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高中数学人教(A版)选修2-2导数及其应用1.1 变化率与导数 课件


普通高中课程标准实验教科书(A版)选修2-2

导数及其应用 1.1 变化率与导数

背景介绍
早在十七世纪,欧洲资本主义 发展初期,由于工场的手工业 向机器生产过渡,提高了生产 力,促进了科学技术的快速发 展,其中突出的成就就是数学 研究中取得了丰硕的成果 ―――微积分的产生。 微积分的奠基人是牛顿和莱布尼兹,他们分别从运动学

和几 何学角度的来研究微积分。微积分靠着解析几何的帮助,成 为十七世纪最伟大的数学发现,此后,微积分得到了广泛的 应用。例如,在军事上,战争中涉及炮弹的最远射程问题, 天文学上,行星与太阳的最近与最远距离问题等等。甚至连 历法、农业都与微积分密切相关。更不用说在我们的日常生 活中所碰到的那些问题了。

函数

微积分(牛顿,莱布尼兹)

? 一、已知物体运动的路程作为时间的函

数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; ? 二、求曲线的切线; ? 三、求已知函数的最大值与最小值; ? 四、求长度、面积、体积和重心等。
导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大(小)值等 问题最一般、最有效的工具。

一、平均变化率
? 问题1

气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随 着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢. 从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球膨胀率

气球体积增加量相 同,相应半径增 加量越来越小 ?r 越来越小 即 ?v

气球的体积V(单位:L)与半径r 4 3 (单位:dm)之间的函数关系是 V (r ) ? ? r
?

3

3V r (V ) ? ? 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 4?
3

?

当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm) 气球的平均膨胀率为 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L)
1? 0

?

当V从1增加到2时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm /显然 L)
2 ?1
0.62>0.16

所以气球半径增加得越来越慢

P3 思考?
?

当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率 是多少? r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1

气球的平均膨胀率即气球半径的平均变化率 气球半径的平均变化率可以刻画气球半径 变化快慢

? 问题2

高台跳水

h

运动员相对于水面的高度h(单位:米)与 起跳后的时间t(单位:秒)存在函数关 系 ? h(t)=-4.9t2+6.5t+10.
?( t1)用运动员在某些时间段内的平均速

o

度粗略地描述其运动状态; 求 0 ? t ? 0.5和1 ? t ? 2时的平均速度v :

h

h(t)=-4.9t2+6.5t+10

o

t

?t1, t2 ?

运动员在时间 ?t1, t2 ? 内的高度的平均变化率为

h1 ? h2 v? t1 ? t2

即平均速度

平均变化率:

f(x2 ) ? f ( x1 ) 上述问题中的变化率可用式子 x2 ? x1

表示

称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
?

若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为 f(x2 ) ? f ( x1 )

x2 ? x1

?f ( x ) ? ?x

练习:1、智力报P3 《课堂及时练》1.1.1 EX1,2

例:《智力报》P5上文

(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗?书 3 探究
? 65 ? t ? ?0, ? ? 49 ?

v?0

平均速度不能反映他在这段时间里运动状态 应该用每一时刻的速度来描述运用员的运动状态 瞬时速度

(3)如何求(比如 t=2时的)瞬时速度?P4

瞬时速度

当t ? 2,?t ? 0时,平均速度v就趋近 于t ? 2时刻的瞬时速度.表示为:
为方便表示,我们用:

h(2 ? ?t ) ? h(2) lim ? ?13.1, ?t ?t ?0 表示t ? 2时刻的瞬时速度.

在t0时刻的瞬时速度呢?

