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黑龙江吉林两省六校2016届高三上学期期中联考数学(文)试题


2015—2016 学年度第一学期黑吉两省六校期中联考 高三数学(文科) 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,在答题卷相应题目的答题区域内作答. 1.答案 B 考点:解答交集问题 专题:集合的运算 分析:需要注意交集中:“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;求交集

的 方法是:①有限集找相同;②无限集用数轴、韦恩图. 解答: A ? ?x | ?1 ? x ? 1 ?, B ? ?x | 0 ? x ? 1?; 则 A ? B ? ?x | 0 ? x ? 1? 。故选 B 2.答案:C 考点:1、平面向量的坐标运算;2、平面向量的数量积. 专题:平面向量 分析:向量的加减和数乘运算,数量积运算 解答:因为 a ? (k, 3), b ? (1, 4), c ? (2, 1)

? (2a ? 3b) ? c,? (2a ? 3b)c ? 0 ? 2a.c ? 3b.c ? k ? 3
3.答案:D 4.考点:函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象与性质

? 1 ) 图象上各点的横坐标缩短到原的 倍(纵坐标不变),得到函数 6 2 ? ? ? ? y=sin(2x+ ) ;再将图象向右平移 个单位,得函数 y=sin=sin(2x- ) ,x=- 是其图 6 3 2 2
解答 :A y=sin(x+ 象的一条对称轴方程.故选 A. 先对函数 y=sin(x+ 即令 ω x+φ = 5.答案:B 考点:本题主要考查函数零点存在定理 专题:计算题

? +k π 即可得到答案. 2

? ) 进行图象变换,再根据正弦函数对称轴的求法, 6

分析:分别计算 f (0), f (1), f ( ), f ( ) 解答:解决本题可有两种思路,一是利用函数零点存在定理,二是在同一坐标系内,画出函数 的图象,根据交点位置,判断可知,选 B。

1 2

1 4

6.

B 5π 1 5π 3 ∵sin = ,cos =- , 6 2 6 2

1 3 ∴角 x 的终边经过点( ,- ),tanx=- 3, 2 2 5π ∴x=2kπ + ,k∈Z. 3 5π ∴角 x 的最小正值为 . 3 7.答案:D 考点:命题及简易逻辑 专题:简易逻辑 分析:本题需要逐一判断,到满足题意的选项为止, (选择题四选一) ;可以采用先熟悉后生 疏的策略判定解答.解答:由复合命题真值表知:若 p∨q 为真命题,则 p、q 至少有一个为 真命题,有可能一真一假,也可能两个都真,推不出 p∧q 为真命题∴选项 A 错误; 由 x=5 可以得到 x -4x-5=0,但由 x -4x-5=0 不一定能得到 x=5,∴选项 B 不成立; 选项 C 错在把命题的否定写成了否命题; 选项 D 正确。特称命题的否定是全称命题. 故选 D. 8.答案 C 考点:函数的图象与图象变化;函数图象的作法.B8 分析:根据函数 y = a 与
x
2 2

y = log a x 互为反函数, ,得到它们的图象关于直线直线 y = x 对称,

从而对选项进行判断即得. 解答:∵函数 y = a 与
x

y = log a x 互为反函数,∴它们的图象关于直线 y = x 对称.再由函数

y = log a x 的图象过(1,0) y = a x 的图象过(0,1) , ,观察图象知,只有 C 正确.故选 C.
9.答案:C 考点:等差数列及等差数列前 n 项和

专题:数列及其应用 分析:利用结论:n≥2 时,an=sn-sn-1,易推出 a6>0,a7=0,a8<0,然后逐一分析各选项,排 除错误答案. 解答: 由 S5<S6 得 a1+a2+a3+?+a5<a1+a2++a5+a6,即 a6>0, 又∵S6=S7,∴a1+a2+?+a6=a1+a2+?+a6+a7,∴a7=0,故 B 正确; 同理由 S7>S8,得 a8<0, ∵ d ? a7 ? a6 ? 0 ,故 A 正确;而 C 选项 S9>S5,即 a6+a7+a8+a9>0,可得 2(a7+a8)>0,由 结论 a7=0,a8<0,显然 C 选项是错误的.∵S5<S6,S6=S7>S8,∴S6 与 S7 均为 Sn 的最大值,故 D 正确;故选 C. 10.答案:B 考点:平面向量的数量积及应用 专题:平面向量 分析:首先把 2 OA 拆开分别与 OB, OC 组合,再由向量加减运算即可整理,然后根据

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ???? ,并结合图形得出结论. AB ? AC ? 2 AD (点 D 为线段 BC 的中点)
解 答 : 由 题 意 知 (OB ? OC) ? (OB ? OC -2 OA )= CB( AB ? AC ) ? 0 , 如 图 所 示

??? ?

??? ? ??? ? ???? ?

