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2.3.1


2.3.1 离散型随机 变量的均值
数学期望

甲、乙两个乒乓球运动员进行乒乓球单打比赛,已知 在一局比赛中甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为 0.4,比赛时可以用三局两胜或五局三胜制,问在哪一 种比赛制度下甲获胜的可能性较大?

①如果采用三局二胜制,则甲在下列两种情况下获胜: A-2∶0(甲净胜两局);A2-2∶1(前两局各胜一局,第三局甲 胜). P(A1)=P2(0)= · 0.62×0.40=0.36, P(A2)=P2(1)×0.6= · 0.6×0.4× 0.6=0.288. 因A1,A2互斥,故甲获胜的概率为P(A1+A2)=P (A1)+P(A2)=0.648. ②如果采用五局三胜制,则甲在下列三种情况下获胜: B1-3∶0(甲净胜三局) B2-3∶1(前三局中甲胜两局,负一局, 第四局甲胜); B3-3∶2(前四局中甲、乙各胜两局,第五局甲 胜);同①可求甲获胜的概率为0.682. 由①②的结果知,甲在五局 三胜制中获胜的可能性更大.

一、复习回顾
? 什么叫做n次独立重复实验? ? 设X表示n次实验中A事件发生的次数,它 满足什么分布?分布列如何表示?
k k P( X ? k ) ? Cn p (1 ? p)n?k

? 如果X满足二项分布,则 记为:X~B (n,p)

二、互动探索

算术平均数
? 如果你期中考试各门成绩为: 90、80、77、68、85、91 那你的平均成绩是多少?

x1 ? x2 ? ... ? xn x? n

加权平均数
? 你的期中数学考试成绩为70,平时 表现成绩为60,学校规定:在你学 分记录表中,该学期的数学成绩中 考试成绩占70%、平时成绩占30%, 你最终的数学成绩为多少?

x ? a1 x1 ? a2 x2 ? ... ? an xn a1 ? ... ? an ? 1

加权平均数
? 权:称棰,权衡轻重的数值;

? 加权平均:计算若干数量的平均数 时,考虑到每个数量在总量中所具 有的重要性不同,分别给予不同的 权数。

练习
? 某商场要将单价分别为18元/kg、24 元/kg、36元/kg的3种糖果按3: 2:1 定价为 18+24+36 的比例混合销售,如何对混合糖果定 ? 26 3 价才合理?

3 2 1 x ? 18 ? ? 24 ? ? 36 ? ? 23 6 6 6
糖果所属种类的单价(元 kg

可以吗?

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 ),你能写出X的分布列吗?

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 糖果所属种类的单价(元 kg ),你能写出X的分布列吗?

解:随机变量X 可取值为18, 24和36 1 1 1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( X ? 36) ? 2 3 6

所以X分布列为
x p 18 1/2

24 1/3

36
随机变量均值 1/6 (概率意义下的均值)

18×1/2+24×1/3+36×1/6

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

离散型随机变量取值的平均值:数学期望 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:

X
P
则称

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离 散型随机变量取值的平均水平。

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
思考:
设Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是 随机变量. (1) Y的分布列是什么? (2) EY=?

X P

x1

p1

p2

x2

· · · · · ·

pi

xi

· · · xn · · · pn

x2 x1 X Y ax1 ? b ax2 ? b p1 p2 P

· · · xi · · · xn · · · axi ? b · · · axn ? b · · · pi · · · pn

EY ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? ?? (axn ? b) pn ? a( x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xn pn ) ? b( p1 ? p2 ? ?? pn )

XE ?a

?b

几个常用公式:

E(aX ? b) ? aE( X ) ? b
若X 服从两点分布,则( E X) ?p

若X ~ B(n, p),则E( X ) ? np

随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别?

三、基础训练
1、随机变量ξ的分布列是
ξ 1 3 5

P

0.5

0.3

0.2

(1)则Eξ=

2.4

. 5.8 .

(2)若η=2ξ+1,则Eη=

2、随机变量ξ的分布列是
ξ P 4 0.3 7 a 9 b 10 0.2

Eξ=7.5,则a=

0.1 b=

0.4 .

四、例题讲解
例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,则他罚球1次的得分X的均值是多少? 小结:
一般地,如果随机变量X服从两点分布,
X 1 0

P

p

1- p



EX ? 1 ? p ? 0 ? (1 ? p) ? p

例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7,他连续罚球3次; (1)求他得到的分数X的分布列; (2)求X的期望。
解:(1) X~B(3,0.7)
X P 0 1
3

2
2

3

0.3

C 0.7 ? 0.3
1 3

C 0.7 ? 0.3
2 3 2

0.7

3

1 2 (2) EX ? 0 ? 0.33 ? 1? C3 0.7 ? 0.32 ? 2 ? C3 0.72 ? 0.3 ? 3 ? 0.73

EX ? 2.1 ? 3 ? 0.7

小结: 一般地,如果随机变量X服从二项分布,

即X~B(n,p),则

EX ? np

基础训练: 一个袋子里装有大小相同的3 个红球和 2个黄球,从中有放回地取5次,则取到红球 次数的数学期望是

3

.

