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大工《复变函数与积分变换》课程考试模拟试卷B答案




密★启用前

大连理工大学网络教育学院 2013 年 3 月份《复变函数与积分变换》课程考试 模拟试卷答案
考试形式:闭卷 试卷类型:B

一、单项选择题(本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分)
1、B 2、D 3、B 4、B 5、A 6、D 7、 C 8、D 9、B 10、 D<

br />
二、填空题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1、0 6、1 2、 2 i 7、 ? ? 3、0 8、一 4、 - i 9、 5、 i 10、

1 s

2i

?

(cos? - 1)

三、计算题(本大题共 5 小题,每小题 8 分,共 40 分)
1、解: u ( x, y ) ? x ? y , v( x, y ) ? 2 x y
3 3 2 2

?u ?v ?v ?u (1 分) (1 分) , (1 分) (1 分) ? ?3 y 2 , ? 4 x 2 y 均连续。 ? 3x 2 , ? 4 xy 2 , ?y ?y ?x ?x
要满足柯西—黎曼条件,必须 3x ? 4 x y ; (1 分) 4 xy ? 3 y 成立。 (1 分)
2 2 2 2

即仅当 x ? y ? 0 和 x ? y ?

3 时才成立,所以 f ( z ) 不是解析函数。 (2 分) 4

2、解: | sin ? ? i cos? |? 1 (3 分)

arg(sin? ? i cos? ) ? arctan

故 sin ? ? i cos? ? cos( ? ? ) ? i sin(

?

cos? ? ? arctan(cot? ) ? ? ? (3 分) sin ? 2

?

2

2

? ? ) (2 分) 1 , 2

3、解: (1)被积函数在 | z |? 1 内仅有一个奇点 z ? ?

z z ? 2 dz ? 2? i ? 1 ( z ) 故I ? ? C 1 2 z?2 2( z ? ) 2

1 z? ? 2

(2 分) ?

?i
5

(2 分)

(2)被积函数在 | z ? 2 |? 1 内仅有奇点 z ? 2 ,故
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故I ?

?

C

z 2 z ? 1dz ? 2? i ? ( z ) z?2 2z ? 1
1

z ?2

(2 分) ?

4? i (2 分) 5
1

4、解: e z 在 0 ?| z |? ? 解析, (3 分)在 z ? 0 处不解析, (3 分)故 z ? 0 是 e z 的孤立奇点。 (2 分)
5、解:

?

| z| ?

1 2

sin z sin z cos z (4 分) ? ?2? i (4 分) dz ? 2? i ? lim ? 2? i ? lim z z z ? 0 z ? 0 z (1 ? e ) (1 ? e ) ? ez

四、证明题(本大题 1 小题,共 10 分)
证明:令 z ? x ? iy , ( z ) ? x ? y ? i 2 xy , (1 分)
2 2 2

所以 u ( x, y ) ? x ? y ,(1 分) v( x, y) ? ?2 xy 。 (1 分)
2 2

?u ?v ?u ?v (1 分) (1 分) (1 分) (1 分) ? ?2 y , ? ?2 x 。 ? 2x , ? ?2 y , ?y ?y ?x ?x
由此可知, ? ? ( z ) 仅在点(0,0)处柯西—黎曼条件成立,所以 ? ? ( z ) 仅在点(0,0)处可导,而在
2 2

整个复平面上不解析。 (3 分)

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