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广东省惠州市2015届高三上学期第一次调研数学试卷(理科)


广东省惠州市 2015 届高三上学期第一次调研数学试卷(理科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. 1. (5 分)复数 z= A. 的虚部是() B. i C. D.i

2. (5 分)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是

() A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B 3. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数 分别为 900、900、1200 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从 2015 届高三年级抽取的学生人数为() A.15 B.20 C.25 D.30 4. (5 分)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 a3=18﹣a6,则 S8=() A.18 B.36 C.54 D.72 5. (5 分)在二项式 A.﹣10 B.10 的展开式中,含 x 的项的系数是() C.﹣5 D.5
3 4

6. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于()cm .

A.18

B.21

C.24

D.28

7. (5 分)已知 x、y 都是区间内任取的一个实数,则使得 y≤sinx 的取值的概率是() A. B. C. D.

8. (5 分)已知向量 与 的夹角为 θ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量, 它的长度| × |=| || |sinθ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ ) ,则| ×( + )|=()

A.4

B.

C. 6

D.2

二、填空题(本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 25 分) (一) 必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. (5 分)函数 y=log2(3x﹣2)的定义域是. 10. (5 分)以抛物线 y =4x 的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为 2 的双曲线方程是. 11. (5 分)用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有个.
2

12. (5 分)设变量 x,y 满足

,则 z=x+y 的最大值是.

13. (5 分)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)> 2x+4 的解集为.

三.(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)极坐标系中,A,B 分别是直线 ρcosθ﹣ρsinθ+5=0 和圆 ρ=2sinθ 上的动点,则 A, B 两点之间距离的最小值是.

(几何证明选讲选做题) 15.如图,△ OAB 是等腰三角形,P 是底边 AB 延长线上一点,且 PO=3,PA?PB=4,则腰 长 OA=.

三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤. ) 16. (12 分)已知 (Ⅰ)求 tanx 的值; (Ⅱ)求 的值. ,

17. (12 分)去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指 数在 0﹣50 为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年 进行为期一年的空 气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本 数据分组区间为(5,15], (15,25], (25,35], (35,45],由此得到样本的空气质量指数 频率分布直方图,如图. (1)求 a 的值; (2)根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的 频率为 pi,第 i 组区间的中点值为 xi(i=1,2,3,…,n) ,则样本数据的平均值为 =x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn) (3)如果空气质量指数不超过 15,就认定空气质量为“特优等级”,则从这一年的监测数据 中随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

18. (14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1, 且 A A1=AB=2. (1)求证:AB⊥BC; (2)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ,求锐二面角 A﹣A1C﹣B 的大小.

19. (14 分)已知数列{an}中,a1=3,前 n 和 Sn= (n+1) (an+1)﹣1. ①求证:数列{an}是等差数列 ②求数列{an}的通项公式 ③设数列{ }的前 n 项和为 Tn,是否存在实数 M,使得 Tn≤M 对一切正整数 n 都成

立?若存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由.

20. (14 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离

为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 21. (14 分)已知关于 x 的函数 f(x)=﹣ x +bx +cx+bc,其导函数为 f′(x) .令 g(x) =|f′(x)|,记函数 g( x)在区间上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值﹣ ,试确定 b、c 的值: (Ⅱ)若|b|>1,证明对任意的 c,都有 M>2 (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值.
3 2

广东省惠州市 2015 届高三上学期第一次调研数学试卷 (理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项符合题目要求. 1. (5 分)复数 z= A. 的虚部是() B. i C. D.i

考点: 复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: 利用复数的基本概念直接求解. 解答: 解:∵z= ∴它的虚部是 . 故选 C. 点评: 本题考查复数的基本概念,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,注意熟练掌 握基本概念. 2. (5 分)已知集合 A={y|y=|x|﹣1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是() A.﹣3∈A B.3?B C.A∩B=B D.A∪B=B ,

