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2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.2两条直线的位置关系教师用书文 (2)


2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.2 两条直线的 位置关系教师用书 文 新人教版

1.两条直线的位置关系 (1)两条直线平行与垂直 ①两条直线平行: (ⅰ)对于两条不重合的直线 l1、l2,若其斜率分别为 k1、k2,则有 l1∥l2?k1=k2. (ⅱ)当直线 l1、l2 不重合且斜率都不存在时,l1∥l2. ②两条直线垂直: (ⅰ)如果两条直线 l1、l2 的斜率存在,设为 k1、k2,则有 l1⊥l2?k1·k2=-1. (ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为 0 时,l1⊥l2. (2)两条直线的交点 直线 l1 : A1x + B1y + C1 = 0 , l2 : A2x + B2y + C2 = 0 ,则 l1 与 l2 的交点坐标就是方程组
? ?A1x+B1y+C1=0, ? ?A2x+B2y+C2=0 ?

的解.

2.几种距离 (1)两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|= ?x2-x1? +?y2-y1? . (2)点 P0(x0,y0)到直线 l:Ax+By+C=0 的距离
2 2

d=

|Ax0+By0+C| . A2+B2

|C1-C2| (3)两条平行线 Ax+By+C1=0 与 Ax+By+C2=0(其中 C1≠C2)间的距离 d= 2 . A +B2 【知识拓展】 1.直线系方程 (1)与直线 Ax+By+C=0 平行的直线系方程是 Ax+By+m=0(m∈R 且 m≠C). (2)与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程是 Bx-Ay+n=0(n∈R). 2.两直线平行或重合的充要条件 直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 平行或重合的充要条件是 A1B2-A2B1=0. 3.两直线垂直的充要条件
1

直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与直线 l2:A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件是 A1A2+B1B2=0. 4.过直线 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2:A2x+B2y+C2=0 的交点的直线系方程为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2)=0(λ ∈R),但不包括 l2. 5.点到直线与两平行线间的距离的使用条件: (1)求点到直线的距离时,应先化直线方程为一般式. (2)求两平行线之间的距离时,应先将方程化为一般式且 x,y 的系数对应相等. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时,一定有 k1=k2? l1∥l2.( × ) (2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.( × ) (3)已知直线 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0(A1、B1、C1、A2、B2、C2 为常数),若 直线 l1⊥l2,则 A1A2+B1B2=0.( √ ) |kx0+b| (4)点 P(x0,y0)到直线 y=kx+b 的距离为 .( × ) 2 1+k (5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.( √ )

1 (6)若点 A,B 关于直线 l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线 AB 的斜率等于- ,且线段 AB 的中

k

点在直线 l 上.( √

)

1.(2016·天津模拟)过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程是( A.x-2y-1=0 C.2x+y-2=0 答案 A 1 解析 直线 x-2y-2=0 可化为 y= x-1, 2 1 所以过点(1,0)且与直线 x-2y-2=0 平行的直线方程可设为 y= x+b, 2 1 将点(1,0)代入得 b=- . 2 所以所求直线方程为 x-2y-1=0. B.x-2y+1=0 D.x+2y-1=0

)

2.(教材改编)已知点(a,2)(a>0)到直线 l:x-y+3=0 的距离为 1,则 a 等于( A. 2 C. 2-1 答案 C B.2- 2 D. 2+1

)

2

|a-2+3| 解析 依题意得 =1. 1+1 解得 a=-1+ 2或 a=-1- 2.∵a>0,∴a=-1+ 2. 3.已知 p:直线 x-y-1=0 与直线 x-my+2=0 平行,q:m=1,则 p 是 q 的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 1 -1 -1 解析 由于两直线平行的充要条件是 = ≠ , 1 -m 2 即 m=1. 4 .已知直线 l1 与 l2 : x+ y - 1 = 0 平行,且 l1 与 l2 的距离是 2 ,则直线 l1 的方程为 ________________. 答案 x+y+1=0 或 x+y-3=0 |c+1| 解析 设 l1 的方程为 x+y+c=0,则 = 2. 2 ∴|c+1|=2,即 c=1 或 c=-3. ∴直线 l1 的方程为 x+y+1=0 或 x+y-3=0. 5.(教材改编)若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0 与(5a-2)x+(a+4)y-7=0 垂直,则 a= ________. 答案 0 或 1 解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得 a=0 或 a= 1. )