其中 AB ? AC ? 2 AD (点 D 为线段 BC 的中点) ,所以 AD⊥BC,即 AD 是 BC 的中垂线, 所以 AB=AC,即△ABC 为等腰三角形.故答案为 B. 11.答案:C 考点: 分段函数的应用. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,在坐标系里作出函数 f(x)的图象,根据 f (a) ? f (b) ? f (c) ,确定 a, b,c 的大小,即可得出 a+b+c 的取值范围. 解答:作出函数的图象如图,

??? ? ??? ?

????

直线 y=m 交函数图象于如图, 不妨设 a<b<c, 由正弦曲线的对称性,可得(a,m)与(b,m)关于直线 x= 对称, 因此 a+b=1, 当直线 y=m=1 时,由 log2014x=1, 解得 x=2014,即 x=2014, ∴若满足 f(a)=f(b)=f(c) , (a、b、c 互不相等) , 由 a<b<c 可得 1<c<2014, 因此可得 2<a+b+c<2015, 即 a+b+c∈(2,2015) . 故选:C. 12 答案:A 考点:导数的应用 专题:函数与导数 分析:构造函数 g(x)=e ?f(x)-e ,结合已知可分析出函数 g(x)的单调性,结合 g(0) =1,可得不等式 e ?f(x)>e +1 的解集. 解答:令 g(x)=e ?f(x)-e ,则 g′(x)=e ? ∵对任意 x∈R,f(x)+f′(x)>1,∴g′(x)>0 恒成立 即 g(x)=e ?f(x)-e 在 R 上为增函数 又∵f(0)=2,∴g(0)=1 故 g(x)=e ?f(x)-e >1 的解集为{x|x>0} 即不等式 e ?f(x)>e +1 的解集为{x|x>0} 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.考点:分段函数
x x x x x x x x x x x x x

专题: 考查对分段函数的理解程度. 分析:此题是分段函数当中经常考查的求分段函数值的小题型,主要考查学生对“分段函数 在定义域的不同区间上对应关系不同”这个本质含义的理解. 解答:,f(2)=log3(2 -1)=1,所以 f(f(2))=f(1)=2e =2. 14.【答案】 a n ? 15.【答案】22 考点: 平面向量的基本定理及其意义;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析:本题主要考查向量,向量的基底表示,向量的运算,本题关键在于选取哪两个向量为 基底,根据题目中已知的两条边长,选为基底最为合适。向量一直都是高考的热点话题,本 题的难度适中,希望引起考生的注意。 解答:以 AB, AD 为基底,因为 CP ? 3PD, AP ? BP ? 2 ,
2 1-1

2 3n

1 3 AB , BP ? BC ? CP ? AD ? AB 4 4 ??? ? ??? ? ???? 1 ??? ? ???? 3 ??? ? 2 2 1 3 AB 则 AP ? BP ? ( AD ? AB ) ? ( AD ? AB ) ? AD ? AD ? AB ? 2 16 4 4 3 1 ? 64 ? AB ? AD ,故 AB ? AD ? 22 因为 AB ? 8, AD ? 5 则 2 ? 25 ? 16 2 AP ? AD ? DP ? AD ?
16.①④. 考点:函数的性质 专题:函数的应用 解 答 ① 函 数 f ( x) ? lnx ? 3 x ? 6 在 ? 0, ?? ? 上 是 增 函 数 , 且 f ?1? ? ln1 ? 3 ?1 ? 6 ? ?3 ? 0 ,

f ? 2 ? ? ln 2 ? 3 ? 2 ? 6 ? ln 2 ? 0 .所以①正确.
②当 a ? 0 时原不等式变形为 1 ? 0 ,恒成立;当 a ? 0 时,要使关于 x 的不等式 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立 , 则 ? ? ? 2a ? ? 4a ?1 ? 0 ? 0 ? a ? 1 , 综上可得关于 x 的不等式 ax 2 ? 2ax ? 1 ? 0 恒
2

成立时 a ? ? 0,1? .故②不正确. ③由函数图像可知函数 y ? x 的图像与函数 y ? sin x 的图像只有一个交点,故③不正确.

log 2 ④由奇函数得:f ? x ? ? - f ? - x ?,
所以 a ? 1. 故④正确.

a?x a +x a ? x 1-x =- log 2 = a2 ? 1 , , , 因为 a ? ?1 , 1? x 1-x 1 ? x a ? x

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 考点: 复合命题的真假;必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 分别化简 p:a<x<3a,q:2<x<3. (1)当 a=1 时,p:1<x<3.要使 p∧q 为真,则须满足 ,解得即可.

(2)由 p 是 q 的必要不充分条件,可得(2,3)? (a,3a)即

,解得即可.

解答: 解:依题意知:p:a<x<3a, 即 2<x<3. (1)当 a=1 时,p:1<x<3 要使 p∧q 为真,则须满足 (2)∵p 是 q 的必要不充分条件 ∴(2,3)?(a,3a) ∴ ,解得:1≤a≤2. ,解得:2<x<3;

,∴



点评: 本题考查了简易逻辑的有关知识,不等式的解法,属于基础题. 18 考点:数列求和 分析:根据数列求和公式求出通项公式,再根据裂项求和求出 m 的最小值。 解答: (Ⅰ)an=6n-5 ( n ? N ) (Ⅱ)10 (Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) , 则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x.
? 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x ) 的图像上,所以 Sn =3n -2n.
2 2 2

?