当t ? t 0时,?t趋近于0时,平均速度 v就趋近 于t 0时刻的瞬时速度 .表示为:

h(t0 ? ?t ) ? h(t0 ) lim ?t ?t ?0

气球体积为V0时的瞬时膨胀率如何表示?
r (V0 ? ?V ) ? r (V0 ) ?r lim ? lim ?V ?0 ?V ?V ?0 ?V

导数的概念 二、瞬时变化率
一般的,函数y ? f ( x)在x ? x0时的瞬时变化 率为:

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x
称它为函数y ? f ( x )在x ? x0处的导数. ' ' 记作f ( x0 )或 y | x ? x0 .

f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y lim ? lim f ?( x0 ) ? ? x ?0 ?x ?x ?0 ?x
说明: 1、 f ?( x0 ) 反映了函数在

x ? x0 变化的快慢

x ? x0 时, 2、
f ( x)

f ?( x0 )

是一个固定的数

3、 x变化时, f ?( x ) 是一个函数,称为 的导函数

练习:智力报P3《课堂及时练1.1.2》EX1,2

导数(导函数)与函数 的区别与联系
(1)函数在某一点处的导 数f ' ( x )是一个定值, 是函数在该点的函数该 变量与自变量该变量 的比值的极限,不是变 量.

(2)函数的导数:是指某 一区间内任一点 x 而言的.
(3)函数f ( x )在x0处的导数就是导函数 f ( x) 在x ? x0处的函数值.
'

求f(x)在x0处的导数步骤:
(1) 求增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 );
?y f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) (2) 算比值 ? ; ?x ?x

(3) 令?x ? 0,

?y y? ? lim . ?x?0 ?x

例1.求y=x2在点x=1处的导数.

解: (1)?y ? (1 ? ?x) ?1 ? 2?x ? (?x) ,
2 2 2

?y 2?x ? ( ?x ) ? ? 2 ? ?x , ?x ?x ?y ? lim ? lim( 2 ? ?x ) ? 2,? y? | x ?1 ? 2. ? x ? 0 ?x ?x ? 0
2

例 2(P6):将原油精炼为汽油、柴油、塑胶 等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加 热,如果第 xh 时,原油的温度(单位:oC) 为 y=f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第 2h 和 第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它 们的意义.
课本 P10 2,3,4

1 例 :已知函数y ? x在x ? x0处附近有定义, 且y ' |x ? x0 ? , 2 求x0的值. 解 :? ?y ? x ? ?x ? x ,
0 0

?y ? ? ?x

x0 ? ?x ? x0 ( x0 ? ?x ? x0 )( x0 ? ?x ? x0 ) ? ?x ?x( x0 ? ?x ? x0 ) 1 ? . x0 ? ?x ? x0

?y 1 1 ? lim ? lim ,? ?x?0 ?x ?x?0 x0 ? ?x ? x0 2 x0

1 1 1 由y'| x ? x0 ? , 得 ? ,? x0 ? 1. 2 2 x0 2 例:智力报P4右例题1

1.平均变化率

复 习 回 顾

已知函数y=f(x)在点x=x0及其附近有定义
当?x ? 0时,比值 f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? ?x ?x

叫做函数y=f(x)在x0到x0 +?x之间的平均变化率.
2.瞬时变化率

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 当?x趋近于0时,平均变化率 ?x

趋近于一个常数,这个常数称为函数 f

? x ?在点 x0 的瞬时变化率

3.导数的定义

函数在x0的瞬时变化率,就定义为f(x)在x=x0处的导数

记作f

'

? x0 ? 或y '
?x ?0

x ? x0

故f ' ( x0 ) ? lim

f(x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

三、导数的几何意义
1、平均变化率的几何意义

观察函数f(x)的图象
?y f(x2 ) ? f ( x1 ) ? 平均变化率 ?x x2 ? x1

直线AB 的斜率 Y=f(x)
y f(x2) B f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2

表示什么?

O

如图,曲线C是函数y=f(x)的图象,P(x0,y0)是曲线C 上的任意一点,Q(x0+Δ x,y0+Δ y)为P邻近一点,PQ为 C的割线,PM//x轴,QM//y轴,β 为PQ的倾斜角.
y y=f(x) Q

则 : MP ? ?x , MQ ? ?y , ?y ? tan ? . ?x

Δy P O
β

?y 可见: 就是割线的斜率. ?x

Δx

M x

/ f ( x ) f 2、函数 在 x ? x0处的导数 ?x0 ?的几何意义

就是函数 f ( x)的图象在点 A( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率
y

y ? f ? x?
Q ? x0 ? ?x, f ? x0 ? ?x ??