题型一 两条直线的平行与垂直 例 1 (1)设不同直线 l1:2x-my-1=0,l2:(m-1)x-y+1=0.则“m=2”是“l1∥l2”的 ( )

A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3

答案 C 解析 当 m=2 时,代入两直线方程中, 易知两直线平行,即充分性成立. 2 当 l1∥l2 时,显然 m≠0,从而有 =m-1,

m

解得 m=2 或 m=-1, 但当 m=-1 时,两直线重合,不合要求, 故必要性成立,故选 C. (2)已知直线 l1:ax+2y+6=0 和直线 l2:x+(a-1)y+a -1=0. ①试判断 l1 与 l2 是否平行; ②当 l1⊥l2 时,求 a 的值. 解 ①方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,
2

l2:x=0,l1 不平行于 l2;
当 a=0 时,l1:y=-3,

l2:x-y-1=0,l1 不平行于 l2;
当 a≠1 且 a≠0 时,两直线可化为 l1:y=- x-3, 2

a

l2:y=

1 x-(a+1), 1-a

a 1 ? ?- = , 2 1 - a l1∥l2?? ? ?-3≠-?a+1?,
综上可知,a=-1 时,l1∥l2. 方法二 由 A1B2-A2B1=0, 得 a(a-1)-1×2=0,

解得 a=-1,

由 A1C2-A2C1≠0,得 a(a -1)-1×6≠0, ∴l1∥l2??
2

2

?a?a-1?-1×2=0, ? ?a?a -1?-1×6≠0, ?
2

? ?a -a-2=0, ?? 2 ?a?a -1?≠6 ?

? a=-1,

故当 a=-1 时,l1∥l2. ②方法一 当 a=1 时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0,

l1 与 l2 不垂直,故 a=1 不成立;
当 a=0 时,l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1 不垂直于 l2; 当 a≠1 且 a≠0 时,
4

a 1 l1:y=- x-3,l2:y= x-(a+1), 2 1-a a 1 2 由(- )· =-1? a= . 2 1-a 3
2 方法二 由 A1A2+B1B2=0,得 a+2(a-1)=0? a= . 3 思维升华 (1)当直线方程中存在字母参数时, 不仅要考虑到斜率存在的一般情况, 也要考虑 到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意 x,y 的系数不能同时为零这一隐含条件. (2)在判断两直线平行、垂直时,也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论. 已知两直线 l1:x+ysin α -1=0 和 l2:2x·sin α +y+1=0,求 α 的值, 使得: (1)l1∥l2; (2)l1⊥l2. 解 (1)方法一 当 sin α =0 时,直线 l1 的斜率不存在,

l2 的斜率为 0,显然 l1 不平行于 l2.
当 sin α ≠0 时,k1=- 1 ,k2=-2sin α . sin α

1 2 要使 l1∥l2,需- =-2sin α ,即 sin α =± . sin α 2 π 所以 α =kπ ± ,k∈Z,此时两直线的斜率相等. 4 π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 方法二 由 A1B2-A2B1=0,得 2sin α -1=0, 所以 sin α =± 2 π ,所以 α =kπ ± ,k∈Z. 2 4
2

又 B1C2-B2C1≠0,所以 1+sin α ≠0,即 sin α ≠-1. π 故当 α =kπ ± ,k∈Z 时,l1∥l2. 4 (2)因为 A1A2+B1B2=0 是 l1⊥l2 的充要条件, 所以 2sin α +sin α =0,即 sin α =0,所以 α =kπ ,k∈Z. 故当 α =kπ ,k∈Z 时,l1⊥l2. 题型二 两条直线的交点与距离问题 例 2 (1)(2016·长沙模拟)求经过两条直线 l1:x+y-4=0 和 l2:x-y+2=0 的交点,且 与直线 2x-y-1=0 垂直的直线方程为________________. (2)直线 l 过点 P(- 1,2) 且到点 A(2,3)和点 B(- 4,5)的距离相等,则直线 l 的方程为

5

________________. 答案 (1)x+2y-7=0 (2)x+3y-5=0 或 x=-1 解析 (1)由?
?x+y-4=0, ? ? ?x-y+2=0,

得?