考点: 元素与集合关系的判断. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A,从而找出正确选项. 解答: 解:∵|x|≥0,∴|x|﹣1≥﹣1; ∴A={y|y≥﹣1},又 B={x|x≥2} ∴A∩B={x|x≥2}=B. 故选 C. 点评: 注意描述法所表示集合的元素. 3. (5 分)某学校 2014-2015 学年高一、2014-2015 学年高二、2015 届高三年级的学生人数 分别为 900、900、1200 人,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为 50 的样本,则应从 2015 届高三年级抽取的学生人数为() A.15 B.20 C.25 D.30 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 根据分层抽样的定义即可得到结论. 解答: 解:三个年级的学生人数比例为 3:3:4, 按分层抽样方法,在 2015 届高三年级应该抽取人 数为 人,

故选:B. 点评: 本题主要考查分层抽样的应用, 根据条件确定抽取比例是解决本题的关键, 比较基 础. 4. (5 分)已知等差数列 an 的前 n 项和为 Sn,若 a3=18﹣a6,则 S8=() A.18 B.36 C. 54 D. 72 考点: 等差数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 利用等差数列的性质可得 18=a1+a8,代入等差数列前 8 项和公式 求出 S8 的值. 解答: 解:∵a3=18﹣a6 ,∴a3+a6=18=a1+a8,∴S8 = = =72,

故选 D. 点评: 本题考查等差数列的性质得应用,以及等差数列前 n 项和公式,求出 18=a1+a8, 是解题的关键.
4

5. (5 分)在二项式 A.﹣10 B.10

的展开式中,含 x 的项的系数是() C.﹣5 D.5

考点: 二项式定理.

专题: 二项式定理. 分析: 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项,令 x 的指数为 4 求得. 解答: 解:对于 对于 10﹣3r=4, ∴r=2, 则 x 的项的系数是 C5 (﹣1) =10 故选项为 B 点评: 二项展开式的通项是解决二项展开式的特定项问题的工具. 6. (5 分)若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于()cm .
3 4 2 2



A.18

B.21

C.24

D.28

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 先根据三视图判断几何体的形状,再利用体积公式计算即可. 解答: 解答:解:几何体为三棱柱去掉一个三棱锥后的几何体, 底面是三角形 ABC 直角三角形,直角边分别为 3,4,棱柱的高为 5,被截取的棱锥的高为 3. 如图: V=V 棱柱﹣V 三棱锥= =30﹣6=24(cm )
3

故选:C.

点评: 本题主要考查三视图的应用, 利用三视图还原成空间几何体的直观图是解决此题的 关键,要求熟练掌握空间几何体的体积公式. 7. (5 分)已知 x、y 都是区间内任取的一个实数,则使得 y≤sinx 的取值的概率是() A. B. C. D.

考点: 几何概型;定积分. 专题: 概率与统计. 分析: 根据几何概型的概率公式,结合积分的应用求出对应的面积即可得到结论. 解答: 解:此题为几何概型,事件 A 的度量为函数 y=sinx 的图象在 成的图形的面积, 即 ,则事件 A 的概率为 , 内与 x 轴围

故选 A 点评: 本题主要考查几何概型的概率计算以及利用积分求面积, 要求熟练掌握几何概型的 求解方法.

8. (5 分)已知向量 与 的夹角为 θ,定义 × 为 与 的“向量积”,且 × 是一个向量, 它的长度| × |=| || |sinθ,若 =(2,0) , ﹣ =(1,﹣ A.4 B. C. 6 ) ,则| ×( + )|=() D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算和向量的夹角公式可得 = .再利

用平方关系可得 解答: 解:由题意 则 ∴ =6, , =

,利用新定义即可得出. ,

=2



=2.



=

=

=







得 由定义知

, ,

故选:D. 点评: 本题考查了数量积运算、向量的夹角公式、三角函数的平方关系、新定义,考查了 计算能力,属于基础题. 二、填空题(本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 25 分) (一) 必做题:第 9 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 9. (5 分)函数 y=log2(3x﹣2)的定义域是{x|x> }.

