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三角函数模型的简单应用教案-数学高一必修4第一章1.6人教A版


人教 A 版数学教案必修 4 第一章 1.6 第一课时

第一章 1.6
一、学习目标

三角函数

三角函数模型的简单应用

a 通过对三角函数模型的简单应用的学习,使学生初步学会由图象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性质; c 体验实际问题抽象为三角函数模型问题的过程; d

体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.

二、重点、难点
重点:精确模型的应用——即由图象求解析式,由解析式研究图象及性质 难点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立数学模型,并调 动相关学科的知识来解决问题;由图象求解析式时 ? 的确定。

三、教学方法
自学检测法 练习深入法

四、专家建议
通过对三角函数模型的学习,让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建 模”思想,从而培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.让学生切身感受数 学建模的过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,让学生切身感受数学建模的过程, 体验数学在解决实际问题中的价值和作用从而激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精 神;培养学生勇于探索、勤于思考的精神。

五、教学过程
(一)观察、发现: 1、由图象求振幅 A
y ? 2sin x →向上平移3个单位长度 → y ? 2sin x ? 3

y ? A sin x ? b , A ? y ? A sin x ? b , A ?
y ? 3sin x ? 1

5 ?1 最大值 ? 最小值 5 ?1 最大值 ? 最小值 ?2? ?3? ,b ? 2 2 2 2 最大值 ? 最小值 4 ? (?2) 最大值 ? 最小值 4 ? (?2) ? ? ? 1, ,b ? 2 2 2 2

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2、由图象求解析式
y ? A sin(? x ? ? )
(1) A ? 2

(2)

T ? ? ? 2? ? ? ? , T ? ? , 又T ? ,? ? 2 , 4 12 6 4 ?
π ,2) 12

(3) y ? 2sin(2 x ? ? ) ,A 点的坐标 (

2 sin( 2 ? 12 ? ? ) ? 2 , sin( ? ? ) ? 1 , ? ? ? ? 2k? , k ? Z , 6 6 2

?

?

?

?

??

?
3

? 2k? , k ? Z , 当k ? 0时,? ?

?

? , y ? 2sin(2 x ? ) . 3 3

(二)情景展示,引入课题 同学们看过海宁潮吗???.今天我就带大家去看一看天下奇观——海宁潮.在潮起潮 落中也蕴含着数学知识. 又如大家熟悉的“物理中单摆对平衡位置的位移与时间的关系”、“交流电的电流与时间 的关系”、“声音的传播”等等也都蕴含着三角函数知识。 举例说明 ? ? ? ? ? 1、物理情景——①简谐运动②星体的环绕运动 2、地理情景——①气温变化规律②月圆与月缺 3、心理、生理现象——①情绪的波动②智力变化状况③体力变化状况 4、日常生活现象—— ①涨潮与退潮②股票变化 ????

(三)典例分析 类型一 由图象探求三角函数模型的解析式
T / ?C
30

例 1.如图,某地一天从 6~14 时的温度变化曲线近似满足函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b . (1)求这一天 6~14 时的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
20 10

O

6

8

10 12 14

t/h

解析: (1)由图可知:这段时间的最大温差是 20 C ; (2)从图可以看出:从 6~14 是 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的半个周期的图象, ∴
T ? 14 ? 6 ? 8 ∴ T ? 16 2 2?

?

∵T ?

?

,∴ ? ?

?
8

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30 ? 10 ? A? ? 10 ? ? 2 又∵ ? ?b ? 30 ? 10 ? 20 ? 2 ?

∴?

? A ? 10 ?b ? 20

∴ y ? 10 sin(

?
8

x ? ? ) ? 20 3? 3? 3? ? ? ) ? ?1 ,∴ ? ? ? 2k? ? ,k ? Z , 4 4 2

将点 ( 6,10) 代入得: sin( ∴ ? ? 2k? ?

3? 3? ? 3? , k ? Z ,取 ? ? ,∴ y ? 10 sin( x ? ) ? 20, (6 ? x ? 14) 。 8 4 4 4

小结:一般地,所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别 注意自变量的变化范围; A ?
利用T ?

1 1 ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? f ? x ?max ? f ? x ?min ? ,b ? ? ? ? ?, 2 2?

2?

?

,求得? , 利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标

满足函数解析式可求得?, 注意通常 ? ? ? 。

类型二

由解析式作出图象并研究性质

例 2.画出函数 y ? sin x 的图象并观察其周期. 解析:法 1:去绝对值,化为分段函数(体现转化与化归) ; 法 2:图象变换——对称变换,可类比 y ? x 的作法.

y 1
? 2?
? o ?? ? ? ? 2? x 2 2 从图中可以看出,函数 ?1 y ? sin x 是以 ? 为周期的波浪形曲线.

小结:利用图象的直观性,通过观察图象而获得对函数性质的认识,是研究数学问题的常用方 法;本题也可用代数方法即周期性定义验证: 变式练习: f ( x) ? sin x ? sin x 的周期是

f ( x ? ? ) ? sin(x ? ? ) ? ? sin x ? sin x ? f ( x)
. .