?x=1, ? ? ?y=3,

∴l1 与 l2 的交点坐标为(1,3). 设与直线 2x-y-1=0 垂直的直线方程为 x+2y+c=0, 则 1+2×3+c=0,∴c=-7. ∴所求直线方程为 x+2y-7=0. (2)方法一 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为

y-2=k(x+1),即 kx-y+k+2=0.
|2k-3+k+2| |-4k-5+k+2| 由题意知 = , k2+1 k2+1 即|3k-1|=|-3k-3|, 1 ∴k=- . 3 1 ∴直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x=-1,也符合题意. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 1 方法二 当 AB∥l 时,有 k=kAB=- , 3 1 直线 l 的方程为 y-2=- (x+1), 3 即 x+3y-5=0. 当 l 过 AB 的中点时,AB 的中点为(-1,4). ∴直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 思维升华 (1)求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程,先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件写出直线 方程. (2)利用距离公式应注意:①点 P(x0,y0)到直线 x=a 的距离 d=|x0-a|,到直线 y=b 的距 离 d=|y0-b|;②两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x,y 的系数化为相等. (1)如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线 l1:x+2y-1=0,l2:x+2y -3=0 所截的线段的中点在直线 l3:x-y-1=0 上,求其方程.

6

解 与 l1、l2 平行且距离相等的直线方程为

x+2y-2=0.
设所求直线方程为(x+2y-2)+λ (x-y-1)=0, 即(1+λ )x+(2-λ )y-2-λ =0.又直线过(-1,1), ∴(1+λ )(-1)+(2-λ )·1-2-λ =0. 1 解得 λ =- .∴所求直线方程为 2x+7y-5=0. 3 (2)正方形的中心为点 C(-1,0), 一条边所在的直线方程是 x+3y-5=0, 求其他三条边所在 直线的方程. 解 点 C 到直线 x+3y-5=0 的距离

d=

|-1-5| 3 10 = . 5 1+9

设与 x+3y-5=0 平行的一条边所在直线的方程是

x+3y+m=0(m≠-5),
则点 C 到直线 x+3y+m=0 的距离

d=

|-1+m| 3 10 = , 5 1+9

解得 m=-5(舍去)或 m=7, 所以与 x+3y-5=0 平行的边所在直线的方程是

x+3y+7=0.
设与 x+3y-5=0 垂直的边所在直线的方程是 3x-y+n=0, 则点 C 到直线 3x-y+n=0 的距离

d=

|-3+n| 3 10 = , 5 1+9

解得 n=-3 或 n=9, 所以与 x+3y-5=0 垂直的两边所在直线的方程分别是 3x-y-3=0 和 3x-y+9=0. 题型三 对称问题 命题点 1 点关于点中心对称 例 3 过点 P(0,1)作直线 l,使它被直线 l1:2x+y-8=0 和 l2:x-3y+10=0 截得的线段 被点 P 平分,则直线 l 的方程为________________.
7

答案 x+4y-4=0 解析 设 l1 与 l 的交点为 A(a,8-2a),则由题意知,点 A 关于点 P 的对称点 B(-a,2a-6) 在 l2 上,代入 l2 的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得 a=4,即点 A(4,0)在直线 l 上,所 以直线 l 的方程为 x+4y-4=0. 命题点 2 点关于直线对称 例 4 如图,已知 A(4,0),B(0,4),从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上,最后经直线 OB 反射后又回到 P 点,则光线所经过的路程是( )

A.3 3 答案 C

B.6 C.2 10

D.2 5

解析 直线 AB 的方程为 x+y=4,点 P(2,0)关于直线 AB 的对称点为 D(4,2),关于 y 轴的对 称点为 C(-2,0).则光线经过的路程为|CD|= 6 +2 =2 10.
2 2

命题点 3 直线关于直线的对称问题 例5 (2016·泰安模拟)已知直线 l:2x-3y+1=0,求直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l

的对称直线 m′的方程. 解 在直线 m 上任取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的对称点 M′必在直线 m′上. 设对称点 M′(a,b),则

?a+2?-3×?b+0?+1=0, ? ? ? 2 ? ?2×? ? 2 ? ? ? ?b-0 2 ? ?a-2×3=-1,
6 ? ?a=13, 解得? 30 ? ?b=13,

? 6 30? ∴M′? , ?. ?13 13?

