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2014版广西《复习方略》(数学文)课时提升作业:7.4 曲线与方程]


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课时提升作业(三十六)
一、选择题 1.(2013·长春模拟)已知 M(-2,0),N(2,0),则以 MN 为斜边的直角三角 形的直角顶点 P 的轨迹方程为( (A)x2+y2=2 (C)x2+y2=2(x≠±

2) )

(B)x2+y2=4 (D)x2+y2=4(x≠±2)

2.(2013·玉林模拟)曲线 f(x,y)=0 关于直线 x-y-2=0 对称的曲线方程 是( ) (B)f(x-2,y)=0 (D)f(y-2,x+2)=0

(A)f(y+2,x)=0 (C)f(y+2,x-2)=0

3.设 x1,x2∈R,常数 a>0,定义运算“*”:x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2,若 x≥ 0,则动点 P(x,错误!未找到引用源。)的轨迹是( (A)圆 (B)椭圆的一部分 (C)双曲线的一部分 (D)抛物线的一部分 4.已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上的两点,且|AB|=6,若以 AB 为直径的圆 M 恰好经过点 C(1,-1),则圆心 M 的轨迹方程是( (A)(x-1)2+(y+1)2=9 ) )

(B)(x+1)2+(y-1)2=9 (C)(x-1)2+(y-1)2=9 (D)(x+1)2+(y+1)2=9 5.设动点 P 在直线 x=1 上,O 为坐标原点,以 OP 为直角边、点 O 为直角 顶点作等腰直角△OPQ,则动点 Q 的轨迹是( (A)圆 (C)抛物线 (B)两条平行直线 (D)双曲线 )

6.已知动点 P(x,y),若 lg y,lg|x|,lg 错误!未找到引用源。成等差数 列,则点 P 的轨迹图象是( )

7.已知点 P 在定圆 O 的圆内或圆周上,动圆 C 过点 P 与定圆 O 相切,则 动圆 C 的圆心轨迹可能是( (A)圆或椭圆或双曲线 (B)两条射线或圆或抛物线 (C)两条射线或圆或椭圆 )

(D)椭圆或双曲线或抛物线 8.(2013·合肥模拟)在△ABC 中,A 为动点,B,C 为定点,B(-错误!未找 到引用源。,0),C(错误!未找到引用源。,0)(a>0)且 满足条件 sinC-sinB=错误! 未找到引用源。 sinA,则动点 A 的轨迹方程 是( )

(A)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(y≠0) (B)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(x≠0) (C)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(x<-错误!未找 到引用源。) (D)错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。=1(x>错误!未找到 引用源。) 二、填空题 9.平面上有三个点 A(-2,y),B(0,错误! 未找到引用源。 ),C(x,y),若错 误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,则动点 C 的轨迹方程 是 .

10.(2013·南京模拟)设定点 M(-3,4),动点 N 在圆 x2+y2=4 上运动,以 OM,ON 为 邻 边 作 平 行 四 边 形 MONP, 则 点 P 的 轨 迹 方 程 为 .

11.坐标平面上有两个定点 A,B 和动点 P,如果直线 PA,PB 的斜率之积为 定值 m,则点 P 的轨迹可能是:①椭圆;②双曲线;③抛物线;④圆;⑤直 线.试将正确的序号填在横线上: .

12.(能力挑战题)设椭圆方程为 x2+错误! 未找到引用源。 =1,过点 M(0,1)

的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,O 是坐标原点,点 P 满足错误!未找到引用 源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。+错误!未找到引 用源。),当 l 绕点 M 旋转时,动点 P 的轨迹方程为 三、解答题 13.已知圆 C:x2+y2=4. (1)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A,B 两点,若|AB|=2 错误! 未找到 引用源。,求直线 l 的方程. (2)过圆 C 上一动点 M 作平行于 x 轴的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 N, 若向量错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到 引用源。,求动点 Q 的轨迹方程. 14.(能力挑战题)已知线段 AB 的两个端点 A,B 分别在 x 轴、y 轴上滑 动,|AB|=3,点 M 满足 2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (1)求动点 M 的轨迹 E 的方程. (2)若曲线 E 的所有弦都不能被直线 l:y=k(x-1)垂直平分,求实数 k 的 取值范围. .

