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黑龙江省龙东南四校2014-2015学年高一下学期期末联考数学(理)试题


2014-2015 学年度下学期高一期末考试 高一(理科)数学试题
一.选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.请把答案涂在答题卡上 .) .......... 1.在等差数列{ a }中, a1 ? a4 ? a7 ? 39, a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列{ a }的 前 9

项和 S9 ?
n
n

A.66

B.99

C.144

D.297 )

2.已知直线 x ? 2ay ? 1 ? 0 与直线 (a ? 2) x ? ay ? 2 ? 0 平行,则 a 的值是( A.

3 2

B 或0

3 2

C .-

2 3
)

D. -

2 或0 3

3. 已知?ABC中,a ? 5,b ? 15, ?A ? 300 , 则c ? (
A. 15 B. 5

C.2 5或 5

D. 15或 5

4.设一元二次不等式 ax 2 ? bx ? 1 ? 0 的解集为 ?x | ?1 ? x ? 2}, 则 ab 的值为 A.1 B.- 1
4

(

)

C.4

D. ? 1

2

5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是(



A.8

B. 4 2

C. 4 5

D.10

6.已知公比 为 q 的等比数列{ an }中, a5 ? a9 ? A.1 B.-4 C. 1
4

1 q ,则 a6 (a2 ? 2a6 ? a10 ) 的值为( 2
D. ? 1
2

)

7.若过点 P(- 3 ,-1)的直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? 1 有公共点,直线 l 的倾斜角的取值范围( ) A. (0,

?
6

]

B (?

? ?

, ]. 6 3

C. [ ?

? ?

, ] 6 6

D. [ 0,

? ] 3


8.设 a , b 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题 错误的是( A. 若a ? ? , b // ? , 则a ? b B. 若a ? ? , b // a, b ? ? , 则? ? ?

C. 若a ? ? , b ? ? , ? // ? , 则a // b

D. 若a // ? , a // ? , 则? // ? )

9.用与球心距离为 2 的平 面去截球,所得的截面面积为 ? ,则球的体积为( A.

20? 3

B.

20 5? 3

C. 20 5?

D.

100 ? 3

10. 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 cos( A ? C ) ? 1 ? cos B, a ? 2c ,则

cos B 的值为 (
A.

)

1 2

B.

3 2

C. ?

3 2

D. ?

1 2

? x ? ?1 11.不等式组 ? ? x ? y ? 3 表示的平面区域为 Ω , 直线 y ? kx ? 1 与区域 Ω 有公共点 ,则 实数 k ?y ? x ?1 ?
的取值范围为 A. (0,3] B. [?1,3]
2

( C. (??,?1] ? [3,??)
2



D. (??,1] ? [3,??)

12.已知圆 C1 : ?x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1 , 圆 C2 与圆 C1 关于直线 2 x ? y ? 2 ? 0 对称, 则圆 C2 的方程 为 A. ( )

?x ?1?2 ? ( y ? 2)2 ? 1
2

B. x2 ? ? y ? 1? ? 1
2

C. ?x ? 1? ? ( y ?1) 2 ? 1

D. ( x ? 2)2 ? ? y ?1? ? 1
2

第 2 卷(非选择题)
二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.请把答案填在答题卡上 .) .......... 13.已知数列 { a }对于任意 p, q ? N * , 有a p ? aq ? a p?q 若, a1 ? n

1 则 a36 ? 9

14.已知?ABC中, 角 A , B , C 所对的边长分别为 a , b, c ,且满足 c sin A ? 3a cos C ,则

sin A ? sin B 的最大值是
15.函数 y ?

x 2 ? 3 的最小值是 x2 ? 2

16.如图所示,在四边形 ABCD 中,AB=AD=CD=1,BD= 2 ,BD ? CD,将四边形 ABCD 沿对
/ 角线 BD 折成四面体 A ? BCD ,使平面 A BD ? 平面 BCD , 则下列结论正确的
/

A

A/

B

D

B

D


/

. (2) ?BA C ? 90 ;
/ ?

(1) A C ? BD ;

/ / ? (3) CA 与平面 A BD 所成的角为 30 ;

(4)四面体 A ? BCD 的体积为
/

1 . 6

三、解答题(本大题共六小题,满分 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 .) ................... 17.(本小题满分 10 分) 在四棱柱 P-ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, PD ? 面 ABCD,E 是 PC 的中点, 作 EF ? PB 交 PB 于点 F ,PD=DC。 (1) 、证明: PA ∥平面 EDB ; (2) 、证明: PB ? 平面 EFD 。

18.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{ bn },等比数列{ an } (q ? 1),且a1 (1)求:通项公式 an , bn (2)令 c n

? b1 ? 3, a2 ? b4 , a3 ? b13

? an bn ,求{ c n }的前 n 项和 Sn .

