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2012年泉州市3月质检理


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小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 选择题: 意要求的. 意要求的. 1. 复数 (1 + i ) i 等于( ) A. ?1 + i B. 1 + i C. ?1 ? i D. 1 ? i

2. 已知集合 A = x 1 < x < 3 , B = x 1 < log 2 x < 2 ,则 A I B 等于( A. x 0 < x < 3

{

}

{

}

)

{

}

B. x 2 < x < 3

{

}

C. x 1 < x < 3

{

}

D. x 1 < x < 4

{

}
开始

3. 已知 a = (2,1), b = ( ?1, ?3) ,则 | a ? b | 等于( A. 5 B. 7 C.5 D.25

r

r

r r

)
S = 1, n = 1

4. 执行右侧框图所表达的算法, 如果最后输出的 S 值为

1 , 那么判断框中实数 a 2012
S=


n≤a

是 的取值范围是( ) B. 2011 < a ≤ 2012 A. 2011 ≤ a < 2012 C. 2011 ≤ a ≤ 2012 D. 2012 ≤ a < 2013 5. 下列四个条件: ① x , y , z 均为直线; ② x , y 是直线, z 是平面; ③ x 是直线, y , z 是平面;④ x , y , z 均为平面. 其中,能使命题“ x ⊥ y , y ? z ? x ⊥ z ”成立的有( A.1 个 B.2 个 输出 S
S 1+ S

结束
n = n +1

(第 4 题图) ) D.4 个

C.3 个

? x ? y + 2 ≥ 0, ? 则 z = 2 x + y 的最大值是( 6. 已知实数 x, y 满足 ? x + y ≥ 0, ? x 2 + y 2 ≤ 4, ?

)A.5 B.-1

C.2

D. 2 5

7. 已知二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx ,则“ f (2) ≥ 0 ”是“函数 f ( x ) 在 (1, +∞ ) 单调递增”的( A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件

)

D. 既不充分也不必要条件

8. 已知 A1 , A2 分别为椭圆 C :

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的左右顶点,椭圆 C 上异于 A1 , A2 的点 P 恒满足 a 2 b2
4 9 2 3 5 9

4 k PA1 ? k PA2 = ? ,则椭圆 C 的离心率为( 9

) A.

B.

C.

D.

5 3

9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例,采用如下调查方法: (1)在该校中随机抽取 100 名学生,并编号为 1,2,3,……,100; (2)在箱内放置两个白球和三个红球,让抽取的 100 名学生分别从箱中随机摸出一球,记住其颜色并 放回;
1

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(3)请下列两类学生举手: (ⅰ)摸到白球且号数为偶数的学生; (ⅱ)摸到红球且不喜欢数学课的学生. 如果总共有 26 名学生举手, 那么用概率与统计的知识估计, 该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是( ) A.88% B. 90% C. 92% D.94% 10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系,如把抛物线 y 2 = x 的图象绕原点沿逆时针方向旋转 90 就
o

得到函数 y = x 的图象.若把双曲线
2

x2 ? y 2 = 1 绕原点按逆时针方向旋转一定角度 θ 后,能得到某一个函 3

数的图象,则旋转角 θ 可以是( A. 30
o

) B. 45
o

C. 60

o

D. 90

o

小题, 答案填在答题卡的相应位置. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.将答案填在答题卡的相应位置. 填空题: 11. 已知等差数列 {an } 中, a5 = 1 , a3 = a2 + 2 ,则 S11 = .

12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示,则该三棱锥俯视图 的面积为 . 13. 在 V ABC 中 , B = 60o , AC = 为 . 14. 已知 min {a, b} = ?

3

3 , 则 V ABC 周 长 的 最 大 值

2

1

正侧侧

侧侧侧

?a ( a ≤ b ) , ? ? 1? , f ( x ) = min ? x 3 , ? , 设 则由函数 f ( x ) 的图象与 x 轴、 直线 x = e ? x? ?b ( a > b ) ?

