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2015-2016学年人教B版高中数学课件 选修2-2:第一章 导数及其应用 6《微积分基本定理》


1.6

微积分基本定理

微积分基本定理
内容: ?a
b

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a)

应用: 1.计算简单函数的定积分

2.计算复合函数的定积分

本课主要学习微积分基本定理 .

复习定积分的定义、几何 意义及性质,引入新课,先让学生得到基本的公式雏形,再利 用定义进行证明.而不是避过证明,进行大量的计算练习,这 样既在课堂上体现思想方法的构建过程,让学生去尝试,经 历挫折,讨论调整,选择更合理的解题思路.有体现了教材的 编写意图,同时培养了学生分析、抽象、概括、逻辑推理的能 力和运用数形结合思想解决问题的能力.设置了2个例题,通 过解决具体问题,理解微积分基本定理的含义,并能正确运 用基本定理计算简单的定积分。 例1是简单函数定积分求解,难度控制较好,例2的教学 加深了对复合函数定积分求法的理解,也为后续学习做好了 铺垫.例2及变式,既注重了与原问题的联系,又在不知不觉 中提高了难度,提高了学生的解题能力,开阔了学生的思路.

复习:1、定积分是怎样定义?
设函数f(x)在[a,b]上连续,在[a,b]中任意插入n-1个分点 : 把区间[a,b]等分成n个小区间,

在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 任取?i ?[ xi ?1 , xi ] ?Si ? f (?i )?x
做和式: ? f (?i )?x? ? f (?i )(b ? a) / n.
i ?1
i ?1

n

n

且有, lim ? f (?i )(b ? a) / n ? A(常数)
n?0 i ?1

n

则,这个常数A称为f(x)在[a,b]上的定积分(简称积分) 记作
即A ?

?

b

a

f ( x)dx ? lim ? f (? i ( ) b - a) / n
n ?0 i ?1

n

积分上限
b n

积分和

即A ? ? f ( x)dx ? lim ? f (?i( ) b - a) / n
a n ?0 i ?1

积分下限

被 积 函 数

被 积 表 达 式

积 分 变 量

[a , b] 积分区间

复习:2、定积分的几何意义是什么?
1、如果函数f(x)在[a,b]上连续且f(x)≥0时,那么:

定积分

就表示以y=f(x)为曲边的曲边梯形面积。

S1 S2

S3

2、定积分

的数值在几何上都可以用曲边梯形面积

的代数和来表示。

f ( x ) ? 0,

?a f ( x )dx ? A
b

b

曲边梯形的面积

f ( x ) ? 0,

?a f ( x )dx ? ? A 曲边梯形的面积的负值
A3 A4

A1

A2

?a f ( x )dx ? A1

b

A2

A3

A4

定积分的简单性质

题型1:定积分的简单性质的应用
1、化简? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? ? ?
0 1 2 1 2 3 2008 2007

f ( x)dx ?

2、已知, ? dx ? 3, ?
0

3

3

0

求:
3 0

3 9 3 2 81 3 xdx ? , ? x dx ? 9, ? x dx ? 0 2 0 4

3 2 ( 1 ) ( 4 x ? 3 x ? 6 x ? 8)dx ? ? ?

(2) ? (?8 x ? 21x ? 12x ? 15)dx ? ?
3 2 0

3

点评:运用定积分的性质可以化简定积分计算,也可以把 一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差.

题型2:定积分的几何意义的应用 问题1:你能求出下列格式的值吗?不妨试试.

1、 ? 4dx=? 8
1

3

2、 ? xdx=?
0

a

3、 ? (2 ? x) dx=?
2 0

3

4、 ? 9 ? x dx=?
2 0

3

问题2:

设某物体作直线运动,已知速度 v ? v ( t )是时间 间隔[T1 , T2 ]上 t 的一个连续函数,且 v ( t ) ? 0 , 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为

?T

T2
1

v ( t )dt

另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) ? s(T1 )

? ? v ( t )dt ? s(T2 ) ? s(T1 ). 其中 s?(t ) ? v(t ). T
1

T2

从中你能发现导数和定积分的内在联系吗?

物体的位移是函数在两个端点处的函数值之差,
即 S ? s(b) ? s(a) 从几何意义上看,由导数的几何意义知 求和得近似值 ?Si ? hi ? tan ?DPC ? ?t ? s '(ti ?1 ) ? ?t ? v(ti ?1 ) ? ?t ,
S ? ? ?Si ? ? hi ? ? v(ti ?1 )?t ? ? s '(ti ?1 )?t.
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 n n n n

取极限,由定积分的定义得

S ? ? v(t )dt ? ? s '(t )dt ? s(b) ? s(a)
a a

b

b

进而得出微积分基本定理.

从定积分角度来看:如果物体运动的速度函数为 v=v(t),那么在时间区间[a,b]内物体的位移s可以用定 积分表示为 另一方面,从导数角度来看:如果已知该变速直线运 动的路程函数为s=s(t),则在时间区间[a,b]内物体的 位移为s(b)–s(a),所以又有 由于 ,即s(t)是v(t)的原函数,这就是说,

定积分

等于被积函数v(t)的原函数s(t)在区间

[a,b]上的增量s(b)–s(a).

