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普高自主招生数学学科试卷


初三提前招生第一次模拟测试(数学)
一、选择题(共 8 小题,每题 5 分,共 40 分) 1.如图是一台球桌面示意图,图中小正方形的边长均相等,黑球放在如图所 示的位置,经白球撞击后沿箭头方向运动,经桌边反弹最后进入球洞的序 号是( ▲ ). A.① B.② C.⑤ D.⑥

2、如图所示,两个反比例函数

k1 k 和 y ?

2 在第一象限内的图象依次是 C1 x x 和 C 2 ,设点 P 在 C1 上, PC ⊥ x 轴于点 C ,交 C 2 于点 A , PD ⊥ y 轴于 点 D ,交 C 2 于点 B ,则四边形 PAOB 的面积为( ▲ ). A . k1 ? k 2 B . k1 ? k 2 C . k1 ? k 2 D. k1 ? k 2 ? k 2 y?
4 3x 的实根个数为( ▲ ). ? x x
B. 3 C. 2 D. 1

3、方程 x ? A. 4

4、如图.在直角坐标系中,矩形 ABCO 的边 OA 在 x 轴上,边 OC 在 y 轴上,点 B 的坐标为(1,3) ,将矩形沿对角线 AC 翻折,B 点 落在 D 点的位置,且 AD 交 y 轴于点 E.那么点 D 的坐标为( ▲ ). A. 错误! 未找到引用源。 B. 错误! 未找到引用源。 误!未找到引用源。 D. ( ? C.( ?

1 13 , ) 2 5



4 13 , ) 错误!未找到引用源。 5 5

5.已知抛物线 y=k(x+1) (x﹣ )与 x 轴交于点 A,B,与 y 轴交于点 C,则能使△ ABC 为等腰三 角形的抛物线的条数是( ▲ ). A.2 B.3 C.4 D.5

6、 如图是一个水平摆放的小正方体木块, 图 (2 ) 、 (3) 是由这样的小正方体木块叠放而成,按照这样的 规律继续叠放下去,至第七个叠放的图形中,小 正方体木块总数应是( ▲ ). A.25 B.66 C.91 D.120
(1) (2) (3)

7.如图,扇形 DOE 的半径为 3,边长为

3 的菱形 OABC 的顶点 A,

1

C,B 分别在 OD,OE, DE 上,若把扇形 DOE 围成一个圆锥,则 此圆锥的高为( ▲ ).

A.

1 2

B.

2 2

C.

37 2

D.

35 2

8.如图,在正方形纸片 ABCD 中,E 为 BC 的中点.折叠正方形, 使点 A 与点 E 重合,压平后得折痕 MN.设梯形 ADMN 的面积为 S1,梯形 BCMN 的面积为 S2,则

S1 的值为( ▲ ). S2
C

A

2 5

B

3 5

2 3

D

3 4

二、填空题(共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 9、若

a 2 ? 3a ? 1 ? b 2 ? 2b ? 1 ? 0 ,则 a 2 ?

1 ?b= a2





10.甲、乙、丙、丁四名运动员参加 4× 100 米接力赛,甲必须为第一接力棒或第四接力棒的运动 员,那么这四名运动员在比赛过程中的接棒顺序有 ▲ 种可能.

11、如图,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标是(10,0) ,点 B 的坐标为(8,0) ,点 C,D 在以 OA 为直径的半圆 M 上,且四边形 OCDB 是平行四边形,则点 C 的坐标为 ▲ .

12、如图所示,已知 ?ABC 中, ?B ? 30 , ?C ? 90 ,D 为 BC 中点,DE ? AB 于 E,连结 CE,则 tan ?ACE = ▲ .

y
C D

O

M

?