所围成的封闭图形的面积为 . 15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗,如: “云边月影沙边雁,水外天光山外 树” ,倒过来读,便是“树外山光天外水,雁边沙影月边云” ,其意境和韵味读来真是一种享受!数学中也 有回文数,如:88,454,7337,43534 等都是回文数,无论从左往右读,还是从右往左读,都是同一个数, 称这样的数为“回文数” ,读起来还真有趣! 二位的回文数有 11,22,33,44,55,66,77,88,99,共 9 个; 三位的回文数有 101,111,121,131,…,969,979,989,999,共 90 个; 四位的回文数有 1001,1111,1221,…,9669,9779,9889,9999,共 90 个; 由此推测:10 位的回文数总共有 个. 应写出文字 程或演算步骤 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题 小 分 解答应写出文字说 16.(本小题满分 13 分) 16. 已知点 F (1, 0) ,直线 l : x = ?1 ,动点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离. (Ⅰ)试判断点 P 的轨迹 C 的形状,并写出其方程. (Ⅱ)是否存在过 N (4, 2) 的直线 m ,使得直线 m 被截得的弦 AB 恰好被点
y

N 所平分?
C B

θ

A

x

2

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17.(本小题满分 13 分) 17. 将边长为 1 的正三角形 ABC 按如图所示的方式放置, 其中顶点 A 与坐标原点重合.记边 AB 所在直线 的倾斜角为 θ ,已知 θ ∈ ? 0,

? π? . ? 3? ?

(Ⅰ)试用 θ 表示 BC 的坐标(要求将结果化简为形如 (cos α ,sin α ) 的形式) ; (Ⅱ)定义:对于直角坐标平面内的任意两点 P ( x1 , y1 ) 、 Q ( x2 , y2 ) ,称 x1 ? x2 + y1 ? y2 为 P 、 Q 两点间的“taxi 距离” ,并用符号 PQ 表示.试求 BC 的最大值.

uuu r

3

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18.(本小题满分 13 分) 18.

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已知 A1 , A2 , A3 , L , A10 等 10 所高校举行的自主招生考试, 某同学参加每所高校的考试获得通过的概率 均为

1 . 2

(Ⅰ)如果该同学 10 所高校的考试都参加,试求恰有 2 所通过的概率; (Ⅱ)假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为 a 元,该同学决定按 A1 , A2 , A3 , L , A10 顺序参加 考试,一旦通过某所高校的考试,就不再参加其它高校的考试,试求该同学参加考试所需费用 ξ 的分布列 及数学期望.

19. (本小题满分 13 分) 如 图 , 侧 棱 垂 直 底 面 的 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , AB ⊥ AC , AA1 + AB + AC = 3 ,

AB = AC = t (t > 0) , P 是侧棱 AA1 上的动点.

4

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B1 A1 P B

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C1

C

A

(Ⅰ)当 AA1 = AB = AC 时,求证: A1C ⊥ 平面ABC1 ; (Ⅱ)试求三棱锥 P ? BCC1 的体积 V 取得最大值时的 t 值; (Ⅲ)若二面角 A ? BC1 ? C 的平面角的余弦值为

10 ,试求实数 t 的值. 10

5

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20.(本小题满分 14 分) 20.
x

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已知 f 0 ( x ) = x ? e , f1 ( x ) = f 0′ ( x ) , f 2 ( x ) = f1′( x ) ,…, f n ( x ) = f n′?1 ( x ) ( n ∈ N ).
?

(Ⅰ)请写出 f n ( x ) 的表达式(不需证明) ; (Ⅱ)设 f n ( x ) 的极小值点为 Pn ( xn , yn ) ,求 yn ; (Ⅲ)设 g n ( x ) = ? x ? 2 ( n + 1) x ? 8n + 8 , g n ( x ) 的最大值为 a , f n ( x ) 的最小值为 b ,试求 a ? b
2

的最小值.