考点: 函数的定义域及其求法. 分析: 对数函数的真数一定要大于 0,即,3x﹣2>0,从而求出 x 的取值范围. 解答: 解:因为 3x﹣2>0,得到 x 故答案为:{x|x> } 点评: 对数函数定义域经常考,注意真数一定要大于 0.

10. (5 分) 以抛物线 y =4x 的焦点为顶点, 顶点为中心, 离心率为 2 的双曲线方程是 x ﹣

2

2

=1.

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先根据抛物线方程求得焦点坐标,进而确定双曲线的顶点,求得双曲线中的 a,根 2 2 2 据离心率进而求 c,最后根据 b =c ﹣a 求得 b,则双曲线的方程可得. 解答: 解:由题可设双曲线的方程为: ∵抛物线 y =4x 中 2p=4, ∴其焦点 F(1,0) , 2 又∴双曲线的一个顶点与抛物线 y =4x 的焦点重合, ∴a=1, 又 e= =2, ∴c=2,故 b =4﹣1=3, ∴双曲线的方程为 x ﹣
2 2 2



=1.

故答案为:x ﹣

2

=1.

点评: 本题主要考查了双曲线的标准方程、 圆锥曲线的共同特征, 解答关键是对于圆锥曲 线的共同特征的理解与应用. 11. (5 分)用数字 1,2,3,4 可以排成没有重复数字的四位偶数,共有 12 个. 考点: 计数原理的应用. 专题: 排列组合. 分析: 偶数即个位数字只能是 2 或 4,利用乘法原理即可得出答案. 解答: 解:偶数即个位数字只能是 2 或 4, 1 3 其它位置任意排放共有 C2 ?A3 =2×3×2×1=12 个 故答案为:12. 点评: 本题主要考查分步乘法计数原理,如何分步是关键.

12. (5 分)设变量 x,y 满足

,则 z=x+y 的最大值是 3.

考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 画出约束条件不是的可行域,判断目标函数经过的点,求出最大值. 解答: 解:由约束条件 画出可行域如图所示, ,可得

则目标函数 z=x+y 在点 A(2,1)取得最大值, 代入得 x+y=3,故 x+y 的最大值为 3. 故答案为:3.

点评: 本题考查线性规划的应用, 画出约束条件的可行域以及找出目标函数经过的点是解 题关键. 13. (5 分)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣1)=2,对任意 x∈R,f′(x)>2,则 f(x)> 2x+4 的解集为(﹣1,+∞) . 考点: 利用导数研究函数的单调性;其他不等式的解法.

专题: 计算题. 分析: 构建函数 F(x)=f(x)﹣(2x+4) ,由 f(﹣1)=2 得出 F(﹣1)的值,求出 F(x) 的导函数,根据 f′(x)>2,得到 F(x)在 R 上为增函数,根据函数的增减性即可得到 F (x)大于 0 的解集,进而得到所求不等式的解集. 解答: 解:设 F(x)=f(x)﹣(2x+4) , 则 F(﹣1)=f(﹣1)﹣(﹣2+4)=2﹣2=0, 又对任意 x∈R,f′(x)>2,所以 F′(x)=f′(x)﹣2>0, 即 F(x)在 R 上单调递增, 则 F(x)>0 的解集为(﹣1,+∞) , 即 f(x)>2x+4 的解集为(﹣1,+∞) . 故答案为: (﹣1,+∞) 点评: 本题考查学生灵活运用函数思想求解不等式,解 题的关键是构建函数,确定函数 的单调性,属于中档题. 三.(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题 的得分. (坐标系与参数方程选做题) 14. (5 分)极坐标系中,A ,B 分别是直线 ρcosθ﹣ρsinθ+5=0 和圆 ρ=2sinθ 上的动点,则 A, B 两点之间距离的最小值是 2 ﹣1. 考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 分别把所给的直线、 圆的极坐标方程化为直角坐标方程, 求出圆心到直线的距离为 d,则 d﹣r 即为所求. 解答: 解:直线 ρcosθ﹣ρsinθ+5=0 的直角坐标方程为 x﹣y+5=0, 圆 ρ=2sinθ 即 ρ =2ρsinθ, 2 2 化为直角坐标方程为 x +(y﹣1) =1,表示以(0,1)为圆心、半径为 1 的圆. 圆心到直线的距离为 d= = , ﹣1.
2

∴A,B 两点之间距离的最小值是 2

故答案为: . 点评: 本题主要考查了把参数方程、 极坐标方程化为直角坐标方程的方法, 考查了点线之 间的距离,属于基础题. (几何证明选讲选做题) 15.如图,△ OAB 是等腰三角形,P 是底边 AB 延长线上一点,且 PO=3,PA?PB=4,则腰 长 OA= .

