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2013届高三数学期中复习卷(二)


2013 届高三数学期中复习卷(二)
一、填空题(本大题满分 56 分,每题 4 分) 1、不等式

1 ? 1 的解集是______________________. x

2 2 2、设集合 A ? {( x, y ) x ? y ? 4} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数是_

_____.

3、已知函数 f ( x ) ?

x ?1 1 ,则 f ( ) ? ____________. 3? x 5

4、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 ,公差 d ? 2 ,则当 Sn 取最小值时 n ? ____. 5、 (文)函数 y ? sin 2 x 的最小正周期是____________. (理)函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 的最小正周期是____________. 6、 (文)若关于 x 的不等式 x ? 4 ? x ? 6 ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. (理)若关于 x 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

? 个单位的函数解析式是____________. 6 ? 4? (理) ? ? 0 ,将函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移 设 个单位后与原图像重合, ? 则 3 3
7、 (文)将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移 的最小值是__________________. 8、 (文)若 x ?

?
6

是方程 2 cos ? x ? ? ? ? ?1 的解,其中 ? ? (0 , ? ) ,则 ? ? _________.

(理)设 x ? sin ? , ? ? ?

? ? 2? ? , 则 arccos x 的取值范围 , ?6 3 ? ?

.

9、已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,又当 x ? (0,1) 时,

f ( x) ? 2x ?1 ,则 f (log 1 6) ? __________________.
2

10、函数 y ? 2sin(2 x ? 范围是 11、已知 A ? {x |

?
6

) 的图像在 [0, m] 上恰好有两个点的纵坐标为 1 ,则实数 m 的取值


1 1 ? x ? 2} , f ( x) ? x 2 ? px ? q 和 g ( x ) ? x ? ? 1 是定义在 A 上的函数, 2 x

当 x 、 x0 ? A 时 , 有 f ( x) ? f ( x0 ) , g ( x) ? g ( x0 ) , 且

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则 f ( x) 在 A 上的最大值是
12、已知函数 y ? f (x) 的定义域和值域都是 [?1 , 1]



(其图像如下图所示) ,函数 g ( x) ? sin x, x ? [?? , ? ] .定义: 当 f ( x1 ) ? 0( x1 ? [?1,1]) 且 g ( x2 ) ? x1 ( x2 ? [?? , ? ]) 时, x2 称 是方程 f ( g ( x)) ? 0 的一个实数根.则方程 f ( g ( x)) ? 0 的所有 不同实数根的个数是 .

13、已知 an ? 2 ? ? ,如图把数列 {an } 的各项排成三角形.

?1? ? 3?

n

a1 a5 a2 a6 a3 a7 ?? a4 a8 a9

则 2 ? ? 位于第

?1? ?3?

90

行,第

列.

14、 (文) 设集合 A ? R , 如果 x0 ? R 满足: 对任意 a ? 0 , 都存在 x ? A , 使得 0 ?| x ? x0 |? a , 那么称 x0 为集合 A 的聚点.则在下列集合中: (1) Z ? Z
? ?

(2) R ? R

?

?

(3) {

n | n ? N *} n ?1

(4) { | n ? N }
*

1 n

以 0 为聚点的集合有

.(填写所有正确结论的序号)

(理) 下图展示了一个由区间 (0, 1) 到实数集 R 的对应过程: 区间 (0, 1) 中的实数 m 对应数轴上 的点 M ,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A 、 B 恰好重合,如图 2;再将这个圆放 在平面直角坐标系中, 使其圆心在 y 轴上, A 的坐标为 (0, 1) , 点 如图 3. 图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) , m 对应 n , 则 记作 f (m) = n .

给出下列五个结论: (1)方程 f (x) = 0 的解是 x =

1 ?1? ; (2) f ? ? ? 1 ; 2 ?4?

(3) f ? x ? 是奇函数;

(4) f ? x ? 在定义域上单调递增; 上述说法中正确命题的序号是

(5) f ? x ? 的图像关于点 ? 1 , 0 ? 对称. ? ? ?2 ? .(填写所有正确命题的序号)

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分) 15、等差数列 {an } 中,若 a1 ? a5 ? a9 ?

?
4

,则 tan(a2 ? a8 ) (D) ?1





(A)

3 3

(B) 3

(C) 1

16、 定义两种运算 a ? b ? a 2 ? b2,a ? b ?| a ? b | , 则函数 f ( x) ? (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数

x?2?2 的奇偶性 ( 2? x
(D)既奇又偶函数

)

17、设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? x x ? P且x ? Q? ,如果 P ? x log2 x ? 1 , ?