五、课堂小结: 一、离散型随机变量的数学期 望

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? X b)E ?a

?b

几个常用公式:

E(aX ? b) ? aE( X ) ? b
若X 服从两点分布,则( E X) ?p

若X ~ B(n, p),则E( X ) ? np

数学期望
若离散型随机变量X的分布列为:

X P
则称:

x1 p1

x2 p2

… …

xi pi

… …

xn pn

EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn
为随机变量X的均值或数学期望。 ?它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

例1
? 在篮球比赛中,如果某运动员罚球命中 的概率为0.7,那么他罚球一次得分设 为X,X的均值是多少? X
p

0
0.3

1
0.7

解:该随机变量X服从两点分布: P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3 所以:EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7

ξ p

1 p

0 1-p

如果随机变量X服从两点分布,

那么

EX= p

例2、

某射手射击所得环数 ? 的分布列如下:

?
P

4

5

6

7

8 9

10

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

求n次射击的平均环数。
如果这次射击中射击所得奖金与环数ξ的关系为 η=2ξ+1,试求随机变量η的期望。

?

9

11

13

15

17 19

21

P

0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22

期望的线性性质
? 若X是一个随机变量,则 Y=aX+b 仍然是一个随机变量,其中a、b是常数。 ? EY=E(aX+b)=aEX+b

探究
? 如果我们只关心他是否打中10环, 则在他5次射击中,打中10环的次数 设为X,则求X的均值。

如果X服从二项分布,则EX=?
P( X ? k ) ? C p q
k n k n ?k

kC ? nC
k n

k ?1 n ?1

0 0 n 1 n n 0 EX ? 0 ? Cn p q ? 1 ? Cn pq n ?1 ? ... ? n ? Cn p q 1 2 2 n?2 n n 0 ? 1 ? Cn pq n ?1 ? 2 ? Cn p q ? ... ? n ? Cn p q

? np

若X~B (n,p),则 EX= n p

例2
? 一次单元测验由20个选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中仅有一个选项是正 确的。每题选对得5分,不选或选错不得 分,满分100分。学生甲选对任意一题的 概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都 从各选项中随机地选出一个,分别求学生 甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值。

解:设X1表示甲选对的题数、X2表示乙选对的题数 它们都满足二项分布: X1~B(20,0.9) 所以:EX1= n p =20×0.9=18 EX2= n p =20×0.25=5 甲所得分数的均值为:18×5=90 乙所得分数的均值为: 5×5=25 X2~B(20,0.25)

X

x1

x2



x20

P
Y P

p1
5x1 p1

p2
5x2 p2


… …

p20
5x20 p20

解:设Y1表示甲所得分数、Y2表示乙所得分数

则Y1=5X1

Y2=5X2

所以:EY1=E(5X1)=5EX1=90 EY2=E(5X2)=5EX2=25

思考
甲同学一定会得90分吗? 90表示随机变量X的均值; 具体考试甲所得成绩是样本实际平均值;

? 随机变量的均值

样本的平均值?

? 例如取糖果问题,将每次取出的糖果价格 定为样本,每次取糖果时样本会有变化, 样本的平均值也会跟着变化;而随机变量 的均值是常数。

数学期望小结
? ? ? ? ?
1. 2.

EX表示X所表示的随机变量的均值; E(aX+b)=aEX+b 两点分布:EX= p 二项分布:EX= n p 求数学期望时:
已知是两点分布或二项分布,直接代用公式; 其它分布的随机变量,先画出分布列,在对应求值。

作业
? 课本64页练习2、3、4、5; ? 69页B组第1题。

你能解释在该问题中权数代表的实际 含义吗?
? 将按3:2:1混合的糖果看作总体; ? 任取的1kg糖果看作一个样本; ? 样本中的每个糖果看成一个个体;

? 设样本中含有n个个体,则其中各种价钱的糖果 1 1 1 大约各占: 2 3 6 ? 在样本中任取一颗糖果,权数代表该糖果是哪
个价位的概率。

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记 如果你买了1kg这种混合 X为这颗 元 ),你能写出X的分布列吗? 糖果所属种类的单价( 糖果,你要付多少钱? kg

而你买的糖果的实际价值 解:随机变量X 可取值为 18 , 24和36 刚好是 23 元吗? 1 1

1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24) ? , P( 样本平均值 X ? 36) ? 2 3 6 所以X分布列为
x p 18 1/2 24 1/3 36
随机变量均值 1/6 (概率意义下的均值)

18×1/2+24×1/3+36×1/6

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

结论: 一、离散型随机变量的数学期 望

X
P

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · ·

xn

p1

p2

pi

· · · pn

EX ? x1 p1 ? x2 p2 ? ?? xi pi ? ?? xn pn
二、数学期望的性质

E (aX ? X b)E ?a

?b

分布列
? 现在混合糖果中任取一个,它的实际价 格用X表示,X的取值分别为: 18 24 36


1 合理价格=18× 2

1 2

1 3

1 6

1 1 +24× +36× 6 3 =18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

代表X的平均取值


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