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【高考讲坛】2015届高三数学(理,山东版)一轮限时检测17 任意角、弧度制及任意角的三角函数]


课时限时检测(十七)

任意角、弧度制及任意角的三角函数 满分:80 分)命题报告 题号及难度

(时间:60 分钟 考查知识点及角度 角的概念、弧度制 三角函数定义 三角函数值的符号 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分)

基础 2,3 1,10 8 7

中档 4 5,9 6 11

稍难

12

图 3-1-1 1.如图 3-1-1,在直角坐标系 xOy 中,射线 OP 交单位圆 O 于点 P,若 ∠AOP=θ,则点 P 的坐标是( A.(cos θ,sin θ) C.(sin θ,cos θ) ) B.(-cos θ,sin θ) D.(-sin θ,cos θ)

【解析】 设 P(x,y),由三角函数定义知 sin θ=y,cos θ=x,故点 P 的坐 标为(cos θ,sin θ). 【答案】 A

2.(2014· 潍坊模拟)已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为 2,则这个圆心角所 对的弧长是( A.2 2 C.sin 1 【解析】 ) B.sin 2 D.2sin 1 1 由题设,圆弧的半径 r=sin 1,

2 ∴圆心角所对的弧长 l=2r=sin 1.

【答案】

C

3.若 α=k· 360° +θ,β=m· 360° -θ(k,m∈Z),则角 α 与 β 的终边的位置关 系是( ) B.关于原点对称 D.关于 y 轴对称

A.重合 C.关于 x 轴对称

【解析】 由题意知角 α 与角 θ 的终边相同,角 β 与角-θ 的终边相同,又 角 θ 与角-θ 的终边关于 x 轴对称,故选 C. 【答案】 C )

4.已知点 P(tan α,cos α)在第三象限,则角 α 的终边在( A.第一象限 C.第三象限 【解析】 B.第二象限 D.第四象限

∵点 P(tan α,cos α)在第三象限,

∴tan α<0,且 cos α<0, 由 tan α<0,知 α 的终边在第二或第四象限, 由 cos α<0,知 α 的终边在第二或第三象限,或 x 轴的非正半轴上,因此角 α 的终边在第二象限. 【答案】 B

5π? ? 5π 5. (2014· 济南一中等四校联考)已知角 x 的终边上一点坐标为?sin 6 ,cos 6 ?, ? ? 则角 x 的最小正值为( 5π A. 6 5π C. 3 【解析】 ∵sin 5π 5π >0,cos <0. 6 6 ) 11π B. 6 2π D. 3

∴角 x 的终边落在第四象限, 3 -2 又 tan x= 5π = 1 =- 3, sin 6 2 5π ∴角 x 的最小正值为 3 . 5π cos 6

【答案】

C )

6.(2014· 大连模拟)已知 θ 是第四象限角,则 sin(sin θ)( A.大于 0 C.小于 0 【解析】 ∵θ 是第四象限角, B.大于等于 0 D.小于等于 0

∴sin θ∈(-1,0). 又当-1<α<0 时,sin α<0. 故 sin(sin θ)<0. 【答案】 C

二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 7.若角 120° 的终边上有一点(-4,a),则 a 的值是________. 【解析】 ∴a=4 3. 【答案】 4 3 a a 由题意知-4=tan 120° ,∴-4=- 3,

|sin α| |cos α| 8.已知角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,则 sin α - cos α =________. 【解析】 因为角 α 的终边落在直线 y=-3x(x<0)上,

所以角 α 是第二象限角,因此 sin α>0,cos α<0, |sin α| |cos α| sin α -cos α 故 sin α - cos α =sin α- cos α =1+1=2. 【答案】 2

2π 9.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2+y2=1 逆时针方向运动 3 弧长到达 Q 点, 则 Q 点的坐标为________. 【解析】 2π 由题意知点 Q 是角 3 的终边与单位圆的交点,设 Q(x,y),则 y

2π 3 2π 1 =sin 3 = 2 ,x=cos 3 =-2, ? 1 3? 故 Q?- , ?. ? 2 2? 【答案】 ? 1 3? ?- , ? 2 2 ? ?

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知角 θ 的终边上有一点 P(x,-1)(x≠0),且 tan θ=-x,求 sin θ+cos θ 的值. 【解】 ∵θ 的终边过点(x,-1)(x≠0),

1 ∴tan θ=-x ,又 tan θ=-x, ∴x2=1,∴x=± 1. 2 2 当 x=1 时,sin θ=- 2 ,cos θ= 2 , 因此 sin θ+cos θ=0; 2 2 当 x=-1 时,sin θ=- 2 ,cos θ=- 2 , 因此 sin θ+cos θ=- 2. 11.(12 分)已知扇形 AOB 的周长为 8. (1)若这个扇形的面积为 3,求圆心角的大小; (2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长 AB. 【解】 设扇形 AOB 的半径为 r,弧长为 l,圆心角为 α,

2r+l=8, ? ? (1)由题意可得?1 lr=3, ? ?2 ?r=3, ?r=1, 解得? 或? ?l=2 ?l=6, l 2 l ∴α=r=3或 α=r=6. 1 1 1?l+2r?2 1 ?8?2 ? = ×? ? =4,当且仅当 2r=l, (2)∵2r+l=8,∴S 扇=2lr=4l· 2r≤4? ? 2 ? 4 ?2? l 即 α=r=2 时,扇形面积取得最大值 4. ∴r=2,∴弦长 AB=2sin 1×2=4sin 1. 12.(13 分)角 α 终边上的点 P 与 A(a,2a)关于 x 轴对称(a>0),角 β 终边上的 点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,求 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β 的值. 【解】 由题意得,点 P 的坐标为(a,-2a),

点 Q 的坐标为(2a,a). 所以,sin α= cos α= -2a 2 , 2=- 5 a +?-2a?
2

a 1 , 2= 5 a +?-2a?
2

-2a tan α= a =-2, sin β= cos β= a 1 , 2 2= 5 ?2a? +a 2a 2 , 2 2= 5 ?2a? +a

a 1 tan β=2a=2, 故有 sin α· cos α+sin β· cos β+tan α· tan β = -2 1 1 2 1 · + · +(-2)×2=-1. 5 5 5 5


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