∴ f ( x) ? sin x 的周期是 ? . (体现数形结合思想! )

y ? sin x ? cos x 的周期是
类型三 拟合三角函数模型

例 3.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮。一般地,早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情 况下,船在涨潮时驶进航道,靠近船坞;卸货后,在落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的时间 与水深关系表:

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时刻 水

0.00 深 5.0

3.00 7.5

6.00 5.0

9.00 2.5

12.00 5.0

15.00 7.5

18.00 5.0

21.00 2.5

24.00 5.0

(米) (1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系,给出整点时的水深的近似数值(精确到 0.001) 。 (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间隙(船底 与洋底的距离) ,该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小时 0.3 米的 速度减少,那么该船在什么时候必须停止卸货,将船驶向较深的水域。 解析: (1)以时间为横坐标,以水深为纵坐标,在直角坐标系中描出各点,并用平滑的曲线连接。根据图 象,可以考虑用函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? h 刻画水深与时间的关系; 时刻 0.00 1:00 2:00 3:00 4:00 5:00 6:00 7:00 8:00 9:00 10:00 11:00

水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 时刻 12.00 13: 00 14: 00 15:00 16:00 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23: 00 水深 5.000 6.250 7.165 7.500 7.165 6.250 5.000 3.754 2.835 2.500 2.835 3.754 (2)货船需要的安全水深为 4+1.5=5.5 (米) ,所以当 y≥5.5 时就可以进港. 令 2.5sin

? x ? 5 ? 5.5 ,化简得 sin ? x ? 0.2 ,由计算器计算可得 ? x ? 0.2014, 或? ? ? x ? 0.2014 ,解
6 6 6 6

得 xA ? 0.3848, xB ? 5.6152 。 因为 x ?[0, 24] ,所以由函数周期性易得 xC ? 12 ? 0.3848 ? 12.3848, xD ? 12 ? 5.6152 ? 17.6152. 因此,货船可以在凌晨零时 30 分左右进港,早晨 5 时 30 分左右出港;或在中午 12 时 30 分左右进港,下 午 17 时 30 分左右出港,每次可以在港口停留 5 小时左右。 (3)设在时刻 x 船舶的安全水深为 y,那么 y=5.5-0.3(x-2) (x≥2),在同一坐标系内作出这两个函数的图 象,可以看到在 6 时到 7 时之间两个函数图象有一个交点.通过计算可得在 6 时的水深约为 5 米,此时船舶 的安全水深约为 4.3 米;6.5 时的水深约为 4.2 米,此时船舶的安全水深约为 4.1 米;7 时的水深约为 3.8 米,而船舶的安全水深约为 4 米,因此为了安全,船舶最好在 6.5 时之前停止卸货,将船舶驶向较深的水 域。

小结:三角函数应用的基本步骤:
1)根据图像建立解析式

2)根据解析式作出图像 3)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型

六、课堂小结
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1.根据三角函数图象建立函数解析式,就是要抓住图象的数字特征确定相关的参数值,同时要注意函数 的定义域. 2.对于现实世界中具有周期现象的实际问题,可以利用三角函数模型描述其变化规律.先根据相关数据 作出散点图,再进行函数拟合,就可获得具体的函数模型,有了这个函数模型就可以解决相应的实际问题. 具有周期性变化规律的实际问题应用三角函数模型来解决。

七、板书设计

三角函数模型的简单应用
学习目标
a 通过对三角函数模型的简单应 用的学习, 使学生初步学会由图 象求解析式的方法; b 根据解析式作出图象并研究性 质; c 体验实际问题抽象为三角函数 模型问题的过程; d 体会三角函数是描述周期变化 现象的重要函数模型.

典例分析
1. 由图象探求三角函 数模型的解析式 2. 由解析式作出图象 并研究性质 3.拟合三角函数模型

学生练习 1. 2. 3. 4.

小结:

作业

当堂检 测反馈

注意事项: 1 2. 3. 4.

课堂检测
? π?? 1.作出函数 y=-? ?sin?x+4?? 的简图(如图),求函数单调区间.

解: π 3π? π π? ? 由图象得函数的递增区间为? ?kπ+4,kπ+ 4 ?(k∈Z),递减区间为?kπ-4,kπ+4?(k∈Z).

变式训练:

? π?? .解析:由 y=? ?sin?x-2??=|cos x|作出图象如图: 第 5 页共 5 页

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π ? 可得递增区间为? ?kπ-2,kπ?(k∈Z), π? 递减区间为? ?kπ,kπ+2?(k∈Z). π π 2. (2014 年长春模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,- <φ< ,x∈R)的部分图象如图所示. 2 2

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π -π,- ?时,求 f(x)的取值范围. (2)当 x∈? 6? ? T 2π π π [解析] (1)由图象得 A=1, = - = , 4 3 6 2 π ? 所以 T=2π,则 ω=1.将? ?6,1?代入得 1= π π π ? sin? ?6+φ?,而-2<φ<2, π? π 所以 φ= ,因此函数 f(x)=sin? ?x+3?. 3 π? 2π π π (2)由于 x∈? ?-π,-6?,- 3 ≤x+3≤6, π? 1 所以-1≤sin? ?x+3?≤2, 1? 所以 f(x)的取值范围是? ?-1,2?.

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