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用短除法求最小公倍数的方法步骤


用短除法求最小公倍数的方法步骤
文/春秋书生 教材介绍的是采用列举法和分解质因法求两个数的最小公倍数, 这两种方法 对于对较小数的求最小公倍数比较适用,但对较大的数来说,做起来就比较麻烦 了,下面是我总结的用短除法求最小公倍数的方法步骤: 第一步:找出两数的最小公因数,列短除式,用最小公因数去除这两个数, 得到两个商; 第二步:然后找出两个商的最小公因数,用最小公因数去

除这两个商,得到 新一级的两个商; 第三步:以此类推,直到这两个商为互质数(即两个商只有公因数 1)为止; 第四步: 将所有的公因数及最后的两个商相乘,所得积就是我们要求的两个 数的最小公倍数。 例:甲数=2×3×7×A,乙数=2×5×7×A,请问当 A=( )时,甲乙两数的最大 公因(约)数是 42。 A.2 B.3 C.5 D.7

题:求 96,30,132 的最小公倍数 1.30=2×3×5 2. 96=25×5 3. 132=22×3×11

所以【96,30,132】=25×3×5×11=5280
题:求【150,42】 因为(150,42)=21

所以【150,42】=150×42÷21=210

题:把一张长 60 厘米、宽 40 厘米的长方形纸板剪成边长是整数厘米 数的小正方形,且无剩余,最少可以剪成多少块?

解: (60,40)=20……这是小正方形的边长。 (60÷20)×(40÷20)=6(块) 或用面积计算: (60×40)÷(20×20)=6(块) 题:用长 5 厘米、宽 3 厘米的长方形纸片摆成一个正方形(中间无空 隙) ,至少要用多少个长方形纸片? 解: (5,3)=15(厘米)……这是正方形的边长。 (15÷5)×(15÷3)=15(个)长方形 如果一个数能被第二个数整除, 那么这两个数的最大公因数是第二个 数。

几个数公有的倍数,叫做它们的公倍数,其中最小的公倍数,叫做它们的最小 公倍数。 说出下列各组数的最小公倍数。 (口答) 第一组:12 和 4(12) 6 和 18 (18) 10 和 70(70)

倍数关系:最小公倍数是大数。最大公因数是小数。 第二组:3 和 5(15) 7 和 8 (56) 1 和 10(10)

互质关系:最小公倍数是它们的乘积。最大公因数是 1。 第三组:6 和 8(24) 其他关系:?????? 1、两个数的最小公倍数一定比这两个数都大。 ( ×) 12 和 18 (36) 10 和 15(30)

2、两个数的积一定是这两个数的最小公倍数。 (× ) 3、两个数的最小公倍数一定大于这两个数的最大公因数( × ) 。

某个七位数 1993 口口口能够同时被 2,3,4,5,6,7,8,9 整除,那么它的最后三位数字 依次是多少? 解答:采用试除法,一个数能同时被 2,3,4,5,6,7,8,9 整除,而将这些数一一分解 质因数:

用 1993000 试除,1993000÷2520=790……2200,余 2200 可以看成不足 2520-2200=320,所 以在末三位的方格内填入 320 即可. 我们看到原来的解答中必须要先求出 2,3,4,5,6,7,8,9 的最小公倍数,今天我就这 一个小小的问题和大家做一个简单的交流。 坦白的讲,

求多个数字的最小公倍数用分解质因数不是好方法,不直观,学生不好理解,没办法深 入的应用,例如我让你求 12,14,15,16,18,20,21,24,25 的最小公倍数呢?显然很 麻烦, 尤其对于对于奥数涉足不慎的同学那是一头雾水, 有没有咱们小学数学教上的内容就 可以直接解决的这样问题的方法呢? 有,就是短除法。我们先看一个简单的例子。 求一个同时被 6,8,9 整除的最小的数。

解答:用短除法:

所以,6,8,9 的最小公倍数就是 2×3×1×4×3=72

注:在求解多个数字的最小公倍数的时候,只要其中有两个数字有公约数,就可以提出 来,直至提完为止。过程中要注意,能约则除,不能约则降。例如,6 和 2 能约就约,4 和 3 不能约就直接写下来了。

我们现在求一下 12,14,15,16,18,20,21,24,25 的最小公倍数吧。

所以这些数字的最小公倍数是 2×2×2×3×5×7×2×3×5=25200。

可以使用整除法。 一直除到两个数互质,那么所有除数的乘积即最大公约数 而最小公倍数则是所有的因子,商相乘 例如 64,40 |64 40 除以 2, |32 20 商 32,20 |16 10 继续除以 2,商 16,10 |8 5 继续除以 2,商 8,5 8,5 互质,所以不能再除了 显然,2*2*2 是最小公约数, 最小公倍数 2*2*2*8*5=320 2 2 2 和换成多因子相乘是一样的 64=2*2*2*2*2*2 40=2*2*2*5 最小公倍数 2*2*2*8*5=320

几种最小公倍数的求法
1、 两数相乘法: 如果两个数是互质的关系, 最小公倍数即是它们的乘积。 例:求[5,7] [5,7]=5×7=35。 2、 倍数法: 如果一个数是另一个数的倍数时, 最小公倍数即是较大的数。 例:求[3,9] [3,9]=9。 3、寻找法:依次写出两个数的 2 倍数、3 倍数……,一直找到相同的数。 例:求[3,7] 3=6,9,12,15,18,21 7=14,21