21. 本题有(1)(2)(3)三个选答题,每题 7 分,请考生任选 2 题作答,满分 14 分.如果多做,则 、 、 按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括 号中.作 (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 若二阶矩阵 M 满足 M ?

? 1 2 ? ? 7 10 ? ?=? ?. ?3 4? ? 4 6 ?

(Ⅰ)求二阶矩阵 M ; (Ⅱ)把矩阵 M 所对应的变换作用在曲线 3 x 2 + 8 xy + 6 y 2 = 1 上,求所得曲 线的方程.

6

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(2) (本小题满分 7 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x = 2t cos θ (t 为非零常数, θ 为参数) ,在极坐 ? y = 2sin θ

标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,直线 l 的方 程为 ρ sin(θ ?

π
4

)=2 2.

(Ⅰ)求曲线 C 的普通方程并说明曲线的形状; (Ⅱ) 是否存在实数 t ,使得直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共点 A 、B ,且 OA ? OB = 10 (其中 O 为 坐标原点)?若存在,请求出;否则,请说明理由.

uuu uuu r r

(3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已 知 函 数

f ( x) = x ? 2 + x ? 4

的 最 小 值 为 m

, 实 数 a , b, c , n, p , q 满 足

a 2 + b2 + c 2 = n 2 + p 2 + q 2 = m .
(Ⅰ)求 m 的值;

(Ⅱ)求证:

n4 p4 q4 + + ≥ 2. a2 b2 c 2

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一、选择题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 5 分,满分 50 分. 选择题:本大题考查基础知识和基本运算. 1. A 6. D 2.B 7.C 3.C 8.D 4.A 9.B 5.C 10.C

二、填空题:本大题考查基础知识和基本运算.每小题 4 分,满分 20 分. 填空题:本大题考查基础知识和基本运算. 11. 33 12. 1 13. 3 3 14.

5 4

15.90000

应写出文字 程或演算步骤 三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题:本大题 小 分 解答应写出文字说 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运 算求解能力,考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分. 解: (Ⅰ) 因点 P 到点 F 的距离等于它到直线 l 的距离, 所以点 P 的轨迹 C 是以 F 为焦点、 直线 x = ?1 为准线的抛物线, ………………2 分 其方程为 y 2 = 4 x . ………………5 分

(Ⅱ)解法一 解法一:假设存在满足题设的直线 m .设直线 m 与轨迹 C 交于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 解法一 依题意,得 ?

? x1 + x2 = 8 . ………………6 分 ? y1 + y2 = 4

①当直线 m 的斜率不存在时,不合题意. ………………7 分 ②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y ? 2 = k ( x ? 4) ,………8 分

联立方程组 ?

? y ? 2 = k ( x ? 4)
2 ? y = 4x



消去 y ,得 k 2 x 2 ? (8k 2 ? 4k + 4) x + (2 ? 4k ) 2 = 0 , (*) ∴ x1 + x2 =

………………9 分

8k 2 ? 4 k + 4 = 8 ,解得 k = 1 . k2
2

………………10 分

此时,方程(*)为 x ? 8 x + 4 = 0 ,其判别式大于零, ………………11 分 ∴存在满足题设的直线 m 且直线 m 的方程为: y ? 2 = x ? 4 即 x ? y ? 2 = 0 . ………………12 分 ………………13 分

解法二:假设存在满足题设的直线 m .设直线 m 与轨迹 C 交于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 解法二 依题意,得 ?

? x1 + x2 = 8 . ………………6 分 ? y1 + y2 = 4
………………7 分

易判断直线 m 不可能垂直 y 轴,

∴设直线 m 的方程为 x ? 4 = a ( y ? 2) ,………8 分

8

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联立方程组 ?