考点: 相似三角形的性质. 专题: 计算题;立体几何.

分析: 作 OD⊥AP,垂足 D,则 OP ﹣PD =OB ﹣BD ,所以 OP ﹣OB =PD ﹣BD ,进 2 2 一步可得 OP ﹣OB =4,即可得出结论. 2 2 2 2 2 2 2 2 解答: 解:作 OD⊥AP,垂足 D,则 OP ﹣PD =OB ﹣BD ,所以 OP ﹣OB =PD ﹣BD , 2 2 2 2 因为 AD=BD,所以 PD ﹣BD =PD ﹣AD =(PD+AD) (PD﹣AD)=PB?PA=4, 2 2 所以 OP ﹣OB =4, 2 所以 OB =9﹣4=5, 所以 OB= , 所以 OA= . 故答案为: .

2

2

2

2

2

2

2

2

点评: 本题考查等腰三角形的性质,考查勾股定理的运用,属于中档题. 三、解答题: (本大题共 6 小题,满分 80 分.须写出必要的文字说明、证明过程和演算步 骤. ) 16. (12 分)已知 (Ⅰ)求 tanx 的值; (Ⅱ)求 的值. ,

考点: 同角三角函数基本关系的运用;二倍角的正切. 分析: (1)由 可直接求出 tan ,再由二倍角公式可得 tanx 的值.

(2)先对所求式子进行化简,再同时除以 cosx 得到关于 tanx 的关系式得到答案. 解答: 解: (1)由 , ,





(2)原式=

=



由(1)知 cosx﹣sinx≠0, 所以上式= =cotx+1= = .

点评: 本题主要考查同角三角函数的基本关系.这里二倍角公式是考查的重要对象.

17. (12 分)去年 2 月 29 日,我国发布了新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指 数在 0﹣50 为优秀,各类人群可正常活动.惠州市环保局对我市 2014 年进行为期一年的空 气质量监测,得到每天的空气质量指数,从中随机抽取 50 个作为样本进行分析报告,样本 数据分组区间为(5,15], (15,25], (25,35], (35,45],由此得到样本的空气质量指数 频率分布直方图,如图. (1)求 a 的值; (2)根据样本数据,试估计这一年度的空气质量指数的平均值; (注:设样本数据第 i 组的 频率为 pi,第 i 组区间的中点值为 xi(i=1,2,3,…,n) ,则样本数据的平均值为 =x1p1+x2p2+x3p3+…+xnpn) (3)如果空气质量指数不超过 15,就认定空气质量为“特优等级”,则从这一年的监测数据 中随机抽取 3 天的数值,其中达到“特优等级”的天数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

考点 : 离散型随机变量的期望与方差;频率分布直方图;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,由此能求出 a. (2)求出 50 个样本中空气质量指数的平均值,由样本估计总体,可估计这一年度空气质量 指数的平均值. (3)由题意知 ,ξ 的取值为 0,1,2,3,由此能求出 ξ 的

分布列和数学期望. 解答: (1)解:由题意,得(0.02+0.032+a+0.018)×10=1,…(1 分) 解得 a=0.03.…(2 分) (2)解:50 个样本中空气质量指数的平均值为 …(3 分) 由样本估计总体,可估计这一年度空气质量指数的平均值约为 24.6.…(4 分) (3)解:利用样本估计总体, 该年度空气质量指数在(5,15]内为“特优等级”, 且指数达到“特优等级”的概率为 0.2,则 ξ 的取值为 0,1,2,3,…(6 分) , , .…(5 分)

