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函数的最大值最小值与导数


平度市第九中学 高二数学组 纪云尚

一、旧知回顾
1. 极值与导数之间的关系

如果f ' ( x0 ) ? 0,并且在x0附近的左侧f ' ( x) ? 0, 右侧 f ' ( x) ? 0, 那么f ( x0 )是极大值; 如果f ' ( x0 ) ? 0,并且 在x0附近的左侧f ' ( x) ? 0, 右侧f ' ( x) ? 0, 那么f ( x0 )是极小值 2.用导数求函数单调区间的步骤

(1)求导数f ' ( x); (2)解方程f ' ( x) ? 0; (3)通过列 表检查f ' ( x)在方程f ' ( x) ? 0的根的左右两侧 的符号,进而确定极值 点与极值。

二、新知讲解
观察图中一个定义在闭区间[a,b]上的函数 f ( x) 的图象.图中 f ( x1 ) 与 f ( x3 ) 是极大值,f ( x2 ) 与 f ( x4 ) 是极小值.函数 f ( x) 在[a,b]上的最大值是 f (b) ,最小 值是 f ( x2 ).

a x1

x2

x3

x4

b

a
b
结论:一般地,在闭区间[a,b]上连续的函数在 y=f(x)上必有最大值与最小值. 注意:(1)在开区间(a,b)上连续的函数在 y=f(x)上不一定有最大值与最小值.例如:反 比例函数

⑵函数的最值是比较整个定义域内的函数 值得出的;函数的极值是比较极值点附近 函数值得出的.
(3)函数在其定义区间上的最大值、最小 值最多各有一个,而函数的极值可能不止 一个,也可能没有一个。 (4)最值可以在端点处取得,而函数的极 值不可能在端点处取得。

三、求最值的步骤: (1)求f (x)在区间(a,b)内极值(极大值 或极小值) (2)将y=f (x)的各极值与f (a)、f (b) 比较,其中最大的一个为最大值,最小 的一个最小值

四、例题讲解
1 例1、求函数f(x)=-x3+12x+6在区间 [ ? ,3] 内 3 的最大值和最小值
解: f ' ( x) ? 12 ? 3x
x y, y
2

令f ' ( x) ? 12 ? 3x ? 0, x1 ? 2, x2 ? ?2(舍)
2

1 ? 3
55 27

1 (? ,2) 3

2

( 2,3)
-

3

+

0
22

15

1 [ ? ,3] 内最大值为22, 故函数f (x) 55在区间 3 最小值为
27

五、反馈练习
1、求函数f(x)=x3-27x在区间[?4,4]内的最大

值和最小值

解:f ' ( x) ? 3x -4

? 27 2 令f ' ( x) ? 3x ? 27 ? 0, x1 ? 3, x2 ? ?3
2

x f’(x)

(-4,-3) +

-3 0

(-3,3) -

3 0

(3,4) +

4

f(x)

44
3

54

-54

-44

f ( x) ? x ? 27x在[?4,4]上的最大值为 54, 最小值为? 54

五、反馈练习
2、求函数f(x)=3x-x3在区间

[2,3] 内的最大
2

值和最小值

f ' ( x ) ? 3 ? 3 x , 令f ' ( x ) ? 3 ? 3 x ? 0
2

解得x1 ? 1(舍) x2 ? ?1(舍)所以f ' ( x) 在x ? [2,3]单调递减。所以 f max ? f (2) ? ?2, f min ? f (3) ? ?18

六、方法总结
求函数最值的思路与一般方法: 一是利用函数性质

二是利用不等式
三是利用导数

六、含参问题
2 3 2 3 设 ? a ? 1,函数f ( x) ? x ? ax ? b, x ? [?1,1] 3 2 6 的最大值是 1,最小值为? ,求常数a, b 2

解:f ' ( x) ? 3x ? 3ax, 令f ' ( x) ? f ' ( x) ? 3x ? 3ax ? 0, x1 ? 0, x2 ? a
2 2

x

-1

(-1,0)

0

(0,a)

a

(a,1)

1

f’(x)

+

0

-

0

+

F(x)

3 ?1? a ? b 2

b

a3 ? ?b 2

3 1? a ? b 2

从上表可知,当 x ? 0时,f ( x)取得极大值,而 f (0) ? f (a ), f (1) ? f (?1),故需比较f (0)与f (1) 3 的大小。因为 f (0) ? f (1) ? a ? 1 ? 0, 所以f ( x) 2 的最大值为f (0) ? b, 所以b ? 1又f (?1) ? f (a) ? 1 2 (a ? 1 )(a ? 2) ? 0所以f ( x)的最小值为f (?1) ? 2 3 3 3 6 6 ? 1 ? a ? b ? ? a所以 ? a ? ? ,a ? 2 2 2 2 3

x 2 ? ax ? b 例2 已知f ( x) ? log 3 x

,x∈(0,+∞).是否存

在实数a、b,使f (x)同时满足下列两个条件:(1) f (x) 在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;(2) f (x)的最小值是1,若存在,求出,若不存在,说明理 由。 x 2 ? ax ? b 解:设g(x)= x
∵f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数
∴g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.