B

A

x
第 12 题图 第 13 题图

第 11 题图

13、抛物线 y=-x2+2x+3 经过点 A、B、C,抛物线顶点为 E,EF⊥x 轴于 F 点,M(m,0)是 x 轴 上一动点,N 是线段 EF 上一点,若∠MNC=90° ,则实数 m 的变化范围为 14、如图,E,F 是正方形 ABCD 的边 AD 上两个动点,满足 AE=DF.连 接 CF 交 BD 于点 G,连接 BE 交 AG 于点 H.若正方形的边长为 2, ▲ .

2

第 14 题图

则线段 DH 长度的最小值是





三、解答题(第 15-17 题每题 12 分,第 18 题 14 分,共 50 分) 15、由于受金融危机的影响,某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价 500 元.如果卖出 相同数量的手机,那么去年销售额为 8 万元,今年销售额只有 6 万元. (1)今年甲型号手机每台售价为多少元? (2)为了提高利润,该店计划购进乙型号手机销售,已知甲型号手机每台进价为 1000 元,乙型号 手机每台进价为 800 元,预计用不多于 1.84 万元且不少于 1.76 万元的资金购进这两种手机共 20 台,请问有几种进货方案? (3)若乙型号手机的售价为 1400 元,为了促销,公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金 a 元,而甲型号手机仍按今年的售价销售,要使(2)中所有方案获利相同,a 应取何值?并求出此 时所获得的利润。

16、在直角坐标系 xoy 中,已知点 P 是反比例函数 圆心的圆始终与 y 轴相切,设切点为 A.

(x>0)图象上一个动点,以 P 为

(1)如图 1,⊙P 运动到与 x 轴相切,设切点为 K,试判断四边形 OKPA 的形状,并说明理由. (2)如图 2,⊙P 运动到与 x 轴相交,设交点为 B,C.当四边形 ABCP 是菱形时: ①求出点 A,B,C 的坐标.

②在过 A,B,C 三点的抛物线上是否存在点 M,使△MBP 的面积是菱形 ABCP 面积的 .若存在, 请直接写出所有满足条件的 M 点的坐标,若不存在,试说明理由.

3

17.刘卫同学在一次课外活动中,用硬纸片做了两个直角三角形,见图①、②.图①中,∠B=90° , ∠A=30° ,BC=6cm;图②中,∠D=90° ,∠E=45° ,DE=4cm.图③是刘卫同学所做的一个实 验:他将△ DEF 的直角边 DE 与△ ABC 的斜边 AC 重合在一起,并将△ DEF 沿 AC 方向移动.在移 动过程中,D、E 两点始终在 AC 边上(移动开始时点 D 与点 A 重合) . (1)在△ DEF 沿 AC 方向移动的过程中,刘卫同学发现:F、C 两点间的距离逐渐____________. (填“不变”、“变大”或“变小”) (2)刘卫同学经过进一步地研究,编制了如下问题: 问题①:当△ DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,F、C 的连线与 AB 平行? 问题②:当△ DEF 移动至什么位置,即 AD 的长为多少时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三 边长的三角形是直角三角形? 问题③:在△ DEF 的移动过程中,是否存在某个位置,使得∠FCD=15° ?如果存在,求出 AD 的长度;如果不存在,请说明理由. 请你分别完成上述三个问题的解答过程.

C

C F F E D

A (图①)

B

D E (图②)

A (图③)

B

18、如图,经过原点的抛物线 y ? ? x

2

? 2mx(m ? 0) 与 x 轴的另一个交点为 A。过点 P(1, m) 作

直线 PM ? x 轴于点 M,交抛物线于点 B,记点 B 关于抛物线对称轴的对称点为 C(B、C 不重 合) 。连结 CB,CP。

4

(1)当 m ? 3 时,求点 A 的坐标及 BC 的长; (2)当 m ? 1 时,连结 CA,问 m 为何值时 CA ? CP ? (3)过点 P 作 PE ? PC 且 PE ? PC ,问是否存在 m ,使得点 E 落在坐标轴上?若存在,求出 所有满足要求的 m 的值,并定出相对应的点 E 坐标;若不存在,请说明理由。

参考答案 1、A 2、B 9、6

3、D

4、A

5、C

6、C

7、D 8、B

10、12 种 11、 (1,3) 12、

5 3 3

13、-

5 ≤m≤5 14、 5 ? 1 4

15、解: (1)设今年甲型号手机每台售价为 x 元,由题意得, 80000 60000 = . x+500 x 解得 x=1500. 经检验 x=1500 是方程的解.