, .…(10 分) ξ P ∴ξ 的分布列为:…(11 分) ∴ (或者 ) . .…(12 分) 0 1 2 3

点评: 本题考查实数值的求法, 考查平均值的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学 期望的求法,解题时要认真审题,注意 频率分布直方图的合理运用. 18. (14 分) 如图, 在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, 平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1, 且 AA1=AB=2. (1)求证:AB⊥BC; (2)若直线 AC 与平面 A1BC 所成的角为 ,求锐二面角 A﹣A1C﹣B 的大小.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1) 取 A1B 的中点 D, 连接 AD, 由已知条件推导出 AD⊥平面 A1BC, 从而 AD⊥BC, 由线面垂直得 AA1⊥BC.由此能证明 AB⊥BC. (2)连接 CD,由已知条件得∠ACD 即为直线 AC 与平面 A1BC 所成的角,∠AED 即为二 面角 A﹣A1C﹣B 的一个平面角,由此能求出二面角 A﹣A1C﹣B 的大小. 解答: (本小题满分 14 分) (1)证明:如右图,取 A1B 的中点 D,连接 AD,…(1 分) 因 AA1=AB,则 AD⊥A1B…(2 分) 由平面 A1BC⊥侧面 A1ABB1, 且平面 A1BC∩侧面 A1ABB1=A1B,…(3 分) 得 AD⊥平面 A1BC,又 BC?平面 A1BC, 所以 AD⊥BC.…(4 分) 因为三棱柱 ABC﹣﹣﹣A1B1C1 是直三棱柱, 则 AA1⊥底面 ABC,

所以 AA1⊥BC. 又 AA1∩AD=A,从而 BC⊥侧面 A1ABB1, 又 AB?侧面 A1ABB1,故 AB⊥BC.…(7 分) (2)解:连接 CD,由(1)可知 AD⊥平面 A1BC, 则 CD 是 AC 在平面 A1BC 内的射影 ∴∠ACD 即为直线 AC 与平面 A1BC 所成的角,则 在等腰直角△ A1AB 中,AA1=AB=2,且点 D 是 A1B 中点 ∴ ,且 , …(8 分)

∴ …(9 分) 过点 A 作 AE⊥A1C 于点 E,连 DE 由(1)知 AD⊥平面 A1BC,则 AD⊥A1C,且 AE∩AD=A ∴∠AED 即为二面角 A﹣A1C﹣B 的一个平面角,…(10 分) 且直角△ A1AC 中: 又 ∴ , ,

且二面角 A﹣A1C﹣B 为锐二面角 ∴ ,即二面角 A﹣A1C﹣B 的大小为 .…(14 分)

点评: 本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,解题时要认真审题,注 意空间思维能力的培养.

19. (14 分)已知数列{an}中,a1=3,前 n 和 Sn= (n+1) (an+1)﹣1. ①求证:数列{an}是等差数列 ②求数列{an}的通项公式

③设数列{

}的前 n 项和为 Tn,是否存在实数 M,使得 Tn≤M 对一切正整数 n 都成

立?若存在,求 M 的最小值,若不存在,试说明理由. 考点: 数列递推式;等差数列的通项公式;等差关系的确定;数列的求和. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: ①由 Sn= (n+1) (an +1)﹣1,得 ,两式相减

后整理可得 nan+1=(n+1)an﹣1(1) ,则(n+1)an+2=(n+2)an+1﹣1(2) ,两式相减整理 后利用等差中项公式可判断; ②由①知,nan+1=(n+1)an﹣1,可求得 a2=2a1﹣1=5,又 a1=3 可求公差,从而可得 an; ③使得 Tn≤M 对一切正整数 n 恒成立,等价于 Tn 的最大值小于等于 M,利用裂项相消法可 求得 Tn,进而可求得其最大值; 解答: 解:①∵Sn= (n+1) (an+1)﹣1, ∴ ∴an+1=Sn+1﹣Sn= 整理得,nan+1=(n+1)an﹣1…(1) ∴(n+1)an+2=(n+2)an+1﹣1…(2) (2)﹣(1) ,得(n+1)an+2﹣nan+1=(n+2)an+1﹣(n+1)an, ∴2(n+1)an+1=(n+1) (an+2+an) , ∴2an+1=an+2+an, ∴数列{an}为等差数列. ②由①知,nan+1=(n+1)an﹣1,得 a2=2a1﹣1=5, 又 a1=3,∴a2﹣a1=2,即公差为 2, an=3+(n﹣1)×2=2n+1; ③∵ ∴ = 又当 n∈N 时,
*