19 . ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 边 分 别 为 a, b, c , 且

c ?b sin A . ? c ? a sin C ? sin B
(1)求角 B 的大小; (2)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 面积的最大值.

20.(本小题满分 12 分)已知直线 l 过点 M (1,1) ,并且与直线 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 平行. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? m ? 0 相交于 P, Q 两点, O 为原点,且 OP ? OQ , 求实数 m 的值.

21. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 的各项均为正数, 前 n 项和为 S n , 且 Sn ?

a n ?a n ? 1? , 2

n? N*。
(1) 、求数列 ?an ? 的通项; (2) 、设 b n ?

1 , Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 T n 。 2S n
AD ∥

22.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形,

且 PA ? AD ? AB ? 2 BC ? 2 , N 分别为 PC 、 BC , ?BAD ? 90? , PA ⊥底面 ABCD , M、

PB 的中点.
(1)求证: PB ? 平面ADMN ; (2)求 BD 与平面 ADMN 所成的角; (3)点 E 在线段 PA 上,试确定点 E 的位置, 使二面角

A ? CD ? E 为 45 ? .

2014-2015 学年度下学期高一期末考试理科试题 1 B 2 A 3 C
13. 15. 17

4 B 4
3 2 2

5 C

6 C

7 D

8 D

9 B
14. 16.

10 A

11 C

12 C

3
(2,4)

18(1)

(2)Sn ? 3? 3 ? 5 ? 32 ? ?(2n ? 1)3n

? 3Sn ? 3? 32 ? 5 ? 33 ??(2n ?1)3n?1

3 n n ?1 ? ? 2S n ? 3 ? 3 ? 2 ? 3 ? ? ? 2 ? 3 ? (2n ? 1)3 ? 9 ? 2(3 ? 32 ? ?3n ) ? (2n ? 1)3n?1

? 9 ? 2?

32 (1 ? 3n ) ? (2n ? 1)3n ?1 1? 3

?S
?
3

n

? n3n?1

19、 (1) 由正弦定理得, (2) cos B ?

tan B ? 3,? B ?

…………………………6 分

a 2 ? b2 ? 4 1 ? ,? a 2 ? c 2 ? ac ? 4 2ac 2

……………………………8 分

又? a 2 ? c 2 ? 2ac ,所以 ac ? 4 ,当且仅当 a ? c 取等号.………………………10 分

S?

1 ac sin B ? 3 , 2
……………………………12 分

? ABC 为正三角形时, S max ? 3 .
20

21.解(1)∵直线 l 与直线 2 x ? 4 y ? 9 ? 0 平行 ∴直线 l 斜率为 ?

1 1 , 其方程为 y ? 1 ? ? ( x ? 1) 2 2

即 x ? 2y ? 3 ? 0

(4 分)

x ? 2y ? 3 ? 0 ? (2)由 ? 2 2 ?x ? y ? x ? 6 y ? m ? 0

消去 x 得 5 y 2 ? 20 y ? m ? 12 ? 0

y1 ? y2 ? 4 ? ? m ? 12 ? y1 ? y2 ? 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,则 ? 5 ? 2 ? ?? ? (?20) ? 20(m ? 2) ? 0

(7 分)

∵ OP ? OQ



x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,

(8 分)


(3 ? 2 y1 )(3 ? 2 y2 ) ? y1 y2 ? 0
(10 分) 解得 m ? 3



5 y1 y2 ? 6( y1 ? y2 ) ? 9 ? 0
∴ m ? 12 ? 24 ? 9 ? 0



足? ? 0
∴m ?3

(12 分)

22. (1)∵ M 、 N 分别为 PC 、 PB 的中点, AD

∥ BC
∴ AD ∥ MN ,即 A, D, M , N 四点共面 ∵N 是 PB 的中点,PA=AB, ∴AN⊥PB. ∵AD⊥面 PAB, ∴AD⊥PB. 又∵ AD ? AN ? N ∴PB⊥平面 ADMN. (4 分) (2)连结 DN ,∵PB⊥平面 ADMN, ∴∠BDN 是 BD 与平面 ADMN 所成的角. 在 Rt ?BDN 中, sin ?BDN ? ∴BD 与平面 ADMN 所成的角是

? . (8 分) 6

BN 1 ? , BD 2

(3)作 AF ? CD 于点 F ,连结 EF ∵ PA ⊥底面 ABCD ∴ CD ? PA ∴ CD ? 平面PAF ∴ CD ? EF

∴ ?AFE 就是二面角 A ? CD ? E 的平面角 若 ?AFE ? 45? ,则 AE ? AF 由 AF ? CD ? AB ? AD 可解得 AF ?

4 5 5

∴当 AE ?

4 5 时,二 面角 A ? CD ? E 的平面角为 45° 5

(12 分)


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