故今年甲型号手机每台售价为 1500 元. (2)设购进甲型号手机 m 台,由题意得, 17600≤1000m+800(20-m)≤18400, 8≤m≤12. 因为 m 只能取整数,所以 m 取 8、9、10、11、12,共有 5 种进货方案. (3)方法一: 设总获利 W 元,则 W=(1500-1000)m+(1400-800-a) (20-m)=(a-100)m+12000-20a. 所以当 a=100 时, (2)中所有的方案获利相同. 方法二: 由(2)知,当 m=8 时,有 20-m=12. 此时获利 y1=(1500-1000)×8+(1400-800-a)×12=4000+(600-a)×12 当 m=9 时,有 20-m=11 此时获利 y2=(1500-1000)×9+(1400-800-a)×11=4500+(600-a)×11 由于获利相同,则有 y1= y2.即 4000+(600-a)×12=4500+(600-a)×11, 解之得 a=100 .所以当 a=100 时, (2)中所有方案获利相同. 16、解答: (1)四边形 OKPA 是正方形. 证明:∵⊙P 分别与两坐标轴相切, ∴PA⊥OA,PK⊥OK. ∴∠PAO=∠OKP=90° . 5

又∵∠AOK=90° , ∴∠PAO=∠OKP=∠AOK=90° . ∴四边形 OKPA 是矩形. 又∵OA=OK, ∴四边形 OKPA 是正方形. (2 分)

(2)①连接 PB,设点 P 的横坐标为 x,则其纵坐标为 过点 P 作 PG⊥BC 于 G. ∵四边形 ABCP 为菱形, ∴BC=PA=PB=PC. ∴△PBC 为等边三角形. 在 Rt△PBG 中,∠PBG=60° ,PB=PA=x, PG= .



sin∠PBG=

,即



解之得:x=± 2(负值舍去) .

∴PG=

,PA=BC=2. (4 分)

易知四边形 OGPA 是矩形,PA=OG=2,BG=CG=1, 6

∴OB=OG﹣BG=1,OC=OG+GC=3.

∴A(0,

) ,B(1,0)C(3,0) . (6 分)

设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c. 据题意得:

解之得:a=

,b=

,c=



∴二次函数关系式为:

. (9 分)

②解法一:设直线 BP 的解析式为:y=ux+v,据题意得:

解之得:u=

,v=



∴直线 BP 的解析式为:



过点 A 作直线 AM∥PB,则可得直线 AM 的解析式为:



解方程组:

得:





过点 C 作直线 CM∥PB,则可设直线 CM 的解析式为:



∴0=



7





∴直线 CM 的解析式为:



解方程组:

得:





综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,

分别为: (0,

) , (3,0) , (4,

) , (7,

) . (12 分)

解法二:∵



∴A(0,

) ,C(3,0)显然满足条件.

延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴ .

∴点 M 的纵坐标为



又点 M 的横坐标为 AM=PA+PM=2+2=4.

∴点 M(4,

)符合要求.

点(7,

)的求法同解法一. 8

综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,

分别为: (0,

) , (3,0) , (4,

) , (7,

) . (12 分)

解法三:延长 AP 交抛物线于点 M,由抛物线与圆的轴对称性可知,PM=PA. 又∵AM∥BC, ∴ .

∴点 M 的纵坐标为



即 解得:x1=0(舍) ,x2=4. ∴点 M 的坐标为(4, ) .



点(7,

)的求法同解法一.

