ? x ? 1,

所以 S ?POQ ?

1 1 2 | OF | ? | y1 ? y 2 |? | y1 ? y 2 |? 。 2 2 3
7分

6分

(Ⅲ)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 的方程为 x ? 1 ,此时∠POQ 小于 90°,OP,OQ 为邻边的 平行四边形不可能是矩形。

当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) 。

? x 2 ? 2 y 2 ? 2, 由? 可得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 。 ? y ? k ( x ? 1),
因为 ? ? 16k 4 ? 4(1 ? 2k 2 )(2k 2 ? 2) ? 8(k 2 ? 1) ? 0 ,

4k 2 2k 2 ? 2 , x1 x 2 ? 所以 x1 ? x 2 ? 。 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
因为 y1 ? k ( x1 ? 1), y 2 ? k ( x2 ? 1) ,

9分

?k2 所以 y1 y 2 ? 。 1 ? 2k 2
因为以 OP,OQ 为邻边的平行四边形是矩形, 所以 kOP ? kOQ ? ?1 , 因为

y1 y 2 ? ? ?1 , x1 x 2
10 分

2k 2 ? 2 ?k2 ? ? 0得k2 ? 2。 所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k
所以 k ? ? 2 。

8

所以所求直线的方程为 y ? ? 2 ( x ? 1) 。

11 分

9


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