答案解析
1.【解析】选 D.设 P(x,y),则|PM|2+|PN|2=|MN|2, 所以 x2+y2=4(x≠〒2). 【误区警示】本题易误选 B.错误的根本原因是忽视了曲线与方程的关

系,从而导致漏掉了 x≠〒2. 2.【解析】选 C.设所求曲线上任意一点为(x,y), 其关于直线 x-y-2=0 的对称点为(x',y'),则
? y ? y? ? x ? x? ? ?1, 错误!未找到引用源。 ? 得错误!未找到引用源。 ? x ? x ? y ? y ? ? ? ? 2 ? 0, ? ? 2 2

∵点(x',y')在 f(x,y)=0 上,∴所求曲线为 f(y+2,x-2)=0. 3.【解析】选 D.∵x1*x2=(x1+x2)2-(x1-x2)2, ∴错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=2 错误!未找到引用 源。. 则 P(x,2 错误!未找到引用源。). 设 P(x1,y1),即错误!未找到引用源。 消去 x 得错误!未找到引用源。=4ax1(x1≥0,y1≥0), 故点 P 的轨迹为抛物线的一部分. 4.【解析】选 A.因为以 AB 为直径的圆恰好经过点 C(1,-1 ),∴CA⊥CB, 故△ACB 为直角三角形, 又 M 为斜边 AB 中点, ∴|MC|=错误! 未找到引用源。|AB|=3,故点 M 的轨迹是以 C(1,-1)为圆 心,3 为半径的圆, 其方程为(x-1)2+(y+1)2=9. 5.【思路点拨】设动点 P 的纵坐标 t 为参数,来表示|OP|=|OQ|,错误! 未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。=0,并消去参数得轨迹方程,从 而确定轨迹. 【解析】选 B.设 P(1,t),Q(x,y),由题意知|OP|=|OQ|,

∴1+t2=x2+y2,



又错误!未找到引用源。 〃错误!未找到引用源。=0,∴x+ty=0, ∴t=-错误!未找到引用源。,y≠0. ② 把②代入①,得(x2+y2)(y2-1)=0,即 y=〒1. 所以动点 Q 的轨迹是两条平行直线. 6.【解析】选 C.由题意可知 2lg|x|=lgy+lg 错误!未找到引用源。, ∴错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用源。 ? 错误!未找到引用源。 7.【解析】选 C.当点 P 在定圆 O 的圆周上时,圆 C 与圆 O 内切或外 切,O,P,C 三点共线,∴轨迹为两条射线; 当点 P 在定圆 O 内时( 非圆心),|OC|+|PC|=r0 为定值,轨迹为椭圆; 当 P 与 O 重合时,圆心轨迹为圆. 【误区警示】本题易因讨论不全,或找错关系而出现错误. 8.【解析】选 D.∵sinC-sinB=错误!未找到引用源。sinA, 由正弦定理得到 |AB|-|AC|=错误! 未找到引用源。 |BC|=错误! 未找到引用源。 a(定值). ∴A 点轨迹是以 B,C 为焦点的双曲线右支(不包括点(错误! 未找到引用 源。,0)),其中实半轴长为错误!未找到引用源。,焦距为|BC|=a. ∴虚半轴长为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。a. ∴动点 A 的轨迹方程为错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。

=1(x>错误!未找到引用源。). 9. 【 解 析 】 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 =(0, 错 误 ! 未 找 到 引 用 源。)-(-2,y)=(2,-错误!未找到引用源。), 错误!未找到引用源。=(x,y)-(0,错误!未找到引用源。)=(x,错误! 未找到引用源。), ∵错误!未找到引用源。⊥错误!未找到引用源。,∴错误!未找到引 用源。 〃错误!未找到引用源。=0, ∴(2,-错误! 未找到引用源。 )〃 (x,错误! 未找到引用源。 )=0,即 y2=8x. ∴动点 C 的轨迹方程为 y2=8x. 答案:y2=8x 10.【解析】设 P(x,y),圆上的动点 N(x0,y0),则线段 OP 的中点坐标为 (错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),线段 MN 的中点坐标 为(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),又因 为平行四边 形的对角线互相平分,所以有错误!未找到引用源。可得错误!未找到 引用源。 又 因 为 N(x0,y0) 在 圆 上 , 所 以 N 点 坐 标 应 满 足 圆 的 方 程 . 即 有 (x+3)2+(y-4)2=4,但应除去两点(-错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。)和(-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。). 答案:(x+3)2+(y-4)2=4(除去两点(-错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。)和 (-错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)) 11.【解析】以直线 AB 为 x 轴,线段 AB 的中垂线为 y 轴建立平面直角