设直线 m 与直线 l 的交点为 N,则
? ?2x-3y+1=0, 由? ?3x-2y-6=0, ? 8

得 N(4,3). 又∵m′经过点 N(4,3). ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. 思维升华 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点 P(x,y)关于 Q(a,b)的对称点 P′(x′,y′)满足?
? ?x′=2a-x, ?y′=2b-y. ?

②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决. (2)轴对称 ① 点 A(a , b) 关 于 直 线 Ax + By + C = 0(B≠0) 的 对 称 点 A′(m , n) , 则 有

n-b ? A? - ?=-1, ? ?m-a×? ? B? ? a+m b+n ? ?A· 2 +B· 2 +C=0.
②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决. 已知直线 l:3x-y+3=0,求: (1)点 P(4,5)关于 l 的对称点; (2)直线 x-y-2=0 关于直线 l 对称的直线方程; (3)直线 l 关于(1,2)的对称直线. 解 (1)设 P(x,y)关于直线 l:3x-y+3=0 的对称点为 P′(x′,y′), ∵kPP′·kl=-1,即

y′-y ×3=-1.① x′-x

又 PP′的中点在直线 3x-y+3=0 上, ∴3×

x′+x y′+y
2 - 2

+3=0.②

-4x+3y-9 ? ?x′= 5 , 由①②得? 3x+4y+3 ?y′= 5 . ④ ? 把 x=4,y=5 代入③④得 x′=-2,y′=7, ∴P(4,5)关于直线 l 的对称点 P′的坐标为(-2,7). (2)用③④分别代换 x-y-2=0 中的 x,y, 得关于 l 的对称直线方程为 化简得 7x+y+22=0.



-4x+3y-9 3x+4y+3 - -2=0, 5 5

9

(3)在直线 l:3x-y+3=0 上取点 M(0,3)关于(1,2)的对称点 M′(x′,y′), ∴

x′+0
2

=1,x′=2,

y′+3
2

=2,y′=1,∴M′(2,1).

l 关于(1,2)的对称直线平行于 l,∴k=3,
∴对称直线方程为 y-1=3×(x-2), 即 3x-y-5=0.

18.妙用直线系求直线方程

一、平行直线系 由于两直线平行,它们的斜率相等或它们的斜率都不存在,因此两直线平行时,它们的一次 项系数与常数项有必然的联系. 典例 1 求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点(1,2)的直线 l 的方程. 思想方法指导 因为所求直线与 3x+4y+1=0 平行,因此,可设该直线方程为 3x+4y+c= 0(c≠1). 规范解答 解 依题意,设所求直线方程为 3x+4y+c=0(c≠1), 又因为直线过点(1,2), 所以 3×1+4×2+c=0,解得 c=-11. 因此,所求直线方程为 3x+4y-11=0. 二、垂直直线系 由于直线 A1x+B1y+C1=0 与 A2x+B2y+C2=0 垂直的充要条件为 A1A2+B1B2=0.因此,当两直 线垂直时,它们的一次项系数有必要的关系.可以考虑用直线系方程求解. 典例 2 求经过 A(2,1),且与直线 2x+y-10=0 垂直的直线 l 的方程. 思想方法指导 依据两直线垂直的特征设出方程,再由待定系数法求解. 规范解答 解 因为所求直线与直线 2x+y-10=0 垂直,所以设该直线方程为 x-2y+C1=0,又直线 过点(2,1),所以有 2-2×1+C1=0,解得 C1=0,即所求直线方程为 x-2y=0. 三、过直线交点的直线系 典例 3 求经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y +5=0 垂直的直线 l 的方程. 思想方法指导 可分别求出直线 l1 与 l2 的交点及直线 l 的斜率 k,直接写出方程;也可以利 用过交点的直线系方程设直线方程,再用待定系数法求解.

10

规范解答 解 方法一 解方程组?
?x-2y+4=0, ? ?x+y-2=0, ?

得 P(0,2).

