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空间几何二面角解题技巧练习


知识点: 二面角的求法

一、思想方法 求二面角的大小,是立体几何计算与运用中的一个重点和难点. 直接法的核心是作(或找)出二面角的平面 角,间接法可利用投影、异面直线、空间向量等。常用的方法有以下几种: 方法一(定义法)即从二面角棱上一点在两个面内分别引棱的垂线如图 1。 方法二(三垂线法)在二面角的一个面上一点 P 棱及另一个面分别引垂线 PA、PB,连接 AB,根据三垂线定 理(或逆定理) ,∠PAB 为所求的二面角的平面角.如图 2。 方法三(作垂面法)作棱的垂直平面,则这个垂面与二面角两个面的交线所夹的角就是二面角的平面角(图 3 中 ?MAN).

方法四(投影面积法)一个平面 ? 上的图形面积为 S,它在另一个平面 ? 上的投影面积为 S',这两个平面 的夹角为 ?,则 S'=Scos? 或 cos?= S .
/

S

方法五(异面直线法)如图 4 中,平面 ?、? 相交成 ? 角,AC、BD 分别在 ?、? 上,且与棱垂直.若 AC=m, 2 2 2 2 BD=n, CD=d,则有 AB =m +n +d -2mncos?,故 cos?= m ? n ? d ? AB (1)
2 2 2 2

2mn

在已知二面角两个面上两点间距离(即|AB|)的情况下,可以用此公式来求 ?. 说明:原来的公式中 ? 理解为两异面直线间的夹角,只取锐角(或直角) ,故根据 A、B 的位置情况公式是 2 2 2 2 AB =m +n +d ?2mncos?.但二面角可以取钝角,故只需取“-”号得出公式(1).

?? ?? ? n1 ? n2 ? 另一个指向外侧,则二面角 ? ? l ? ? 的平面角 ? = arccos ?? ?? 。 . | n1 || n2 |

方法六(空间向量法)如图 5,设 n1, n2 , 是二面角 ? ? l ? ? 的两个半平面的法向量,其方向一个指向内侧, .

?? ?? ?

二、例题: 例 1.在棱长为 1 的正方体 AC1 中, (1)求二面角 A ? B1D1 ? C 的大小; (2)求平面 C1BD 与底面 ABCD 所成二面角 C1 ? BD ? C 的平面角大小
王新敞
奎屯 新疆

例 2.如果二面角 ? ? l ? ? 的平面角是锐角,点 P 到 ? , ? ,l 的距离分别为 2 2, 4, 4 2 ,求二面角的大小 (垂 面法) 。
王新敞
奎屯 新疆

例 3.在正方体 AC1 中,E 是 BC 中点,F 在 AA1 上,且 A1F∶FA=1∶2,求平面 B1EF 与底面 A1B1C1D1 所成的二面角.

-1-

例 4.矩形 ABCD 的两边 AB=1,AD=

3 ,以

BD 为棱折成二面角,使 AC=

7 2

.求二面角 A-BD-C 的大小.

例 5. 正三棱柱 ABC ? A B1C1 的所有棱长均为2, P是侧棱 AA1 上任意一点. BC1 ? B1P 时, 当 求二面角 C ? B1P ? C1 1 的大小.

图 12

例 6.如图, AB ? 平面 BCD , BD ? CD ,若 AB ? BC ? 2BD ,求二面角 B ? AC ? D 的正弦值

王新敞
奎屯

新疆

例 7.如图,在空间四边形 ABCD 中, ?BCD 是正三角形, ?ABD 是等腰直角三角形,且 ?BAD ? 90 ,又二 面角 A ? BD ? C 为直二面角,求二面角 A ? CD ? B 的大小
?
王新敞
奎屯 新疆

A

B
-2-

H

D C

E

F

三、课堂练习题 1. 如图, ABCD-A1B1C1D1 是正方体, F 分别是 AD、 1 的中点, E、 DD 则面 EFC1B 和面 BCC1 所成二面角的正切值等于 ( C)

2. 在立体图形 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,PA=AB,Q 是 PC 中点.

AC,BD 交于 O 点.
(Ⅰ)求二面角 Q-BD-C 的大小:90° (Ⅱ)求二面角 B-QD-C 的大小.60°

3. 已知平面α ⊥平面β ,交线为 AB,C∈ ? ,D∈ ? , AB ? AC ? BC ? 4 3 ,E 为 BC 的中点,AC⊥BD,BD=8. ①求证:BD⊥平面 ? ; ②求证:平面 AED⊥平面 BCD; ③求二面角 B-AC-D 的正切值. tg?BFD ? BD ? 4
BF 3

4. 如图,△ABC 和△DBC 所在的两个平面互相垂直,且 ∠DBC=120°,求 (1) A、D 连线和直线 BC 所成角的大小; (2) 二面角 A-BD-C 的大小
D
-3-

AB=BC=BD,∠ABC=
A

B

C

90°.π -arctg2. 5. 正方形 ABCD 中,以对角线 BD 为折线,把Δ ABD 折起,使二面角 Aˊ-BD-C 为 60°,求二面角 B-AˊC-D 的余 弦值。-

1 7

6. 如图平面 SAC⊥平面 ACB,Δ SAC 是边长为 4 的等边三角形,Δ ACB 为直角三角形,∠ACB=90°,BC= 4 2 , 求二面角 S-AB-C 的余弦值。 22
11

课后练习: 1. 三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ? BAC=90 ,AB=BB1=1,直线 B1C 与平面 ABC 成 30 角,求二面角 B-B1C-A 的正弦值。
0 0

B1

C1

A1 Q B 二面角 B-B1C-A 的正弦值为 N C

6 。 3

A

2. 已知菱形 ABCD 边长为 a, 且其一条对角线 BD=a, 沿对角线 BD 将 ? B 折起 与 B D所在平面成直二面角, ?C AD 点 E、F 分别是 BC、CD 的中点。 (1)求 AC 与平面 AEF 所成的角的余弦值 (2)求二面角 A-EF-B 的正切值。

-4-

3. 如图,在梯形 ABCD 中,AD//BC, ? ABC=90 ,AB=a,AD=3a,sin ? ADC=
0

5 ,又 PA⊥平面 ABCD,PA=a,求二面 5

角 P-CD-A 的大小。 (答案:arctg

5 ) 3

4.

在直三棱柱 ABC—A′B′C′中, ∠BAC=90°, AB=BB′=1, 直线 B′C 与平面 ABC 成 30°的角.(如图所示)

(1)求点 C′到平面 AB′C 的距离;(2)求二面角 B-B′C—A 的余弦值.

-5-


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