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双曲线教学案例


双曲线及其标准方程
背景 随着新课程改革的开始,素质教育的发展,计算机在教学上的应用越来越广泛,运用多 媒体技术教学已成为现实,如何在 40 分钟的课堂教学中提高教学效果,进行高质量的教学, 成为我们研究的重点。利用多媒体教学一方面能够更有效地利用课堂时间,合理的调动学生 的课堂积极性,把抽象难懂的知识概念用多媒体展示出来帮助学生理解,丰富教学内容,拓 展学生的思维空间,从而获得最佳的教学效果,另一方面也有利于教师的业务进修。 主题 本节课是双曲线内容的第一节, 在此之前学生已经学习了椭圆这种圆锥曲线,对学习曲 线方程有了一定基础和方法, 教学目标是了解双曲线的标准方程,能根据已知条件求双曲线的 标准方程。标准方程的简单应用中学会一种方法(待定系数法)两种数学思想(数形结合 分类讨论);另外,在课堂教学过程中了解求轨迹方程的基本方法. 案例设计 一、教材分析 本案例从学生的兴趣入手引入新课, 以椭圆的定义和建立椭圆的方程开始引导学生,着手 从双曲线的定义来推导双曲线的标准方程, 再从方程以及图像来深刻剖析双曲线的定义,从而 真正理解双曲线的定义及其标准方程。 设置的练习目的在于让学生真正理解标准方程的两种形式,分清两种形式里的 a,b,c 及 其焦点坐标,其中焦点坐标是 (±c,0) 还是 (0,± c) ,分别对应哪种形式值得强调。 例 1 是为熟悉双曲线的标准方程而设置的,也是用待定系数法求曲线的方程。例 2 的目 的在于说明双曲线的应用,也是为了让学生进一步熟悉双曲线的定义,解决应用题。与椭圆 2.2.1 节的例 3 照应,在本小节例 2 之后给出了一个探究题,这也是双曲线的另一种产生方 法。因为有 2.2.1 节例 3 的经验,这个“探究”并不困难。 最后的课堂训练是学生自己思考动手解决问题,让其体验学习过程,进一步明确今天所学 内容,达到对新学知识的再认识. 二、学情分析 高二学生已经形成了是非观,具备了一定的类比转化及分析问题的能力,在心里上也具 备了承受和辨证地接受别人的意见和建议,但对于复杂问题的处理还不够灵活,因此在课堂 上注意发挥学生的主体作用,体现教师的点拨引领效果。 三、教学目标 1、知识目标:理解和掌握双曲线的定义,标准方程及其求法。 2、能力目标:掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法,培养学生动手能力,体验类比及 数形结合等思想方法的运用,提高学生的观察与探究能力。 3、情感目标:通过对双曲线定义与椭圆定义的比较,使学生认识到比较法是认识事物掌握其 实质的一种有效方法,通过教师指导下的学生交流探索活动,激发学生的学习 兴趣,培养学生用联系的观点认识问题。 四、教学重点、难点 重点:理解和掌握双曲线的定义及其标准方程。 难点:双曲线标准方程的推导,分清双曲线标准方程的两种形式。

(解决方法多媒体辅助教学,指导学生自学法) 关键点:合理利用多媒体作为辅助工具,使学生了解双曲线定义和椭圆定义的区别,准 确理解双曲线的定义,。 五、教学程序设计: 创设情境:在上课之前首先用多媒体为学生播放校园歌曲《悲伤的双曲线》,动听的旋律响 起,一下就吸引了学生的注意,看着歌词,欣赏完歌曲,学生就开始围绕双曲线提 问,问定义、怎么画图像、方程是什么,自然而然的进入了这节课的内容。 (设计意图:学生都是十七八的年纪,正处在爱听歌,喜欢“为赋新诗强说愁”的阶段,所 以我从学生兴趣入手,由歌曲引入新课,比生硬的开场白要起到事半功倍的效果。) (一)复习提问 1.椭圆的定义是什么?(学生回答,教师板书) 平面内与两定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数(大于| F1 F2 |)的点的轨迹叫做椭圆.教师 要强调条件:(1)平面内;(2)到两定点 F1 、 F2 的距离的和等于常数;(3)常数 2a>| F1 F2 |. 2.椭圆的标准方程是什么?(学生口答,教师板书) (设计意图:把知识点在黑板上板书出来,在给出双曲线的定义、方程之后让学生能对 这两种圆锥曲线的异同直观的进行比较。) (二)双曲线的概念 设问:把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的方程是 怎样的呢? (设计意图:让学生产生疑问,自己设想,锻炼学生的想象能力。) 1.简单实验(边演示、边说明) 用多媒题演示拉链试验,让学生观察双曲线的形成过程,认识双曲线的形状及特点。 注意:常数要小于| F1 F2 |,否则作不出图形.这样作出的曲线就叫做双曲线. (设计意图:运用多媒体,把生涩难以想象的数学知识直观展示给学生,便于理解的同时, 活跃课堂气氛,让学生体会数学知识的神奇) 2.设问(多媒体展示) 问题 1:定点 F1 、 F2 与动点 M 不在平面上,能否得到双曲线?

问题 2:|M F1 |与|M F2 |哪个大?