?

?

Q ? ? x x ?2 ? 1? ,则 P ? Q ?
(A) (0,1) (B) (0,1] (C) [1, 2) (D) [2,3)





18、设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K , 定义函数: f K ( x) ? ?

? f ( x ), f (x ) ? K 1 ?x , 若函数 f ? x ? ? a ( a ? 1 ) 当 K ? 时, . 函数 f K ( x) a ? K , f ( x) ? K
( (C) (??, ?1) (D) (1, ??) )

在下列区间上单调递减的是 (A) (??, 0) (B) ? ?a, ?? ?

三、解答题: (本大题满分 74 分) 19、(本题满分 12 分) 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个数的和是 12 ,求这四个数.

20、 (本题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? a lg ?1? x ? 是奇函数. (1)求 f ? x ? 的定义域; (2)求 a 的值;

(3)当 k ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? lg

1? x . k

21、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
4

) ? 1, (? ? 0) .

(1)若 f ( x ) 的最小正周期为 16,求 ? 的值; (2)利用(1)中的 ? 的值,在所给的坐标纸上作出函数 y ? f ( x), x ?[?2,14] 的简图; (3)利用(1)中的 ? 的值,令 g ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? R .求函数 g ( x) 的最小值以及取得 最小值时所对应的 x 的取值集合.

22、 (本题满分 18 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N ,点 ? n, ?
*

?

Sn ? ? 都在函数 f ( x) ? x ? 1 的图像上. n ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)将数列 ?an ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为 ? a1 ? , ? a2 , a3 ? , ? a4 , a5 , a6 ? ,

? a7 , a8 , a9 , a10 ? ; ? a11 ? , ? a12 , a13 ? , ? a14 , a15 , a16 ? , ? a17 , a18 , a19 , a20 ? ; ? a21 ? ,?,分别计算各个括
号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ?bn ? ,求 b5 ? b100 的值;

? a ? 1? 3 * (3)设 An 为数列 ? n ? 的前 n 项积,若不等式 An an ? 1 ? f ? a ? 1? ? 对一切 n ? N 都成立, 2a ? an ?
求 a 的取值范围.

23、 (本题满分 18 分) (文)对于定义在区间 D 上的函数 f ( x ) ,若存在闭区间 [a , b ] ? D 和常数 c ,使得对任意

x1 ?[a, b] ,都有 f ( x1 ) ? c ,且对任意 x2 ? D ,当 x2 ?[a, b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立,则称函
数 f ( x ) 为区间 D 上的“平底型”函数. (1)判断函数 f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | 和 f 2 ( x) ? x? | x ? 2 | 是否为 R 上的“平底型”函数, 并说明理由; (2)设 f ( x ) 是(1)中的“平底型”函数,k 为非零常数,若不等式 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ? R 恒成立,求实数 x 的取值范围; (3)若函数 g ( x) ? mx ? x 2 ? 2x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n 的值. ( 理 ) 设 f ( x ) 是 定 义 在 D 上 的 函 数 , 若 对 任 何 实 数 ? ? (0,1) 以 及 x1 、 x2 ? D 恒 有

f (? x ? ? 1 ? ?? x2 ) ? ? f ( x )? (1 ? )f (2 成立,则称 f ( x) 为定义在 D 上的下凸函数. ? x ) 1 1
(1) 判断 g ( x) ? 2 x ( x ? R) ,k ( x) ?

1 ( x ? 0) 是否为各自定义域上的下凸函数, 并说明理由; x

2 (2)若 h( x) ? px ( x ? R) 是下凸函数,求实数 p 的取值范围;

(3)已知 f ( x ) 是 R 上的下凸函数, m 是给定的正整数,设 f (0) ? 0 , f (m) ? 2m ,记

S f ? f (1) ? f (2)? f (3)?? ? f ( ,对于满足条件的任意函数 f ( x) ,求 S f 的最大值. m)

2013 届高三数学期中复习卷二(答案)
一、填空题(本大题满分 56 分,每题 4 分) 1、不等式

1 ? 1 的解集是______________________. x

(??,0) ?[1, ??)