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? x ? 4 = a ( y ? 2)
2 ? y = 4x



消去 x ,得 y 2 ? 4ay + 8a ? 16 = 0 , ∵ ? = 16( a ? 1) + 48 > 0 ,
2

………………9 分

∴直线与轨迹 C 必相交. ………………10 分 又 y1 + y2 = 4a = 4 ,∴ a = 1 . ∴存在满足题设的直线 m ………………11 分 ………………12 分 ………………13 分

且直线 m 的方程为: y ? 2 = x ? 4 即 x ? y ? 2 = 0 .

解法三:假设存在满足题设的直线 m .设直线 m 与轨迹 C 交于 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) , 解法三 依题意,得 ?

? x1 + x2 = 8 . ………………6 分 ? y1 + y2 = 4

∵ A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) 在轨迹 C 上, ∴有 ?

? y12 = 4 x1 L 1) ( ? 2 2 ,将 (1) ? (2) ,得 y1 ? y2 = 4( x1 ? x2 ) . ………8 分 2 ( ? y2 = 4 x2 L 2) ?

当 x1 = x2 时,弦 AB 的中点不是 N ,不合题意, ………9 分



y1 ? y2 4 = = 1 ,即直线 AB 的斜率 k = 1 , ………10 分 x1 ? x2 y1 + y2

注意到点 N 在曲线 C 的张口内(或:经检验,直线 m 与轨迹 C 相交)…11 分 ∴存在满足题设的直线 m ………………12 分 且直线 m 的方程为: y ? 2 = x ? 4 即 x ? y ? 2 = 0 . ………………13 分

17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识,考查运算 求解能力,考查化归与转化思想.满分 13 分. 解: (Ⅰ)解法一:因为 B ( cos θ ,sin θ ) , C ? cos ? θ +

? ?

? ?

π?

π ?? ? ? , sin ? θ + ? ? , ……2 分 3? 3 ?? ?

所以 BC = ? cos ? θ +

uuu r

? ?

? ?

π?

π? ? ? ? ? cos θ ,sin ? θ + ? ? sin θ ? 3? 3? ? ?
2π ? ? ? ? ? , sin ? θ + ?? . 3 ?? ? ?

………3 分

? 2π ? = ? cos ? θ + 3 ? ?

………7 分

uuu r

uuur

,………2 分 解法二:平移 BC 到 AD ( B 移到 A , C 移到 D )

9

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uuu r
uuur

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由 BC 的坐标与 AD 的坐标相等,都等于点 D 的坐标. ………3 分 由平几知识易得直线 AD 的倾斜角为

2π +θ , 3

∵ | AD |= 1 ,∴根据三角函数的定义可得 D ? cos ? θ +

uuur

? ?

? ?

2π 3

2π ? ? ? ? ? ,sin ? θ + ?? , 3 ?? ? ?

所以 BC = ? cos ? θ +

uuu r

? ?

? ?

2π 3

2π ? ? ? ,sin ? θ + 3 ? ? ? ?

?? ? ? . ………7 分 ??

(Ⅱ)解法一: BC = cos ? θ +

2π ? 2π ? ? ? + sin ? θ + ? ,………8 分 3 ? 3 ? ?

∵ θ ∈ ? 0,

2π 2π ? π? ? ,∴ θ + 3 ∈ [ 3 , π ] , ? 3? ? ? 2π 3 2π ? ? ? ? + sin ? θ + ? 3 ? ? ?

………9 分

∴ BC = ? cos ? θ +

………11 分

5π ? ? = 2 sin ? θ + ?, 12 ? ?
所以当 θ =

………12 分

π
12

时, BC 取得最大值 2 .

………13 分

解法二: BC = cos ? θ + ∵0 ≤θ ≤

? ?

π? π
3

π? ? ? ? cos θ + sin ? θ + ? ? sin θ ,………8 分 3? 3? ?
≤ 2π π < π ,即 0 ≤ θ < θ + < π , 3 3

π
,∴

π
3

3

≤θ +

∴ cos ? θ + ∵0 ≤θ ≤

? ?

π?