3 因为 l3 的斜率为 ,且 l⊥l3, 4 4 所以直线 l 的斜率为- , 3 4 由斜截式可知 l 的方程为 y=- x+2, 3 即 4x+3y-6=0. 方法二 设直线 l 的方程为 x-2y+4+λ (x+y-2)=0, 即(1+λ )x+(λ -2)y+4-2λ =0. 又∵l⊥l3,∴3×(1+λ )+(-4)×(λ -2)=0, 解得 λ =11. ∴直线 l 的方程为 4x+3y-6=0.

1.设 a∈R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 (1)充分性:当 a=1 时,

直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 平行; (2)必要性:当直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行时有 a=-2 或 1. 所以“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的充分不必 要条件,故选 A. 2.(2016·合肥模拟)已知两条直线 l1:x+y-1=0,l2:3x+ay+2=0 且 l1⊥l2,则 a 等于 ( ) 1 B. 3 C.-3 D.3

1 A.- 3 答案 C

解析 由 l1⊥l2,可得 1×3+1×a=0,

11

∴a=-3. 3.(2016·山东省实验中学质检)从点(2,3)射出的光线沿与向量 a=(8,4)平行的直线射到 y 轴上,则反射光线所在的直线方程为( A.x+2y-4=0 C.x+6y-16=0 答案 A 1 解析 由直线与向量 a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率 k= ,所以直线的方程为 y 2 1 -3= (x-2),其与 y 轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于 y 轴的对称点为(-2,3),所以 2 反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知 A 正确. 4.(2017·兰州月考)一只虫子从点 O(0,0)出发,先爬行到直线 l:x-y+1=0 上的 P 点, 再从 P 点出发爬行到点 A(1,1),则虫子爬行的最短路程是( A. 2 C.3 答案 B 解析 点 O(0,0)关于直线 x-y+1=0 的对称点为 O′(-1,1), 则虫子爬行的最短路程为|O′A|= ?1+1? +?1-1? =2. 故选 B. 5. (2016·绵阳模拟)若 P, Q 分别为直线 3x+4y-12=0 与 6x+8y+5=0 上任意一点, 则|PQ| 的最小值为( A. C. 9 5 29 10 ) B. D. 18 5 29 5
2 2

)

B.2x+y-1=0 D.6x+y-8=0

)

B.2 D.4

答案 C 3 4 -12 解析 因为 = ≠ ,所以两直线平行, 6 8 5 由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离, 即 |-24-5| 29 = , 2 2 10 6 +8

29 所以|PQ|的最小值为 ,故选 C. 10 6.(2016·厦门模拟)将一张坐标纸折叠一次,使得点(0,2)与点(4,0)重合,点(7,3)与点(m,

n)重合,则 m+n 等于(

)

12

A. C.

34 5 28 3

B. D.

36 5 32 3

答案 A 解析 由题意可知,纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的中垂线, 即直线 y=2x-3,它也是点(7,3)与点(m,n)连线的中垂线, 3+n 7+m ? ? 2 =2× 2 -3, 于是? n-3 1 =- , ? ?m-7 2 34 故 m+n= ,故选 A. 5 7.(2016·忻州训练)已知两直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,若 l1∥l2, 且坐标原点到这两条直线的距离相等,则 a+b=________. 8 答案 0 或 3 3 ? ?m=5, 解得? 31 n= , ? ? 5

a+b?a-1?=0, ? ? 4 |b| 解析 由题意得? = . 2 2 2 ? ?a-1? +1 ? a +?-b?
?a=2, ? 解得? ?b=-2 ?

2 ? ?a= , 或? 3 ? ?b=2.

经检验,两种情况均符合题意,

8 ∴a+b 的值为 0 或 . 3 π 8. 已知直线 l1: ax+y-1=0, 直线 l2: x-y-3=0, 若直线 l1 的倾斜角为 , 则 a=________; 4 若 l1⊥l2,则 a=________;若 l1∥l2,则两平行直线间的距离为________. 答案 -1 1 2 2 解析 若直线 l1 的倾斜角为 π π , 则-a=k=tan =1, 故 a=-1; 若 l1⊥l2, 则 a×1+1×(- 4 4

|1-?-3?| 1)=0, 故 a=1; 若 l1∥l2, 则 a=-1, l1: x-y+1=0, 两平行直线间的距离 d= 1+1 =2 2. 9.点 P(2,1)到直线 l:mx-y-3=0(m∈R)的最大距离是________. 答案 2 5