2 2 2、设集合 A ? {( x, y ) x ? y ? 4} , B ? {( x, y) | y ? 3x } ,则 A ? B 的子集的个数是____. 4

3、已知函数 f ( x ) ?

x 1 ?1 1 ,则 f ( ) ? ____________. 3? x 5 2

4、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 ,公差 d ? 2 ,则当 Sn 取最小值时 n ? __. 6 5、 (文)函数 y ? sin 2 x 的最小正周期是__________. ? (理)函数 y ? 2 sin x cos x ? 2 sin 2 x 的最小正周期是_________. ? 6、 (文)若关于 x 的不等式 x ? 4 ? x ? 6 ? a 恒成立, 则实数 a 的取值范围是______. (??, 2] (理)若关于 x 不等式 x ? 3 ? x ?1 ? a2 ? 3a 恒成立,则实数 a 的取值范围是________.

(??, ?1] ? [4, ??)

? ? 个单位的函数解析式是_____. y ? sin(2 x ? ) 3 6 ? 4? (理) ? ? 0 ,将函数 y ? sin(? x ? ) ? 2 的图像向右平移 设 个单位后与原图像重合, ? 则 3 3 3 的最小值是___________. 2 ? ? 8、 (文)若 x ? 是方程 2 cos ? x ? ? ? ? ?1 的解,其中 ? ? (0 , ? ) ,则 ? ? _________. 2 6
7、 (文)将函数 y ? sin 2 x 的图像向右平移 (理)设 x ? sin ? , ? ? ?

? ? 2? ? , 则 arccos x 的取值范围 , ?6 3 ? ?

. [0,

?
3

]

9、已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,又当 x ? (0,1) 时,

f ( x) ? 2x ?1 ,则 f (log 1 6) ? ___________. ?
2

1 2

10、函数 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) 的图像在 [0, m] 上恰好有两个点的纵坐标为 1 ,则实数 m 的取值

范围是 11、已知 A ? {x |

.[

? 7?
2 , 6

)

1 1 ? x ? 2} , f ( x) ? x 2 ? px ? q 和 g ( x ) ? x ? ? 1 是定义在 A 上的函数, 2 x

当 x 、 x0 ? A 时 , 有 f ( x) ? f ( x0 ) , g ( x) ? g ( x0 ) , 且

f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则 f ( x) 在 A 上的最大值是
12、已知函数 y ? f (x) 的定义域和值域都是 [?1 , 1]

. 4

(其图像如下图所示) ,函数 g ( x) ? sin x, x ? [?? , ? ] .定义: 当 f ( x1 ) ? 0( x1 ? [?1,1]) 且 g ( x2 ) ? x1 ( x2 ? [?? , ? ]) 时, x2 称 是方程 f ( g ( x)) ? 0 的一个实数根.则方程 f ( g ( x)) ? 0 的所有 不同实数根的个数是 .

8
a1 a5 a2 a6 a3 a7 ?? a4 a8 a9

13、已知 an ? 2 ? ? ,如图把数列 {an } 的各项排成三角形.

?1? ? 3?

n

则 2 ? ? 位于第

?1? ?3?

90

行,第

列.

10 , 9

14、 (文) 设集合 A ? R , 如果 x0 ? R 满足: 对任意 a ? 0 , 都存在 x ? A , 使得 0 ?| x ? x0 |? a , 那么称 x0 为集合 A 的聚点.则在下列集合中: (1) Z ? Z
? ?

(2) R ? R

?

?

(3) {

n | n ? N *} n ?1

(4) { | n ? N }
*

1 n

以 0 为聚点的集合有

.(填写所有正确结论的序号) (2) (4)

(理) 下图展示了一个由区间 (0, 1) 到实数集 R 的对应过程: 区间 (0, 1) 中的实数 m 对应数轴上 的点 M ,如图 1;将线段 AB 围成一个圆,使两端点 A 、 B 恰好重合,如图 2;再将这个圆放 在平面直角坐标系中, 使其圆心在 y 轴上, A 的坐标为 (0, 1) , 点 如图 3. 图 3 中直线 AM 与 x 轴交于点 N (n,0) , m 对应 n , 则 记作 f (m) = n .

给出下列五个结论:

(1)方程 f (x) = 0 的解是 x =

1 ?1? ; (2) f ? ? ? 1 ; 2 ?4?

(3) f ? x ? 是奇函数;

(4) f ? x ? 在定义域上单调递增; 上述说法中正确命题的序号是

(5) f ? x ? 的图像关于点 ? 1 , 0 ? 对称. ? ? ?2 ? .(填写所有正确命题的序号) (1) (5) (4)

二、选择题(本大题满分 20 分,每题 5 分) 15、等差数列 {an } 中,若 a1 ? a5 ? a9 ?