? ? cos θ = cos θ ? cos(θ + ) . ………9 分 3? 3

π

π
,∴

π

3

?θ ≥ ( +θ ) ? , 2 3 2
………10 分

π

π

∴ sin ? θ +

? ?

π?

π? ? ? ? sin θ = sin ? θ + ? ? sin θ , 3? 3? ?

π π? ? || BC ||= cos θ ? cos(θ + ) + sin ? θ + ? ? sin θ 3 3? ? π π 5π = sin( + θ ) + cos( + θ ) = 2 sin(θ + ) , 6 6 12
所以当 θ = ………12 分

π

12

时, BC 取得最大值 2 .

………13 分

18. 本题主要考查概率与统计的基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识,考查

10

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必然与或然思想、分类与整合思想等.满分 13 分.

解: (Ⅰ)因为该同学通过各校考试的概率均为

1 ,所以该同学恰好通过 2 所高校自主招生考试的概 2

率为 P = C10 ?
2

?1? ? ?2?

2

45 ? 1? . ?1 ? ? = ? 2 ? 1024

8

………4 分

(Ⅱ)设该同学共参加了 i 次考试的概率为 Pi ( 1 ≤ i ≤ 10, i ∈ Z ).

?1 ? 2i ,1 ≤ i ≤ 9, i ∈ Z ? , ∵ Pi = ? 1 ? , i = 10 ? 29 ?
∴所以该同学参加考试所需费用 ξ 的分布列如下:

ξ
P

a
1 2 1 2

2a

3a

4a

5a

6a

7a

8a

9a

10 a

1 22

1 23

1 24

1 25

1 26

1 27

1 28

1 29

1 29

………7 分

1 1 1 × 2 + L + 9 × 9 + 9 × 10)a , ………8 分 2 2 2 2 1 1 1 令 S = ×1 + 2 × 2 + L + 9 × 9 , …(1) 2 2 2 1 1 1 1 1 则 S = 2 × 1 + 3 × 2 + L + 9 × 8 + 10 × 9 , …(2) 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 由(1)-(2)得 S = + 2 + L + 9 ? 10 × 9 , 2 2 2 2 2 1 1 1 1 所以 S = 1 + + 2 + L + 8 ? 9 × 9 , ………11 分 2 2 2 2
所以 Eξ = ( × 1 + 所以 Eξ = ? 1 +

? ?

1 1 1 1 1 1 ? ? ? 1 + 2 + L + 8 ? 9 × 9 + 9 × 10 ? a = ?1 + + L + 9 ? a 2 2 2 2 2 2 ? ? ? 2

1 210 a = 2 ?1 ? 1 ? a = 1023 a (元). = ? 10 ? 1 512 ? 2 ? 1? 2 1?

………13 分

19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能 力、 推理论证能力及运算求解能力, 考查化归与转化思想、 数形结合思想、 函数与方程思想及应用意识. 满 分 13 分. 解: (Ⅰ)证法一:∵ AA1 ⊥ 面 ABC ,∴ AA1 ⊥ AC , AA1 ⊥ AB . 证法一: ∴ 证法一

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又∵ AA1 = AC ,∴四边形 AA1C1C 是正方形, ∴ AC1 ⊥ A1C . ………1 分

∵ AB ⊥ AC , AB ⊥ AA1 , AA1 , AC ? 平面AA1C1C , AA1 I AC = A , ∴ AB ⊥ 平面AA1C1C . 又∵ AC1 ? 平面AA1C1C , ………2 分 ∴ AB ⊥ AC1 .