综上可知,满足条件的 M 的坐标有四个,

分别为: (0,

) , (3,0) , (4,

) , (7,

) . (12 分)

17、解:(1)变小; (2)问题①:∵∠B=90°,∠A=30°,BC=6,∴AC=12 ∵∠FDE=90°,∠DEF=45°,DE=4,∴DF=4 连接 FC,设 FC∥AB,∴∠FCD=∠A=30°,∴在 Rt△FDC 中,DC= ∴AD=AC-DC=12,∴AD=(12)cm 时,FC∥AB; 9

问题②:设 AD=x,在 Rt△FDC 中,FC2=DC2+FD2=(12-x)2+16,

(I)当 FC 为斜边时,由 AD2+BC2=FC2 得,x2+62=(12-x)2+16,x=



(II)当 AD 为斜边时,由 FC2+BC2=AD2 得,(12-x)2+16+62=x2,x= 舍去); (III) 当 BC 为斜边时, 由 AD2+FC2=BC2 得, x 2+ (12-x)
2+16=36,x2-12x+62=0,

>8(不合题意

∴方程无解,

∴由(I)、(II)、(III)得,当 x= 形是直角三角形;

cm 时,以线段 AD、FC、BC 的长度为三边长的三角

问题③:不存在这样的位置,使得∠FCD=15°理由如下: 假设∠FCD=15° ∵∠EFC=30°,作∠EFC 的平分线,交 AC 于点 P 则∠EFP=∠CFP=15°,∠DFE+∠EFP=60° ∴PD= ,PC=PF=2FD=8,∴PC+PD=8+ >12

∴不存在这样的位置,使得∠FCD=15°。 18、解: (1)A(6,0),BC=4 (2)过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H(如图 1) ,证得 ACH∽△PCB, y

?

AH PB ? CH PC
2

B P

C

∵抛物线 y ? ? x ? 2mx(m ? 0) 的对称轴为直线 x=m,其中 m ? 1 ,

10

o

M

H A

x

第24题图1

又∵B,C 关于对称轴对称,∴BC=2(m-1) ∵B(1,2 m-1),P(1,m),∴BP= m-1, 又∵A(2m,0),C(2m-1,2m-1), ∴H(2m-1,0)

∴AH=1,CH=2m-1

1 m-1 = 2m-1 2(m-1) ∴ 3 ? m= 2
y

(3)∵B,C 不重合,∴m≠1, (Ⅰ)当 m>1 时,BC=2(m-1) PM=m, BP= m-1. (ⅰ)若点 E 在 x 轴上(如图 2) , ∵∠CPE=90° , ∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP =90° ∴∠MEP=∠BPC 又∵∠PME=∠CBP=90° ,PC=EP ∴△BPC≌△MEP ∴BC=PM, ∴2(m-1)=m ∴m=2 此时点 E 的坐标是(2,0) (ⅱ)若点 E 在 y 轴上(如图 3) 过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N, 易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1, ∴ m-1=1, ∴m=2, 此时点 E 的坐标是(0,4) (Ⅱ)当 0<m<1 时, BC=2(m-1),PM=m 11

B P

C

o

M E
第24题图2

A

x

y

E B N P C

o

M
第24题图3

A

x

P
y

C

B M E
x

o

第24题图4

BP= m-1. (ⅰ) 若点 E 在 x 轴上(如图 4) , 易证△PBC≌△MEP, ∴BC=PM 2(m-1)=m ∴m=

2 3 4 ,0) 3

此时点 E 的坐标是(

(ⅱ)若点 E 在 y 轴上(如图 5) 过点 P 作 PN⊥y 轴于点 N, 易证△BPC≌△NPE, ∴BP=NP=OM=1, ∴ 1-m =1, ∴m=0, (∵m>0,舍去)

综上所述,当 m=2 时,点 E 的坐标是(2,0)或(0,4) ; 当 m=

2 4 时,点 E 的坐标是( ,0) 3 3

12


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