? g ' (1) ? 0 ∴? ? g (1) ? 3

?b ? 1 ? 0 ∴? ?a ? b ? 1 ? 3

?a ? 1 解得 ? ?b ? 1

经检验,a=1,b=1时,f(x)满足题设的两个条件。

例3在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方 形,再把它的边沿虚线折起(如图),做成一个无盖的方 底箱子,箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大 容积是多少? x
x
60

x

x

60

60 ? x 解法一:设箱底边长为xcm,则箱高 h ? 2

cm,

2 3 60 x ? x 2 (0 ? x ? 60) V ( x ) ? x h? 得箱子容积 2 2

令 V ?( x) ? 60 x ? 并求得

3x V ?( x) ? 60 x ? 22

3x =0,解得 x=0(舍去),x=40, 2

V(40)=16 000

由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时, 箱子容积很小,因此,16 000是最大值 答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16 000cm3

60-2x

x
60-2x 60-2x

60

60-2x

x

60

解法二:设箱高为xcm,则箱底长为(60-2x)cm,则得 箱子容积 V ( x) ? (60 ? 2 x) x (0 ? x ? 30) 由题意可知,当 x过小或过大时箱子容积很小, 所以最大值出现在极值点处. 2 3 60 x ? x 事实上,可导函数 V ( x) ? x 2 h ? 、 2 2 V ( x) ? (60 ? 2 x) x 在各自的定义域中都只有一个极
2

值点,从图象角度理解即只有一个波峰,是单峰的,因而 这个极值点就是最值点,不必考虑端点的函数值

例4圆柱形金属饮料罐的容积一定时,它的高与底与半径 应怎样选取,才能使所用的材料最省? 解:设圆柱的高为h,底半径为R,则表面积 S=2π Rh+2π R2

V 由V=π ,则 h? 2 ? R 2V V 2= 2 S(R)= 2π R + 2 π R +2 π R 2 R ?R
R2h,得

2V 令 s?( R) ? ? 2 +4π R=0 R

解得,R=

3

V V h= = = 2 V 2 ?R 3 ?( )
即 h=2R

3

4V

2?

?

=2

3

V

V 2?

,从而

?

因为S(R)只有一个极值,所以它是最小值 答:当罐的高与底直径相等时,所用材料最省

例5已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q, 价格p与产量q的函数关系式为 q为何值时,利润L最大?

1 p ? 25 ? q .求产量 8

分析:利润L等于收入R减去成本C,而收入R等于产量乘价格.由 此可得出利润L与产量q的函数关系式,再用导数求最大利润.

1 ? 1 2 ? 解:收入 R ? q ? p ? q ? 25 ? q ? ? 25q ? q 8 ? 8 ?
利润



(0 ? q ? 100) 1 ? L ? ? q ? 21 4 1 ? q ? 21 ?,求得唯一的极值点 0 q ? 84 L? ? ,即 0 4

1 ? 1 ? L ? R ? C ? ? 25q ? q 2 ? ? (100 ? 4q) ? ? q 2 21q ? 100 8 ? 8 ?

答:产量为84时,利润L最大。

课堂练习 1.下列说法正确的是( D ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值 2. 函数 y = f ( x ) 在区间[ a , b ]上的最大值是 M ,最小值是 m , 若 M=m,则f′(x) ( A ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能

1 4 1 3 1 2 3.函数y= x ? x ? x ,在[-1,1]上的最小值为( A) 4 3 2
A.0 B.-2

4.函数y=
A.

3 3

12 2x ? x 2 的最大值为 ( A ) x ?1 1 3
B.1 C.

C.-1

D. 13

2

D.

2

5.函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最小值是 -15 ___________. ? ? ? 6.函数f(x)=sin2x-x在[- , ]上的最大值为_____ ; 2 2 2 ? ? 2 最小值为_______. 7.将正数a分成两部分,使其立方和为最小,这两部分应分

a a 成______ 2 和___. 2
8.使内接椭圆

2 a 2 b 3 _____ ,宽为_____. R 9.在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为___ 2 时,它的面积最大。

x2 y2 ? 2 =1的矩形面积最大,矩形的长为 2 a b

课堂小结 ⑴函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中:导数等于 零的点,导数不存在的点,区间端点; ⑵函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,是f (x) 在闭区间[a,b]上有 最大值与最小值的充分条件而非必要条件; ⑶闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值;开区间(a,b)内的 可导函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值必是函 数的最值。 (4)根据问题的实际意义来判断函数最值时,如果函数在此区 间上只有一个极值点,那么这个极值就是所求最值,不必再 与端点值比较。 课后作业

知识回顾

1、 用导数法确定函数的单调性时的步骤是: (1)求出函数的导函数 (2)求解不等式f ′(x)>0,求得其解集,

再根据解集写出单调递增区间
(3)求解不等式f ′(x)<0,求得其解集,

再根据解集写出单调递减区间

2、 求可导函数f(x)的极值的步骤:
(1)确定函数的定义区间,求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)检查f ′(x)在方程f ′(x)=0的根的左右的符号, 并根据符号确定极大值与极小值. 口诀:左负右正为极小,左正右负为极大。

3、f ? ? x ? = 0是可导函数 f (x)在x = x 0处取极值的必 要而不充分条件。 4、 f ? ? x ? 在x 0两侧的导数异号是x 0为极值点的充要条件。


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