, ,

= (

) ,

, ,

要使得 Tn≤M 对一切正整数 n 恒成立,只要 M≥ , ∴存在实数 M 使得 Tn≤M 对一切正整数 n 都成立,M 的最小值为 . 点评: 本题考查等差关系的确定、 等差数列的通项公式及数列求和, 恒成立问题常转化为 函数最值解决,裂项相消法对数列求和是 2015 届高考考查的重点内容,要熟练掌握.

20. (14 分)椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1)的距离

为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)若直线 l:y=kx+m 与椭圆 C 相交于 A,B 两点(A,B 不是左右顶点) ,且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点.求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (Ⅰ)利用两点间的距离公式可得 c,再利用椭圆的标准方程及其性质即可得出 a, b; (Ⅱ)把直线 l 的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用以 AB 为直径的圆过 椭圆的右顶点 D,可得 kAD?kBD=﹣1,即可得出 m 与 k 的关系,从而得出答案. 解答: 解: (Ⅰ) ∵左焦点 (﹣c, 0) 到点 P (2, 1) 的距离为 解得 c=1. 又 ,解得 a=2,∴b =a ﹣c =3.
2 2 2

, ∴



∴所求椭圆 C 的方程为:



(Ⅱ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,由
2 2 2 2 2

得(3+4k )x +8mkx+4(m ﹣3)=0,
2

2

2

2

△ =64m k ﹣16(3+4k ) (m ﹣3)>0,化为 3+4k >m . ∴ , .

y1y2=(kx1+m) (kx2+m)=

=



∵以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0) ,kA D?kBD=﹣1,∴



∴y1y2+x1x2﹣2(x1+x2)+4=0,∴ 化为 7m +16mk+4k =0,解得 m1=﹣2k,
2 2 2 2





,且满足 3+4k ﹣m >0. 当 m=﹣2k 时,l:y=k(x﹣2) ,直线过定点(2,0)与已知矛盾;

当 m=﹣

时,l:y=k

,直线过定点 .



综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为

点评: 本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、 直线与椭圆相交问题转化为方程联立得 到根与系数的关系、圆的性质、两点间的距离公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理 能力和计算能力,属于难题.
3 2

21. (14 分)已知关于 x 的函数 f(x)=﹣ x +bx +cx+bc,其导函数为 f′(x) .令 g(x) =|f′(x)|,记函数 g(x)在区间上的最大值为 M. (Ⅰ)如果函数 f(x)在 x=1 处有极值﹣ ,试确定 b、c 的值: (Ⅱ)若|b|>1,证明对任意的 c,都有 M>2 (Ⅲ)若 M≧K 对任意的 b、c 恒成立,试求 k 的最大值. 考点: 利用导数研究函数的极值;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 综合题;压轴题;分类讨论.

分析: (Ⅰ)对函数求导,由题意可得

,代入可求 b,c,代入验证,找

出符合条件的值. 2 2 (Ⅱ) (法 1)代入整理 g(x)=||﹣(x﹣b) +b +c|,结合|b|>1 的条件判断函数 f′(x)的 对称轴与区间的位置关系,从而求出该函数在上的最大值 M,则 M≥f′(1) ,M≥f′(﹣1) , 可证 (法 2)利用反证法:假设 M<2,由(1)可知 M 应是 g(﹣1)和 g(1)中较大的一个, 则有 ,代入课产生矛盾.