坐标系,设 A(-a,0),B(a,0),P(x,y),则有错误! 未找到引用源。 〃 错误! 未找到引用源。=m,即 mx2-y2=a2m,

当 m<0 且 m≠-1 时,轨迹为椭圆;当 m>0 时,轨迹为双曲线;当 m=-1 时, 轨迹为圆;当 m=0 时,轨迹为一直线;但轨迹不可能是抛物线. 答案:①②④⑤ 12.【思路点拨】当直线 l 的斜率存在时,设其斜率为 k,用参数法求解, 然后验证斜率不存在时是否符合要求. 【解析】直线 l 过点 M(0,1),当斜率存在时,设其斜率为 k, 则 l 的方程为 y=kx+1. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 由题设可得点 A,B 的坐标(x1,y1),(x2,y2)是方程组错误! 未找到引用源。 的解, 将①代入②并化简得,(4+k2)x2+2kx-3=0, 所以错误!未找到引用源。 于是错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(错误!未找到引 用源。+错误!未找到引用源。)=(错误!未找到引用源。,错误!未找 到引用源。) =(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。). 设点 P 的坐标为(x,y),则错误! 未找到引用源。 消去参数 k 得 4x2+y2-y=0

③ 当斜率不存在时,A,B 中点为坐标原点(0,0),也满足方程③,所以点 P 的轨迹方程为 4x2+y2-y=0. 答案:4x2+y2-y=0 【方法技巧】利用参数法求轨迹方程的技巧 参数法是求轨迹方程的一种重要方法,其关键在于选择恰当的参数.一 般来说,选参数时要注意: ①动点的变化是随着参数的变化而变化的 ,即参数要能真正反映动点 的变化特征;②参数要与题设的已知量有着密切的联系 ;③参数要便于 轨迹条件中的各种相关量的计算,也要便于消去.常见的参数有角度、 斜率、点的横坐标、纵坐标等. 13.【解析】(1)①当直线 l 垂直于 x 轴时,则此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1,错误!未找到引用源。)和(1,-错误!未找 到引用源。),其距离为 2 错误!未找到引用源。,满足题意. ②若直线 l 不垂直于 x 轴,设其方程为 y-2=k(x-1),即 kx-y-k+2=0. 设圆心到此直线的距离为 d,则 2 错误!未找到引用源。=2 错误!未找 到引用源。, 得 d=1. ∴1=错误!未找到引用源。,解得 k=错误!未找到引用源。, 故所求直线方程为 3x-4y+5=0. 综上所述,所求直线为 3x-4y+5=0 或 x=1. (2)设点 M 的坐标为(x0,y0),点 Q 的坐标为(x,y),则 N 点坐标是( 0,y0),

∵错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用 源。, ∴(x,y)=(x0,2y0)即 x0=x,y0=错误!未找到引用源。. 又∵错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=4,∴x2+错误!未 找到引用源。=4. 由已知,直线 m∥x 轴,所以 y≠0, ∴Q 点的轨迹方程是错误! 未找到引用源。 +错误! 未找到引用源。 =1(y ≠0). 14.【解析】(1)设 M(x,y),A (x0,0),B(0,y0), 则错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=9,错误!未找到引 用源。=(x-x0,y),错误!未找到引用源。=(-x,y0-y). 由 2 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,得错误!未找到 引用源。解得错误!未找到引用源。 代入错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=9, 化简得点 M 的轨迹方程为错误!未找到引用源。+y2=1. (2)由题意知 k≠0, 假设存在弦 CD 被直线 l 垂直平分,设直线 CD 的方程为 y=-错误!未找 到引用源。x+b, 由错误!未找到引用源。消去 y 化简得 (k2+4)x2-8kbx+4k2(b2-1)=0, Δ=(-8kb)2-4(k2+4)〃4k2(b2-1) =-16k2(k2b2-k2-4)>0,

k2b2-k2-4<0, 设 C(x1,y1),D(x2,y2),CD 中点 P(xp,yp), 则 x1+x2=错误!未找到引用源。, xp=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, yp=-错误!未找到引用源。xp+b=-错误!未找到引用源。 〃错误!未找 到引用源。+b=错误!未找到引用源。, 又 yp=k(错误!未找到引用源。-1), ∴k(错误!未找到引用源。-1)=错误!未找到引用源。,得 b=错误!未 找到引用源。, 代入 k2b2-k2-4<0,得错误!未找到引用源。-(k2+4)<0, 解得 k2<5,∴-错误!未找到引用源。<k<错误!未找到引用源。. ∴当曲线 E 的所有弦都不能被直线 l:y=k(x-1)垂直平分时,k 的取值范 围是 k≤-错误!未找到引用源。或 k≥错误!未找到引用源。.

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