?
4

,则 tan(a2 ? a8 ) (D) ?1



A )

(A)

3 3

(B) 3

(C) 1

16、定义两种运算 a ? b ? a 2 ? b2,a ? b ?| a ? b | ,则 f ( x) ? (A)奇函数 (B)偶函数 (C)非奇非偶函数

x?2?2 的奇偶性( A ) 2? x
(D)既奇又偶函数

17、设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P ? Q ? x x ? P且x ? Q? ,如果 P ? x log2 x ? 1 , ?

?

?

Q ? ? x x ?2 ? 1? ,则 P ? Q ?
(A) (0,1) (B) (0,1] (C) [1, 2) (D) [2,3)

( B )

18、设函数 y ? f ( x) 在 (??, ??) 内有定义,对于给定的正数 K , 定义函数: f K ( x) ? ?

? f ( x ), f (x ) ? K 1 ?x , 若函数 f ? x ? ? a ( a ? 1 ) 当 K ? 时, . 函数 f K ( x) a ? K , f ( x) ? K
( D ) (C) (??, ?1) (D) (1, ??)

在下列区间上单调递减的是 (A) (??, 0) (B) ? ?a, ?? ?

三.解答题: (本大题满分 74 分) 19、(本题满分 12 分) 有四个数, 其中前三个数成等差数列, 后三个数成等比数列, 且第一个数与第四个数的和是 16 , 第二个数与第三个数的和是 12 ,求这四个数.

? (a ? d ) 2 (a ? d ) 2 ? 16 ?a ? d ? 解:设这四个数为: a ? d , a, a ? d , ,则 ? a a ?2a ? d ? 12 ?
解得: ?

? a ? 4 ?a ? 9 或? ,所以所求的四个数为: 0, 4,8,16 ;或 15,9,3,1 . ?d ? 4 ?d ? ?6

20、 (本题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? lg ?1 ? x ? ? a lg ?1? x ? 是奇函数. (1)求 f ? x ? 的定义域; (2)求 a 的值; (3)当 k ? 0 时,解关于 x 的不等式 f ? x ? ? lg 解: (1) ?

1? x . k

?1 ? x ? 0 ? x ? (?1,1) ?1 ? x ? 0

(2)由 f (? x) ? ? f ( x) 得 lg(1 ? x) ? a lg(1? x) ? ? lg ?1? x ? ? a lg ?1? x ? 解得: a ? ?1 (3) lg(1 ? x) ? lg(1 ? x) ? lg

1? x 1? x 1? x ? lg ? lg k 1? x k

?1 ? x 1 ? x ? ?x ? 1? k ? 所以 ?1 ? x k ?? ??1 ? x ? 1 ??1 ? x ? 1 ?
所以 当 0 ? k ? 2时, x ??1 ? k,1? ;当 k ? 2时, x ? ? ?1,1? . 21、 (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ?

?
4

) ? 1, (? ? 0) .

(1)若 f ( x ) 的周期为 16,求 ? 的值; (2)利用(1)中的 ? 的值,在所给的坐标纸上作出函数 y ? f ( x), x ?[?2,14] 的简图; (3)利用(1)中的 ? 的值,令 g ( x) ? f ( x) ? f (? x), x ? R .求函数 g ( x) 的最小值以及取得

最小值时所对应的 x 的取值集合. 解:(1) ? ? (2)列表: X – 2 0 1 2 6 10 14
2?

2? 2? ? ? ? ; T 16 8

? ? x? 8 4
f ( x)
描点作图,得图象如下:

?
2

?
1

3? 2
– 1

3

1

(3) g ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 2 sin(

?
8

x? x?

?
4

) ? 1 ? 2 sin( ?

?
8

x?

?
4

) ?1

? 2 sin(

?
8

x?

?
4

) ? 2 sin(

?
8

?
4

) ? 2 ? 2 2 cos

?
8

x?2

∴当 ? x ? ? ? 2k? , k ? Z 即 x ?{x x ? 8 ? 16k , k ? Z} 时函数 g ( x) 取得最小值 2 ? 2 2 . 8 22、 (本题满分 18 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N ,点 ? n,
*

? ?

Sn ? ? 都在函数 f ( x) ? x ? 1 的图像上. n ?