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- ( 3 n ? 1) 2 ? 2(n ? 1) =6n-5.
2

?

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N )
2

?

(Ⅱ)由(Ⅰ)得知 bn ?

1 1 1 3 3 ? ), = = ( a n a n ?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 6n ? 5 6n ? 1

故 Tn=

?b = 2
i ?1 i

n

1 ? 1 1 1 1 1 1 ? 1 ). (1 ? ) ? ( ? ) ? ... ? ( ? )? = (1- ? 6n ? 1 7 7 13 6n ? 5 6 n ? 1 ? 2 ?

因此,要使

1 1 m 1 m ? (1- )< ( n ? N )成立的 m,当且仅当 ≤ , 2 6n ? 1 20 2 20

即 m≥10,所以满足要求的最小正整数 m 为 10. 19. 解: (Ⅰ)由正弦定理,得

2c ? a 2sin C ? sin A ? b sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A 因此

sin C ?2 sin A

(Ⅱ)由
2

sin C ? 2 的 c ? 2a sin A
2 2

由 b ? a ? c ? 2ac cos B 及 cos B ? 得 4 ? a ? 4a ? 4a ?
2 2 2

1 ,b ? 2 4

1 ,解得 a ? 1 ,因此 c ? 2 4 15 1 15 又 0 ? B ? ? 所以 sin B ? ,因此 s ? ac sin B ? 4 2 4

20. 解: (1) f ( x) ? (m ? n) ? m ? sin 2 x ? 1 ? 3 sin x cos x ?

?? ? ??

1 2

?

1 ? cos 2 x 3 1 3 1 ?1? sin 2 x ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 2 ??????3 分 6 2? 因为 ? ? 2 ,所以 T ? ????????5 分 ?? 2
(2) 由(1)知: f ( A) ? sin(2 A ?

?

?

6

)?2

当 x ? [0,

?

2

] 时, ?

?

6

? 2x ?

?
6

?

5? 6

由正弦函数图象可知,当 2 x ? 所以 2 A ?

?
6

?

?
2

时 f ( x) 取得最大值 3 。 ????8 分

?
6

?

?
2

,A?

?
3

???????9 分 ∴ 12 ? b 2 ? 16 ? 2 ? 4b ?

由余弦定理, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 从而 S ? 21.考点:

1 ∴ b ? 2 ???10 分 2

1 1 bc sin A ? ? 2 ? 4sin 60? ? 2 3 ????????12 分 2 2

函数奇偶性的性质;二次函数的性质. ,解出即可.

分析: (1)利用偶函数的性质可得: (2)利用函数的奇偶性的定义即可得出;

(3)去掉绝对值符号,利用二次函数的单调性即可得出. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)=x +(b+1)x+1 是定义在上的偶函数, ∴ 解得 , .
2 2

(2)由(1)可得 f(x)=x +1 得 g(x)=f(x)+|x﹣t|=x +|x﹣t|+1,x∈. 当 t=0 时,函数 y=g(x)为偶函数. ) 当 t≠0 时,函数 y=g(x)为非奇非偶函数. (3)g(x)=f(x)+|x﹣t|= ,﹣ ≤t≤ ,
2 2

当 x≥t 时,函数 y=g(x)在上单调递增,则 g(x)≥g(t)=t +1. 当 x<t 时,函数 y=g(x)在上单调递减,则 g(x)>g(t)=t +1. 综上,函数 y=g(x)的最小值为 t +1. 点评:本题考查了函数的奇偶性、二次函数的单调性、绝对值的意义,考查了分类讨论 的思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. p 2 px -2x+p 22.解: (I)f′(x)=p+ 2- = , 2 x x x 依题意,f ′(x)≥0 在(0, + ∞)内恒成立, 2x 2 只需 px -2x+p≥0 在(0, + ∞)内恒成立,只需 p≥ 2 在(0, + ∞)内恒成立, x +1 2x 只需 p≥( 2 )max=1, x +1
2 2 2

故 f(x)在其定义域内为单调递增函数时,p 的取值范围是上有解,设 h(x)= f(x)-g(x)= px p 2e p 2 2e px +p+2(e-x) - -2ln x- ,x∈,h ′(x)=p+ 2- + 2 = , 2 x x x x x x 因为 x∈,p>0,所以 h ′(x)>0 在上恒成立, 1 所以 h(x) 在上是增函数,所以 hmax(x)= h(e)=p(e- )-4, e 1 依题意,要 h(x) >0 在有解只需 hmax(x) >0,所以 p(e- )-4>0 e 解得 p > 4e 4e ,所以 p 的取值范围是( 2 , + ∞) 2 e -1 e -1
2


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