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人教版高一数学必修一知识点总结大全


一 集合与函数

? ?确定性 ? ? 集合中元素的特征 ?互异性 ? ?无序性 ? ? ? ? 1 集合的含义及表示 ? 集合与元素的关系 : ? ? ? 列举法 ? 集合的表示 ? ? ? ?描述法 ? * ? ? 常见的数集 N N Z Q R

? 子集: ? ? 集合相等: 2 集合间的基本关系 ? ? ?真子集: ?


A ? B ,? ? A, A ? A
1? 定义:A=B 2? 若A ? B且B ? A则A ? B

若A ? B且 A ? B, 则A ? B
?

空集 ? 的特殊性: 空集是任何集合的子集,任何非空集合的真子集 *结论 含有 n 个元素的集合,其子集的个数为 2 ,真子集的个数为 2 ? 1
n n

? 并集:A ? B ? ? x | x ? A或x ? B? ? 3 集合的基本运算 ? 交集:A ? B ? ? x | x ? A且x ? B? ? 补集:C A ? ? x | x ?U 且x ? A? U ?
在集合运算中常借助于数轴和文氏图(*注意端点值的取舍) *结论 (1) A ? A ? A A ? A ? A , (2) 若A ? B ? B则A ? B (3) A ? (CU A) ? ? (4)若 A ? B ? ?

A ?? ? A A ?? ? ?

若A ? B ? A 则 A? B

A ? (CU A) ? U
则 A?? 或 A??

1

? 函数的定义 ? ? 定义域 ? ?函数的三要素 ? ?对应法则 ? ? 值域 ? ? 4 函数及其表示 ? ? 区间的表示 ? ?解析式法 ? ? ?函数的表示法 ? 列表法 ? ? 图像法 ? ?
5 函数的单调性及应用 (1) 定义: 设 x1 ? x2 ? ?a, b?, x1 ? x2 那么:

x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ? x1 ? x2 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 )? ? 0 ?
?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是增函数; x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ? f ( x)在?a, b? 上是减函数. x1 ? x2

(2) 判定方法: 1 定义法(证明题) 2 图像法 3? 复合法 (3) 定义法:证明函数单调性用 利用定义来证明函数单调性的一般性步骤:

?

1? 设值:任取 x1 , x2 为该区间内的任意两个值,且 x1 ? x2 2? 做差,变形,比较大小:做差 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,并利用通分,因式分解,配方,有理化等方
法变形比较 f ( x1 ), f ( x2 ) 大小

3? 下结论(说函数单调性必须在其单调区间上)
(4)常见函数利用图像直接判断单调性:一次函数,二次函数,反比例函数,指对数函数,幂函数, 对勾函数 (5)复合法:针对复合函数采用同增异减原则 (6)单调性中结论:在同一个单调区间内:增+增=增: 增—减=增:减+减=减:减—增=增 若函数 f ( x ) 在区间 ?a, b? 为增函数,则— f ( x ) ,
?

1 ) 在 ?a, b? 为减函数 f (x

(7)单调性的应用: 1 :利用函数单调性比较大小

2? 利用函数单调性求函数最值(值域)
重点题型:求二次函数在闭区间上的最值问题

2

6 函数的奇偶性及应用 (1)定义:若 f ( x ) 定义域关于原点对称

1? 若对于任取 x 的,均有 f (? x) ? f ( x)

则 f ( x ) 为偶函数

2? 若对于任取 x 的,均有 f (? x) ? ? f ( x) 则 f ( x) 为奇函数
(2)奇偶函数的图像和性质 偶函数 函数图像关于 y 轴对称 整式函数解析式中只含有 x 的偶次方 奇函数 函数图像关于原点对称 整式函数解析式中只含有 x 的奇次方

f (? x) ? f ( x)
在关于原点对称的区间上其单调性相反

f (? x) ? ? f ( x)
在关于原点对称的区间上其单调性相同 若奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0

(3)判定方法: 1 定义法 (证明题) 2 图像法 (4)定义法: 证明函数奇偶性 步骤: 1
?

?

?

3? 口诀法

求出函数的定义域观察其是否关于原点对称(前提性必备条件)

2? 由出发 f (? x) ,寻找其与 f ( x) 之间的关系
3? 下结论(若 f (? x) ? f ( x) 则 f ( x) 为偶函数,若 f (? x) ? ? f ( x) 则 f ( x) 为奇
函数函数) (4) 口诀法: 奇函数+奇函数=奇函数:偶函数+偶函数=偶函数 奇函数 ? 奇函数=偶函数: 奇函数 ? 偶函数=奇函数:偶函数 ? 偶函数=偶函数

3

二 指数函数与对数函数
1 指数运算公式

1? a m ? a n ? a m?n
3? (ab)m ? ambm

2? a m ? a n ? a m?n 4? (am )n ? amn
6? a n ? n a m
m

a am 5? ( ) m ? m b b
7? a
? m n

?

1
n

am

8?

n

? a ,当n为偶数时 an ? ? ? a,当n为奇数时

2 对数运算公式 (1)对数恒等式

当a ? 0, a ? 1 时 , a x ? N ? x ? loga N
loga 1 ? 0 log aa? 1
a loga N ? N

(2)对数的运算法则 (a ? 0且a ? 1, M ? 0, N ? 0)

1? 2?
3?

log ( ?N ? ) a M
M log ? ) a ( N

la og M?
la oM g?

l N g ao
l N og a

log (n ? )n a M

lao M g

(3)换底公式及推论

log a b ?
推论

log c b log c a

(a ? 0 且 a ? 1,c ? 且 0 c ? 1, b? 0)
n lo g ab m

1? 2?
3?

log bn ? am

log a N ?

1 log N a

log c? ab lo bg

la oc g

4

3 指数函数与对数函数

图 像

定义 域 值域 定点 单调 性 4 指数与对数中的比较大小问题 (1)指数式比较大小

1? a m , a n 2? a m , bn
(2)对数式比较大小

1? log a m , loga n 2? log a m , logb n
5 指数与对数图像

6 幂函数:一般地,函数 y ? x 叫做幂函数,其 x 中为自变量, ? 是常数
?

几种幂函数的图象:

5

函数零点及二分法
一 函数零点的判定 (一) 函数有实数根 ? 函数的图像与轴有交点 ? 函数有零点 (二) 函数的零点的判定定理 如果函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b? 上的图像时连续不断的一条曲线, 并且有 f (a) f (b) ? 0 , 那么, 函数 y ? f ( x) 在区间 ? a , b? 内有零点,即存在 c ? ? a , b? ,使得 f (c) ? 0 ,这个 c 也就是方程的根 函数二分法的应用 (一) 函数二分法: 对于在区间上连续不断且的函数, 通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法。 给定精确度 ? ,用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤如下: 1 确定区间 ? a , b? ,验证 f (a) f (b) ? 0 ,给定精确度 ? 2 求区间的中点 c 3 计算 f (c) (1) 若 f (c) ? 0 ,则 c 就是函数的零点 (2) 若 f (a) f (c) ? 0 ,则令 b ? c (此时零点 x? ? (a, c) ) (3) 若 f (c) f (b) ? 0 ,则令 a ? c (此时零点 x? ? (c, b) ) 4 判定是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a (或 b ) :否则重复 2 (二)函数二分法及精度计算 二

4

1 L ? ( )n ? ? 2

(L ? a ? b )

6


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