………3 分

∵ AB, AC1 ? 平面ABC1 , AB I AC1 = A , ∴ A1C ⊥ 平面ABC1 . ………4 分

证法二:∵ AA1 ⊥ 面 ABC ,∴ AA1 ⊥ AC , AA1 ⊥ AB . 证法二 ∴ 又∵ AB ⊥ AC , ∴分别以 AB, AC , AA1 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. ……1 分 则 A(0, 0, 0), C1 (0,1,1), B (1, 0, 0), C (0,1, 0), A1 (0, 0,1) ,

uuur uuuu r uuu r A1C = (0,1, ?1), AC1 = (0,1,1), AB = (1, 0, 0) ,
∴ A1C ? AC1 = 0, A1C ? AB = 0 , …2 分

z B1 C1 A1 P B y C A(O) x

uuur uuuu r

uuur uuu r

uuur uuuu uuur uuu r r ∴ A1C ⊥ AC1 , A1C ⊥ AB . …3 分
又∵ AB, AC1 ? 平面ABC1 , AB I AC1 = A ∴ A1C ⊥ 平面ABC1 . …4 分

证 法 三 : ∵ AA1 ⊥ 面 ABC , ∴ AA1 ⊥ AC ,

AA1 ⊥ AB .
又∵ AB ⊥ AC , ∴分别以 AB, AC , AA1 所在直线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系. ……1 分 则 A(0, 0, 0), C1 (0,1,1), B (1, 0, 0), C (0,1, 0), A1 (0, 0,1) ,

z B1 C1 A1 P B y x

uuur uuuu r uuu r A1C = (0,1, ?1), AC1 = (0,1,1), AB = (1, 0, 0) .
r 设平面 ABC1 的法向量 n = ( x, y , z ) ,

12

C

A(O)

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r uuuu r ?n ? AC1 = y + z = 0 ?x = 0 ? 则 ? r uuu ,解得 ? . r n ? AB = x = 0 ? y = ?z ? ? r ……3 分 令 z = 1 ,则 n = (0, ?1,1) ,
∵ A1C = ? n , (Ⅱ)∵ AA1

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uuur

r

∴ A1C ⊥ 平面ABC1 .

……4 分

? 平面BB1C1C ,

∴点 P 到平面 BB1C1C 的距离等于点 A 到平面 BB1C1C 的距离
1 1 1 3 ∴ V = VP ? BCC1 = VA? BCC1 = VC1 ? ABC = t 2 (3 ? 2t ) = t 2 ? t 3 (0 < t < ) , 6 2 3 2
V ' = ?t (t ? 1) ,
令 V ' = 0 ,得 t = 0 (舍去)或 t = 1 , 列表,得

…5 分

(0,1) V' V
∴当 t = 1 时, Vmax =
+ 递增

1 0 极大值

3 (1, ) 2
- 递减

1 . 6

…8 分

(Ⅲ)分别以 AB, AC , AA1 所在直线为 x, y, z 轴建立空间直角坐标系.
则 A(0, 0, 0), C1 (0, t ,3 ? 2t ), B (t , 0, 0), C (0, t , 0), A1 (0, 0, 3 ? 2t ) ,

uuur uuuu r uuu r A1C = (0, t , 2t ? 3), AC1 = (0, t ,3 ? 2t ), AB = (t , 0, 0) , uuuu r uuu r CC1 = (0, 0,3 ? 2t ) , BC = (?t , t , 0) .
设平面 ABC1 的法向量 n1 = ( x1 , y1 , z1 ) , ……9 分

ur

ur uuuu r ? x1 = 0 ?n1 ? AC1 = ty1 + (3 ? 2t ) z1 = 0 ? ? 则 ? ur uuu ,解得 ? r 2t ? 3 , ?n1 ? AB = tx1 = 0 ? y1 = t z1 ? ?

z B1 C1 A1 P x

ur 令 z1 = t ,则 n1 = (0, 2t ? 3, t ) . uu r

…10 分

设平面 BCC1 的法向量 n2 = ( x2 , y2 , z2 ) ,

B y C A(O)

uu uuu r r ?n2 ? BC = ?tx2 + ty2 = 0 ? 则 ? uu uuuu . r r ?n2 ? CC1 = (3 ? 2t ) z2 = 0 ?

13

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由于 0 < t <

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? x2 = y2 3 ,所以解得 ? . z2 = 0 2 ?