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)将数列 ?an ? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为 ? a1 ? , ? a2 , a3 ? , ? a4 , a5 , a6 ? ,

? a7 , a8 , a9 , a10 ? ; ? a11 ? , ? a12 , a13 ? , ? a14 , a15 , a16 ? , ? a17 , a18 , a19 , a20 ? ; ? a21 ? ,?,分别计算各个括
号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为 ?bn ? ,求 b5 ? b100 的值;

? a ? 1? 3 * (3)设 An 为数列 ? n ? 的前 n 项积,若不等式 An an ? 1 ? f ? a ? 1? ? 对一切 n ? N 都成立, 2a ? an ?
求 a 的取值范围.

解: (1)? 点 ? n,

? ?

Sn ? ? 都在函数 f ? x ? ? x ? 1 的图像上, n?

?

Sn ? n ? 1 即 Sn ? n2 ? n , ? a1 ? S1 ? 2 , n
2

2 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? n ? n ? ? n ? 1? ? ? n ? 1? ? 2n

显然, n ? 1 时,满足上述等式,? an ? 2n ( n ? N )
*

(2)由已知可知:原数列按 1、2、3、4 项循环分组,每组中有 4 个括号,每组中共有 10 项, 因此第 100 个括号应在第 25 组第 4 个括号,该括号内四项分别为 a247 、 a248 、 a249 、 a250 因此 b100 ? a247 ? a248 ? a249 ? a250 ? 494 ? 496 ? 498 ? 500 ? 1988 , 又?b5 ? a11 ? 22 ,?b5 ? b100 ? 2010 (3)? An an ? 1 ? ?1 ?

? ?

? 1 ?? 1? 1? ??1 ? ? ????? ?1 ? ? ? 2n ? 1 , a1 ?? a2 ? ? an ?

?

An ?1 An

? ? 1 ?? 1? 1 ?? 1 ? ? ? 2n ? 3 ?1 ? ??1 ? ? ????? ?1 ? ??1 ? an ?1 ? 1 ? a1 ?? a2 ? ? an ?? an ?1 ? ? ? ? an ? 1 1 ?? 1? 1? ?1 ? ??1 ? ? ????? ?1 ? ? ? 2n ? 1 ? a1 ?? a2 ? ? an ?

2n ? 1 2n ? 3 4 n 2 ? 8n ? 3 2n ? 2 ? ? ? 1 恒成立. 2n ? 1 4 n 2 ? 8n ? 4
? An an ? 1 单调递减,? An an ? 1

?

?

?

?

max

? A1 a1 ? 1 ?

3 2

? f ? a ? 1? ? ?

3 3 3 3 ? 即a? 恒成立. ? 2a 2 2a 2

2a ? 3 a ? 3 2a 2 ? 3a ? 3 ?0 ? 0即 2a 2a

?

??

?

? 3 ? ? a 的取值范围为 ? ? ? 2 ,0? ? ? ? ?

?

3, ??

?

23、 (本题满分 18 分) (文)对于定义在区间 D 上的函数 f ( x ) ,若存在闭区间 [a, b] ? D 和常 数 c ,使得对任意 x1 ?[a, b] ,都有 f ( x1 ) ? c ,且对任意 x2 ? D ,当 x2 ?[a,b] 时, f ( x2 ) ? c 恒成立,则称函数 f ( x ) 为区间 D 上的“平底型”函数. (1)判断函数 f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | 和 f 2 ( x) ? x? | x ? 2 | 是否为 R 上的“平底型”函数, 并说明理由; (2)设 f ( x ) 是(1)中的“平底型”函数,k 为非零常数,若不等式 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ?R 恒成立,求实数 x 的取值范围; (3)若函数 g ( x) ? mx ? x 2 ? 2x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,求 m 和 n 的值. ( 理 ) 设 f ( x ) 是 定 义 在 D 上 的 函 数 , 若 对 任 何 实 数 ? ? (0,1) 以 及 x1 、 x2 ? D 恒 有

f (? x ? ? 1 ? ?? x2 ) ? ? f ( x )? (1 ? )f (2 成立,则称 f ( x) 为定义在 D 上的下凸函数. ? x ) 1 1
(1)试判断函数 g ( x) ? 2 x ( x ? R) ,k ( x) ? 明理由;
2 (2)若 h( x) ? px ( x ? R) 是下凸函数,求实数 p 的取值范围;

1 ( x ? 0) 是否为各自定义域上的下凸函数,并说 x

(3)已知 f ( x ) 是 R 上的下凸函数, m 是给定的正整数,设 f (0) ? 0 , f (m) ? 2m ,记

S f ? f (1) ? f (2)? f (3)?? ? f ( ,对于满足条件的任意函数 f ( x) ,试求 S f 的最大值. m)
(文)解: (1)对于函数 f1 ( x) ?| x ?1| ? | x ? 2 | ,当 x ? [1, 2] 时, f1 ( x) ? 1 . 当 x ? 1 或 x ? 2 时, f1 ( x) ?| ( x ?1) ? ( x ? 2) |? 1 恒成立,故 f1 ( x) 是“平底型”函数. 对 于 函 数 f 2 ( x)?