[3,7]=21 4、分解质因数:分别写出两数的质因数,将各个因数相乘即是最小公倍 数,若因数有相同则取个数较多的相乘。 例:求[36,370] 36=2×2×3×3(2 较多,有 2 个) 270=2×3×3×3×5(3 较多,有 3 个。另有 1 个 5) [36,270]=2×2×3×3×3×5=540 例:求[6,7,8,9,10] 6=2×3 7=7 8=2×2×2 9=3×3 10=2×5 [6,7,8,9,10]=2×2×2×3×3×5×7=2520 5、 公式法: 由于两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数 的积。即 a×b=(a,b)×[a,b]。所以,求两个数的最小公倍数,就可以先 求出它们的最大公约数,然后用上述公式求出它们的最小公倍数。 例:求[12,18] 12=2×2×3 18=2×3×3 [12,18]=12×18÷6=216÷6=36 6、短除法:选出需求最小公倍数组中任意两个数的共同质因数,将所有 数都除以该质因数,能除尽的写下商,不能除尽的原数照抄。如此反复过程,直 到商的任意两个数都互质,再将所有的除数和商相乘,即得最小公倍数。 例:求[6,7,8,9,10]

第一步:选出 6,8,10 的共同质因数 2,用短除法。左边是除 数,下面是商,7、9 照抄 2│6,7,8,9,10 └─────── 3,7,4,9,5 第二步:选出 3,9 的共同质因数 3,用短除法 2│6,7,8,9,10 └─────── 3│3,7,4,9,5 └─────── 1,7,4,3,5 所以 2,3 是质因数(除数),1,7,4,3,5 是商,且任意二 个互质, [6,7,8,9,10]=2×3×1×7×4×3×5=2520

2.甲、乙、丙三班同学去公园划船,甲班 49 人,乙班 56 人,丙班 42 人,把各 班同学分别分成小组,分乘若干条小船,使每条船上人数相等,最少要有多少条 船? 根据题意,是求三个班人数的最大公约数(这里没法写过程) 最大约数是 7,所以需要的船的条数是 (49+56+42)/7=21 条 甲:7 条;乙:8 条:丙:6 条 共 21 条 3.三个朋友每人隔不同的天数到图书馆一次,甲 3 天一次,乙 4 天一次,丙 5 天 一次,上次三个人是星期二在图书馆相逢,至少还要过多少天才能在图书馆重 逢?重逢时是星期几? 根据题意,这题是求最小公倍数:最小倍数是 60,所以至少要 60 天才能在图书馆重 逢. 60/7=8 余 4,(没有余数就是还在周二,余 1 是周三,以此类推,余四是在周六)重逢时 是在周六. 4.有两根木料,一根长 2015 毫米,另一根长 755 毫米,要把它们锯成同样长的 小段,不许有剩余,但每锯一次要损耗 1 毫米的木料,每小段木料最长可以是多 少毫米? 根据题意:每段最长可以是 251 毫米 5.有若干名学生上体育课,内容是学习篮球、排球和足球。规定每二人合用一只 排球,每三人合用一只足球,每四人合用一只篮球,共用了 26 只球。问有多少 名学生。 先求最小公倍数:2.3.4 的最小公倍数是 12,这样 12 个人需要 6 个排球,4 个足球 和 3 个篮球,一共是 13 个球,也就是说每 13 个球就要分给 12 个人.共用了 26 个 球,也就是 2 个 13,也就是 12*2=24 名,有 24 名学生. 6.幼儿园买来桃 93 个,杏 123 个,桔子 150 个,分给大班的小朋友,每人要分 得一样多,结果桃、李各剩下 3 个,桔子恰好分完。大班小朋友最多有几个人?
解:人数一定是桔子数目的约数,也是桃子和杏的数目去掉 3 个的约数.即人数是

90, 120, 150 的最大公约数,由此可见,大班小朋友 30 人,每人分到 3 个桃 4 杏 5 个桔. 30 个人,分到 3 个桃,4 个杏,5 个桔

7.如果我们按每一行十个人排队,那么就有一个人剩下来,如果我们按每行九个 人排队,还是有一个人剩下来,如果我们按每一行是八个、七个、六个、五个、 四个、三个、两个人排队,都有一个人剩下来,而且我们的总数少于 5000 人, 试问我们一共是几个人。

解:这几数的最小倍数再加 1 就是人数了:最小公倍数是 2520,那么人数就应是 2521 人了.

题目:甲有 9 个约数,乙有 10 个约数,甲乙两数的最小公倍数是 2800,求甲 乙两数。 解:通过约数个数公式可知,甲数有 9 个约数,9=8+1 或 9=(2+1)×(2+1),甲 数分解质因数有二种可能:一种是只有 1 种质因数 a(假设是 a),a 的指数是 8; 二种是有 2 种质因数 a、b,指数分别都是 2. 因为甲、乙的最小公倍数是 2800, 所以甲是 2800 的约数, 分解质因数 2800=2×2×2×2×5×5×7, 其中最高指数是 4, 那么甲数只有 1 种质因数的情况不符合条件,舍去。得到甲数含有 2 种质因数, 且指数各是 2,得 甲=2×2×5×5 =100 。 同理乙数有 10 个约数,10=(1+1)×(4+1)或 10=9+1,可知乙数含有 2 种质因 数,且指数分别是 1 和 4 ,乙数是 2800 的约数,得到 乙=7×2×2×2×2 = 112 。 答:甲数是 100,乙数是 112 。


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