微积分基本定理:
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,

并且F’(x)=f(x),则,

这个结论叫微积分基本定理(fundamental theorem of
calculus),又叫牛顿-莱布尼茨公式(Newton-Leibniz

Formula).

牛顿-莱布尼茨公式提供了计算定积分的简便的 基本方法,即求定积分的值,只要求出被积函数

f(x)的一个原函数F(x),然后计算原函数在区间
[a,b]上的增量F(b)–F(a)即可.该公式把计算定 积分归结为求原函数的问题。

基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x) ? a x , 则f '( x) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x) ? ln x, 则f '( x) ? ; x

例1 计算下列定积分

找出f(x)的原 函数是关键
3

?1??

2

1

1 dx x
? ?1
b
2

?2?? 2 xdx
1
'

1 解:(1) ? ?ln x ? ? x

1 2 dx ? ln x 1 ? ln 2 ? ln1 ? ln 2 x

1 b 公式 1: dx ? ln x ? ln b ? ln a a ?a x

?2??

3

1

2 xdx ? x 2

3 1

? 32 ? 12 ? 8

1 练习1: ?1?? 1dx ? ____
1 0

?2?? xdx ?
1 0

1 ?3? 0 x 3 dx ? ____ 4

1 ____ 2

? ?4??
a

1

2

?1

x dx ?
3

15 ____ 4
n?1

x 公式2: ? x dx ? n ? 1
b n

b a

例2.计算定积分 ?
解: ? x

3

1

1 ? ? ? 3x ? ?dx x ? ?
2 2

? ?
3 1

3 '

1 ?1? ? 3x ,? ? ? ? 2 x ? x?
2
2 3 1

'

? 原式? ? 3 x dx ? ?

1 dx ? ? 3 x dx ? ? x
3 2 2 1

3

1

? 1? ? ? ?dx ? x ?
2

?x

3 3 1

1 ? 1 1 ? 76 ? ? ?3 ? 1 ? ? ? ? ? ? x ? 3 1? 3
3 3 3 1

1 ?1? ?0 ? ?3t 2 ? 2 ?dt ? ___
1

3 ? ln 2 2? 1? 2 ? 2 ? ?1 ? x ? ?dx ? ___ x? ?
2 9 3 3 x ? ? ? ? ? 2 x ? 1?dx ? ___ 2 ?1 2

? 4 ? ?1 ? e

x

e ?e ?1 ? 1?dx ? ___
2

微积分基本定理

?a f ( x )dx ? F (b) ? F (a )
b a

b

1 公式 1: dx ? ln x a x

?

b

? ln b ? ln a
b a

x 公式2: x dx ? a n?1

?

b

n?1

n

定积分公式:

1) (cx ) ? c ?
'

1 n+ 1 b 2) x ? nx ? ? x dx ? x | a a n+1 b b ' 3) (sin x ) ? cos x ? ? cos xdx ? sin x | a
n' n ?1 b n

?a

b

b cx | cdx ? a

a

b 4) (cos x ) ? ? sin x ? ? sin xdx ? - cos x | a a b 1 1 ' b 5) (ln x ) ? ? ? dx ? ln| x || a a
'

b

x b x b x ' x x e 6) (e ) ? e ? ? e dx ? | a
a
x ' x

x

7) (a ) ? a ln a ?

?a a

b

x

dx ?

a

x

ln a

|

b a

? 解: 原式 ? (2sin x ? cos x ? x) |0 ? 3 ? . 2 2 ?2 x 0 ? x ? 1 2.设 f ( x ) ? ? , 求 ?0 f ( x )dx . 1? x ? 2 ?5
? 2

1.求

?0 (2 cos x ? sin x ? 1)dx .

? 2

解: ?0 f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx ? ?1 f ( x )dx
在[1,2]上规定当 x ? 1时, f ( x ) ? 5 ,

2

1

2

y

原式 ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 6.
0 1

1

2

o

1

2

x

3.求

??2

?1

1 当 x ? 0时, 的一个原函数是 ln(? x ) ( x ? 0) , 解: x ?1 1 ?1 ? [ln( ? x )]| dx ?2 ? ln1 ? ln 2 ? ? ln 2. ??2 x 4 . 计算曲线 y ? sin x 在[0, ?]上与 x 轴所围
成的平面图形的面积.

1 dx. x

解:面积 A ? ? sin xdx
0

?

y

? ?? cos x ? ? 2.
? 0

o

?

x

2 max{ x , x }dx. 5.求 ?? 2

2

y ? x2

y

解: 由图形可知

f ( x ) ? max{ x , x }
2

? x2 ? 2 ? x ? 0 ? ? ?x 0 ? x ? 1 , ? x2 1 ? x ? 2 ?
? 原式 ? ? x dx ? ? xdx ? ?
2 ?2 0 0 1 2 1

?2

o

1

2

x

11 x dx ? . 2
2

谢谢观赏!


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