割 线

T 切线
?y

见FLASH 课件

P ? x0 , f ? x0 ??
?x

o

x





( 1 )求曲线上某点的切线的斜率可以求该 点的导数.

(2)切线的斜率 — 函数在该点的导数.

练习
1.当自变量从 x0 变到 x1 时,函数值的增量与相 应自变量的增量之比是函数 ( ) A.在区间[x0,x1]上的平均变化率 B.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的导数 D.在区间[x0,x1]上的导数

练习
2.下列说法正确的是 ( ) A.若 f ′ (x0)不存在,则曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0)) 处就没有切线 B.若曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处有切线,则 f ′ (x0)必存在 C.若 f ′ (x0)不存在,则曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0)) 处的切线斜率不存在 D.若曲线 y = f (x)在点(x0, f (x0))处的切线斜率不 存在,则曲线在该点处就没有切线

例题讲解
例1:求抛物线y=f(x)=x2在点P(1,1)处的切线的斜率.
y

解 : 过点(1,1)切线的斜率是 f (1 ? ?x) ? f (1) ' f(1) ? lim ?x ? 0 ?x 2 (1 ? ?x) ? 1 ? lim ?x ? 0 ?x 2 2 ?x ? ( ? x ) ? lim ? 2. ?x ? 0 ?x

y ? x2

P ?1,1?
o

x

因此,抛物线y=f ? x ? =x2 在点P ?11 ,处的切线斜率为 2. ?

(3)割线的极限位置就是切线
y

y ? f ? x?
Q ? x0 ? ?x, f ? x0 ? ?x ??

割 线 T 切线
?y

P ? x0 , f ? x0 ??
?x

思考: 这里的切 线定义与 以前的切 线定义有 何不同?

o

x

y

圆的切线定义并不适
l1
A

用于一般的曲线。
通过逼近的方法,将

l2
B

割线趋于的确定位置的
直线定义为切线(交点
x

可能不惟一)适用于各 种曲线。所以,这种定 义才真正反映了切线的 直观本质。

C

以直代曲思想
P P

P

根据导数的几何意义,在点P附近,曲线可以 用在点P处的切线近似代替 。 大多数函数曲线就一小范围来看,大致可 看作直线,所以,某点附近的曲线可以用过此 点的切线近似代替,即“以直代曲” (以简 单的对象刻画复杂的对象)所以描述曲线在某 点 附近的变化状态可以考虑用切线代替

例题 2.在函数h(t )

? ?4.9t ? 6.5t ? 10 的
2

图像上,(1) 用图形体现导数

, h (1) ? ?3.3
/

h (0.5) ? 1.6 的几何意义.
/
h

O

0 .5

1 .0

t

(2)请描述,比较曲线分别在

t 0 , t1 , t 2

附近增(减)以及增(减)快慢的情况。 在 t 3 , t 4 附近呢? 附近:瞬时 增(减): 变化率(正或负) 即:瞬时变化率(导数) =切线的斜率 增(减)快慢: 即:导数 的绝多值的大小 切线的倾斜程度 =切线斜率的绝对值的 (陡峭程度) 大小 画切线(数形结合,以直代曲) 以简单对象刻画复杂的对象





1.函数 f ( x) 在 x ? x0 处的导数 f / ?x0 ?

的几何意义,就是函数 f ( x) 的图像在点
A?x0 , f ( x0 )? 处的切线AD的斜率(数形结合)
f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) f ( x0 ) ? lim ?x ?0 ?x
/

=切线

AD的斜率

2.利用导数的几何意义解释实际生活问题, 体会“数形结合”,“以直代曲”的数学 思想方法。
f ( x ? ?x ) ? f ( x ) lim 3.导函数(简称导数) f ( x) ? ? x ?0 ?x
/

以简单对象刻画复杂的对象


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