(Ⅲ) (法 1)M≥k 恒成立?k≤Mmin,转化为求 M 的最小值 当|b|>1,结合(II)讨论 |b|≤1 两只情况讨论,此时 M=max{g(﹣1) ,g(1) ,g(b)},结合条件推理论证. (法 2)仿照法 1,利用二次函数在区间的图象及性质求出 M={g(﹣1) ,g(1) ,g(b)}, 求出 M 的最小值, 解答: (Ⅰ)解:∵f'(x)=﹣x +2bx+c,由 f(x)在 x=1 处有极值
2

可得

解得

,或
2 2

若 b=1,c=﹣1,则 f'(x)=﹣x +2x﹣1=﹣(x﹣1) ≤0,此时 f(x)没有极值; 2 若 b=﹣1,c=3,则 f'(x)=﹣x ﹣2x+3=﹣(x+3) (x﹣1)

当 x 变化时,f(x) ,f'(x)的变化情况如下表: x (﹣∞,﹣3)﹣3 (﹣3,1)1 f'(x)﹣ 0 + 0 f(x) ↘ 极小值﹣12↗ 极大值

(1,+∞) ﹣ ↘

∴当 x=1 时,f(x)有极大值

,故 b=﹣1,c=3 即为所求.
2 2

(Ⅱ)证法 1:g(x)=|f'(x) |=|﹣(x﹣b) +b +c| 当|b|>1 时,函数 y=f'(x)的对称轴 x=b 位于区间之外. ∴f'(x)在上的最值在两端点处取得 故 M 应是 g(﹣1)和 g(1)中较大的一个, ∴2M≥g(1)+g(﹣1)=|﹣1+2b+c|+|﹣1﹣2b+c|≥|4b|>4,即 M>2 证法 2(反证法) :因为|b|>1,所以函数 y=f'(x)的对称轴 x=b 位于区间之外, ∴f'(x)在上的最值在两端点处取得. 故 M 应是 g (﹣1)和 g(1)中较大的一个 假设 M≤2,则 M=maxg{(﹣1) ,g(1) ,g(b)} 将上述两式相加得:4≥|﹣1﹣2b+c|+|﹣1+2b+c|≥4|b|>4,导致矛盾,∴M>2 (Ⅲ)解法 1:g(x)=|f'(x)|=|﹣(x﹣b) +b +c| 2 (1)当|b|>1 时,由(Ⅱ)可知 f'(b)﹣f'(±1)=b(? 1) ≥0; (2)当|b|≤1 时,函数 y=f'(x)的对称轴 x=b 位于区间内, 此时 M=max{g(﹣1) ,g(1) ,g(b)} 由 f'(1)﹣f'(﹣1)=4b,有 f'(b)﹣f'(±1)=b(? 1) ≥0 ①若﹣1≤b≤0,则 f'(1)≤f'(﹣1)≤f'(b) ,∴g(﹣1)≤max{g(1) ,g(b)}, 于是
2 2 2

②若 0<b≤1,则 f'(﹣1)≤f'(1)≤f'(b) ,∴g(1)≤maxg(﹣1) ,g(b) 于是

综上,对任意的 b、c 都有 而当 时, 在区间上的最小值

故 M≥k 对任意的 b、c 恒成立的 k 的最大值为 . 解法 2:g(x)=|f'(x)|=|﹣(x﹣b) +b +c| (1)当|b|>1 时,由(Ⅱ)可知 M>2 (2)当|b|≤1 y=f'(x)时,函数的对称轴 x=b 位于区间内, 此时 M=max{g(﹣1) ,g(1) ,g(b)}
2 2

4M≥g(﹣1)+g(1)+2g(b)=|﹣1﹣2b+c|+|﹣1+2b+c|+2|b +c|≥|﹣1﹣2b+c+(﹣1+2b+c) 2 2 ﹣2(b +c)|=|2b +2|≥2, 即 下同解法 1 点评: 本小题主要考查函数、 函数的导数和不等式等基础知识, 考查综合运用数学知识进 行推理论证的能力和分类类讨论的思想.

2


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