令 y2 = 1 ,则 n2 = (1,1, 0) .

uu r

…11 分

设二面角 A ? BC1 ? C 的平面角为 θ ,

ur uu r | n1 ? n2 | | 2t ? 3 | 10 uu = r = 则有 | cos θ |= ur . 2 2 10 | n1 | ? | n2 | 2 ? t + (2t ? 3)
化简得 5t ? 16t + 12 = 0 ,解得 t = 2 (舍去)或 t =
2

6 . 5
…13 分

所以当 t =

6 10 时,二面角 A ? BC1 ? C 的平面角的余弦值为 . 5 10

20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力, 考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想.满分 14 分. 解:(Ⅰ) f n ( x ) = ( x + n ) ? e
x

( n ∈ N ).
x

?

……4 分

(Ⅱ)∵ f n′ ( x ) = ( x + n + 1) ? e , ∴当 x > ? ( n + 1) 时, f n′ ( x ) > 0 ;当 x < ? ( n + 1) 时, f n′ ( x ) < 0 . ∴当 x = ? ( n + 1) 时, f n ( x ) 取得极小值 f n ? ( n + 1) = ?e 即 yn = ? e
?( n +1)

(

)

? ( n +1)



( n ∈ N ).

?

……8 分

(Ⅲ) 解法一 解法一:∵ g n ( x ) = ? x + ( n + 1) 又 b = f n ? ( n + 1) = ?e ∴ a ? b = ( n ? 3) + e
2 2

(

) + ( n ? 3)
2

2

,所以 a = g n ( ?( n + 1)) = ( n ? 3) .……9 分
2

(

)

?( n +1)



? ( n +1)


? ( x +1)

令 h ( x ) = ( x ? 3) + e

( x ≥ 0 ) ,则 h′ ( x ) = 2 ( x ? 3) ? e?( x +1) .
?1

……10 分

∵ h′ ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 单调递增,∴ h′ ( x ) ≥ h′ ( 0 ) = ?6 ? e , ∵ h′ ( 3) = ?e
?4

< 0 , h′ ( 4 ) = 2 ? e?5 > 0 ,
……12 分

∴存在 x0 ∈ ( 3, 4 ) 使得 h′ ( x0 ) = 0 . ∵ h′ ( x ) 在 [ 0, +∞ ) 单调递增,

∴当 0 ≤ x < x0 时, h′ ( x0 ) < 0 ;当 x > x0 时, h′ ( x0 ) > 0 ,

14

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即 h ( x ) 在 [ x0 , +∞ ) 单调递增,在 [ 0, x0 ) 单调递减, ∴ h ( x)

(

)

min

= h ( x0 ) ,
?4 ?5

又∵ h ( 3) = e , h ( 4 ) = 1 + e , h ( 4 ) > h ( 3) , ∴当 n = 3 时, a ? b 取得最小值 e . ……14 分 解法二: 解法二 ∵ g n ( x ) = ? x + ( n + 1) 又 b = f n ? ( n + 1) = ?e ∴ a ? b = ( n ? 3) + e
2
?4

(

) + ( n ? 3)
2

2

,所以 a = g n ( ?( n + 1)) = ( n ? 3) .……9 分
2

(

)

?( n +1)



? ( n +1)



令 cn = ( n ? 3) + e
2

? ( n +1)



则 cn +1 ? cn = 2n ? 5 + 当 n ≥ 3 时,

1 e
n+2

?

1 e n +1
,……10 分

cn +1 ? cn = 2n ? 5 + 2n ? 5 + 1 e
n+2

1 e
n+2

?

1 e
n +1

, 又 因 为 n ≥ 3 , 所 以 2n ? 5 ≥ 1 ,

1 e
n+2

>0,0<

1 e n +1

<1 ,所以

> 0 ,所以 cn +1 > cn .……12 分 e n +1 1 1 1 又 c1 = 4 + 2 , c2 = 1 + 3 , c3 = 4 , c1 > c2 > c3 , e e e
?4

?