13

解析 直线 l 经过定点 Q(0,-3), 如图所示,

由图知, 当 PQ⊥l 时, 点 P(2,1)到直线 l 的距离取得最大值|PQ|= ?2-0? +?1+3? = 2 5, 所以点 P(2,1)到直线 l 的最大距离为 2 5. 10.点 P 为 x 轴上的一点,A(1,1),B(3,4),则|PA|+|PB|的最小值是________. 答案 29

2

2

解析 点 A(1,1)关于 x 轴的对称点 A′(1,-1), 则|PA|+|PB|的最小值是线段 A′B 的长为 29. 11.已知两条直线 l1:ax-by+4=0 和 l2:(a-1)x+y+b=0,求满足下列条件的 a,b 的 值. (1)l1⊥l2,且直线 l1 过点(-3,-1); (2)l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等. 解 (1)∵l1⊥l2,∴a(a-1)-b=0, 又∵直线 l1 过点(-3,-1),∴-3a+b+4=0. 故 a=2,b=2. (2)∵直线 l2 的斜率存在,l1∥l2, ∴直线 l1 的斜率存在. ∴k1=k2,即 =1-a. 又∵坐标原点到这两条直线的距离相等, ∴l1,l2 在 y 轴上的截距互为相反数, 4 即 =b.

a b

b

2 故 a=2,b=-2 或 a= ,b=2. 3 12.(2016·北京朝阳区模拟)已知△ABC 的顶点 A(5,1),AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2x-y-5=0,AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x-2y-5=0,求直线 BC 的方程. 解 依题意知:kAC=-2,A(5,1), ∴lAC 为 2x+y-11=0,

14

?2x+y-11=0, ? 联立 lAC、lCM 得? ?2x-y-5=0, ?

∴C(4,3).

设 B(x0,y0),AB 的中点 M 为(

x0+5 y0+1
2 , 2

),

代入 2x-y-5=0,得 2x0-y0-1=0,
? ?2x0-y0-1=0, ∴? ?x0-2y0-5=0, ?

∴B(-1,-3),

6 6 ∴kBC= ,∴直线 BC 的方程为 y-3= (x-4), 5 5 即 6x-5y-9=0. *13.已知三条直线:l1:2x-y+a=0(a>0);l2:-4x+2y+1=0;l3:x+y-1=0,且 l1 7 5 与 l2 间的距离是 . 10 (1)求 a 的值; (2)能否找到一点 P,使 P 同时满足下列三个条件: ①点 P 在第一象限; 1 ②点 P 到 l1 的距离是点 P 到 l2 的距离的 ; 2 ③点 P 到 l1 的距离与点 P 到 l3 的距离之比是 2∶ 5. 若能,求点 P 的坐标;若不能,说明理由. 1 7 5 解 (1)直线 l2: 2x-y- =0, 所以两条平行线 l1 与 l2 间的距离为 d= 2 = , 2 2 10 2 +?-1?

?a-?-1?? ? ? 2?? ? ? ??

所以

?a+1? ? 2? ? ? 7 5
5 = 10

? 1? 7 ,即?a+ ?= , ? 2? 2

又 a>0,解得 a=3. (2)假设存在点 P,设点 P(x0,y0). 若点 P 满足条件②,则点 P 在与 l1,

l2 平行的直线 l′:2x-y+c=0 上,



?c+1? ? ? |c-3| 1 ? 2?
5 = × 2 5



13 11 即 c= 或 , 2 6 所以直线 l′的方程为

15

13 11 2x0-y0+ =0 或 2x0-y0+ =0; 2 6 若点 P 满足条件③,由点到直线的距离公式, 有 |2x0-y0+3| 2 |x0+y0-1| = × , 5 5 2

即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|, 所以 x0-2y0+4=0 或 3x0+2=0; 由于点 P 在第一象限,所以 3x0+2=0 不可能. 13 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0, 2

x0=-3, ? ? 解得? 1 y0= ? 2 ?

(舍去);

11 联立方程 2x0-y0+ =0 和 x0-2y0+4=0, 6 1 ? ?x =9, 解得? 37 ? ?y =18.
0 0

?1 37? 所以存在点 P? , ?同时满足三个条件. ?9 18?

16


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