问题 3:点 M 与定点 F1 、 F2 距离的差是否就是|M F1 |-|M F2 |?

问题 4:这个常数是否会大于等于| F1 F2 |? (设计意图:让学生回答,锻炼学生分析问题、解决问题的能力,同时通过这几个问题能准确 理解双曲线的定义,同时用多媒体展示直观明了,有助于学生理解) 3.定义 学生归纳,个别学生展示自己归纳的结果,锻炼学生的归纳总结能力。在上述基础上,引导 学生概括双曲线的定义: 平面内与两定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值是常数(小于| F1 F2 |)的点的轨迹叫做双曲 线.这两个定点 F1 、 F2 叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 教师指出:双曲线的定义可以与椭圆相对照来记忆,不要死记. (三)双曲线的标准方程 1、设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么? (意图:问题的提出目的是为了引起同学们对旧知识的联想,有助于类比。 ) 2、引导学生给出双曲线的方程的推导. (学生自己推导,最后教师用多媒体展示推导过程,锻炼学生的动手能力) x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2 y2 x2 ? = 1(a > 0, b > 0) a2 b2

3、两种标准方程的比较

教师引导学生指出: (1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a 不一定大于 b; (2)如果 x 2 项的系数是正的,那么焦点在 x 轴上;如果 y 2 项的系数是正的,那么焦点在 y 轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上. (3)双曲线标准方程中 a、b、c 的关系是 c 2 = a 2 + b 2 ,不同于椭圆方程中 c 2 = a 2 ? b 2 .

(四)练习与例题 练习: : (学生练习,教师个别指导) 1、双曲线 x2 y2 ? = 1 ,a=__,b=____,焦点坐标是________;焦距是________。 9 16

y2 x2 2、双曲线 - = 1 ,a=___,b=___,焦点坐标是________;焦距是_______。 9 16 (设计意图:让学生熟悉双曲线的标准方程及 a,b,c 的含义突破重点) 例 1、求满足下列条件的双曲线的标准方程: (1)已知双曲线两个焦点分别为 F1 (-5,0)、 F2 (5,0),双曲线上一点 P 到 F1 , F2 距 离差的绝对值等于 6,求双曲线的标准方程 ; (2)焦点为(0,-6),(0,6),且经过点(2,-5);
(3)经过点( - 2, 3 ) , (

15 ,2 ) 3

(设计意图:(1)小题让学生熟记双曲线的定义,在讲解的时候可以进行变式如:到 F1 (-5,0)、

F2 (5,0)的距离的差的绝对值改为 12,其他条件不变,会出现什么情况?考察学生对
定义理解的准确性。(2)小题考察学生会用定义法求双曲线标准方程,讲解时让学生上 台板演,然后再讲评,讲评时可以通过投影来展示其它同学的作法,加以比较。展示 锻练学生的心理素质, 比较可以规范解题格式。 小题考察学生分类讨论的数学思想) (3) 例 2、已知 A,B 两地相距 800m,在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2s,且声速为 340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程。 变式:如果 A,B 两处同时听到爆炸声,那么爆炸点在什么曲线上?为什么? (设计意图:在本章 2.1 曲线和方程一节中介绍了求曲线轨迹方程的方法,这道题在锻炼学 生利用定义法求曲线方程的同时还是强调对双曲线定义的掌握,在讲解时教师引导学 生按照求轨迹方程的步骤,建立适当的坐标系,设点,列方程,化简,用多媒体展示 图形形状,建系过程,化简有学生完成,锻炼计算能力) 探究:点 A,B 的坐标分别是(-5,0),(5,0),直线 AM,BM 相交于点 M,且它们斜率之积是
4 ,试求 9

点 M 的轨迹方程,并由点 M 的轨迹方程判断轨迹的形状。与 2.2 例 3 比较,你有什么 发现?

(指导学生用直接法求轨迹方程,投影展示不同学生结果,注意最后方程的限制条件) (五)小结 1.定义:平面内与两定点 F1 、 F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于| F1 F2 |)的点的轨迹.

3.图形(见图 2-25):

4.焦点: F1 (-c,0)、 F2 (c,0); F1 (0,-c)、 F2 (0,c). 5.a、b、c 的关系: c 2 = a 2 + b 2 ; (六)布置作业 1.根据下列条件,求双曲线的标准方程: (1)焦点的坐标是(-6,0)、(6,0),并且经过点 A(-5,2); (2)经过点 P (?3,2 7 ) 和 Q(?6 2,?7 ) ,焦点在 y 轴上。
3.已知圆锥曲线的方程为 mx 2 + ny 2 = m + n(m < 0 < m + n) ,求其焦点坐标.

(七)、板书设计

六、课后反思与启示 用学生感兴趣的音乐导入本课,使学生在快乐中学习,运用大量的图片和视频资料对比, 激发学生的积极性和主动性。本节课识记内容不多,但是计算很多,需要学生既动手又动脑, 另外解析几何内容相对枯燥,所以运用多媒体教学,增加活跃气氛,调动学生的积极性,整 节下来,学生兴趣很高,效果不错。但是有点不足的是,有几个学生下课后要求我把课件存 入班级电脑,问其原因,想听悲伤的双曲线这首歌,说明对有的学生这节课偏离了主体,重 点没发挥作用,还有待改善。


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