1

∴当 n = 3 时, a ? b 取得最小值 e . ……14 分 21.(1)选修 4—2:矩阵与变换 本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识,考查运算求解能力及函数与方程思想.满 分 7 分.

? ?2 1 ? ?1 2? ?1 ? ? 解: (Ⅰ)记矩阵 A = ? 1 ? . ……2 分 ? ,故 A = ?2 ,故 A = ? 3 ? ?3 4? ? 2 2? ? ?2 1 ? ? 7 10 ? ?1 ? 7 10 ? ? ? ?1 2 ? . ……3 分 由已知得 M = ? 1?=? ?A =? ?? 3 ? ? ?4 6 ? ?4 6 ? ?1 1 ? ? 2 2?
(Ⅱ)设二阶矩阵 M 所对应的变换为 ?

? x′ ? ?1 2 ?? x ? ? x′ = x + 2 y , ?=? ?? ? ,得 ? ′ ? y′ ? ?1 1 ?? y ? ?y = x + y

解得 ?

? x = ? x′ + 2 y ′ , ? y = x′ ? y ′

……5 分

2 2 2 2 又 3 x + 8 xy + 6 y = 1 , 故 有 3( ? x′ + 2 y ′) + 8( ? x′ + 2 y ′)( x′ ? y′) + 6( x′ ? y ′) = 1 , 化 简 得

15

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x′2 + 2 y′2 = 1 .故所得曲线的方程为 x 2 + 2 y 2 = 1 . ……7 分
(2)选修 4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力以及化归与转化思 想、分类与整合思想.满分 7 分. 解: (Ⅰ)∵ t ≠ 0 ,∴可将曲线 C 的方程化为普通方程:

x2 + y 2 = 4 . ……1 分 2 t

①当 t = ±1 时,曲线 C 为圆心在原点,半径为 2 的圆; ……2 分 ②当 t ≠ ±1 时,曲线 C 为中心在原点的椭圆. ……3 分 (Ⅱ)直线 l 的普通方程为: x ? y + 4 = 0 . ……4 分

x2 2 2 2 2 2 联立直线与曲线的方程,消 y 得 2 + ( x + 4) = 4 ,化简得 (1 + t ) x + 8t x + 12t = 0 . t
若直线 l 与曲线 C 有两个不同的公共点,则 ? = 64t 4 ? 4(1 + t 2 ) ?12t 2 > 0 ,解得 t > 3 .……5 分
2

又 x1 + x2 = ?

8t 2 12t 2 , x1 x2 = , 1+ t2 1+ t2

……6 分

故 OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( x1 + 4)( x2 + 4) = 2 x1 x2 + 4( x1 + x2 ) + 16 = 10 . 解得 t = 3 与 t > 3 相矛盾.
2 2

uuu uuu r r

故不存在满足题意的实数 t .

……7 分

(3)选修 4—5;不等式选讲 本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力以及推理论证能力,考 查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分 7 分.

?2 x ? 6 ( x ≥ 4) ? 解: (Ⅰ)法一: f ( x) = x ? 2 + x ? 4 = ?2 (2 < x < 4) ,……2 分 ??2 x + 6 ( x ≤ 2) ?
可得函数的最小值为 2.故 m = 2 . ……3 分 法二: f ( x) = x ? 2 + x ? 4 ≥ ( x ? 2) ? ( x ? 4) = 2 , ……2 分 当且仅当 2 ≤ x ≤ 4 时,等号成立,故 m = 2 . (Ⅱ)Q [( ……3 分

n2 2 p2 q2 n2 p2 q2 ) + ( )2 + ( ) 2 ] ? (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ ( ? a + ? b + ? c) 2 a b c a b c

……5 分

即: (

n4 p 4 q 4 n4 p4 q4 + 2 + 2 ) × 2 ≥ (n2 + p 2 + q 2 )2 = 4 , 故 2 + 2 + 2 ≥ 2 . a2 b c a b c

……7 分

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