, ] ? ) x | x? 2, 当 x ? ( ? ? 2 时 , f2 ( x )? 2; 当 x ? ( 2 , ? 时 , ? |

所以不存在闭区间 [ a, b] ,使当 x ? [a, b] 时, f ( x) ? 2 恒成立. f 2 ( x)? 2 x? 2? . 2 故 f 2 ( x) 不是“平底型”函数. (2)若 | t ? k | ? | t ? k |?| k | ? f ( x) 对一切 t ?R 恒成立,则 (| t ? k | ? | t ? k |) min ?| k | ? f ( x) . 因为 (| t ? k | ? | t ? k |)min ? 2 | k | ,所以 2 | k |?| k | ? f ( x) .又 k ? 0 ,则 f ( x) ? 2 . 因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ,则 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ,解得

1 5 ?x? . 2 2

故实数 x 的范围是 [ , ] . (3)因为函数 g ( x) ? mx ? x 2 ? 2 x ? n 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数,则 存在区间 [ a, b] ? [?2, ??) 和常数 c ,使得 mx ? x2 ? 2x ? n ? c 恒成立.

1 5 2 2

?m2 ? 1 ?m ? 1 ? m ? ?1 ? ? ? 2 2 所以 x ? 2x ? n ? (mx ? c) 恒成立,即 ? ?2mc ? 2 .解得 ?c ? ?1 或 ?c ? 1 . ?n ? 1 ?n ? 1 ?c 2 ? n ? ? ?
?m ? 1 ? 当 ?c ? ?1 时, g ( x) ? x? | x ? 1| . ?n ? 1 ?
当 x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ?1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 2 x ? 1 ? ?1恒成立. 此时, g ( x) 是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数.

? m ? ?1 ? 当 ?c ? 1 时, g ( x) ? ? x? | x ? 1| . ?n ? 1 ?
当 x ?[?2, ?1] 时, g ( x) ? ?2 x ? 1 ? 1 ,当 x ? (?1, ??) 时, g ( x) ? 1 . 此时, g ( x) 不是区间 [?2, ??) 上的“平底型”函数. 综上分析, m ? 1, n ? 1 为所求.

(理)解: (1)

g (? x1 ? (1 ? ? ) x2 ) ? ? g ( x1 ) ? (1 ? ? ) g ( x2 ) ? 2(? x1 ? (1 ? ? ) x2 ) ? ? ? 2 x1 ? (1 ? ? ) ? 2 x2 ? 0
所以, g ( x) ? 2 x ( x ? R) 是 R 上的下凸函数. 取 x1 ? ?3 , x2 ? ?1 , ? ? ∴ k ( x) ?

1 1 ,则 k (? x1 ? (1 ? ? ) x2 ) ? ? k ( x1 ) ? (1 ? ? )k ( x2 ) ? ? 0 2 6

1 ( x ? 0) 不是下凸函数. x
2

(2) h( x) ? px ( x ? R) 是下凸函数,则对任意实数 x1 , x2 及 ? ? ? 0,1? ,有
2 h(? x1 ? (1 ? ? ) x2 ) ? ? h( x1 ) ? (1 ? ? )h( x2 ) ? p(? x1 ? (1 ? ? ) x2 )2 ? ? ? px12 ? (1 ? ? ) ? px2

? ? p? ?1 ? ? ?? x1 ? x2 ? ? 0
2

因为 ? ,1 ? ? ? ? 0,1? , ? x1 ? x2 ? ? 0 ,所以 p ? 0.
2

(3) 对任意 0 ? k ? m, k ? N ,取 x1 ? m, x2 ? 0 , ? ? 下凸函数, f (0) ? 0 , f (m) ? 2m

k ? (0, 1) ,则因为 f ? x ? 是 R 上的 m

所以 S f ? f (1) ? f (2) ? f (3) ??? f (m) ? 2(1 ? 2 ? 3 ? ?? 2m) ? m2 ? m 在(1)中已证 g ( x) ? 2 x ( x ? R) 是下凸函数,且使得 g (0) ? 0 , g (m) ? 2m 成立,此时

Sg ? m2 ? m.
综上所述, S f 的最大值为 m 2 ? m .


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