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2014年全国中考数学试卷分类汇编:点、直线与圆的位置关系【含解析】


点直线与圆的位置关系
一、选择题 1. (2014 山东济南,第 13 题,3 分)如图, ⊙O 的半径为 1, ?ABC 是 ⊙O 的内接等边三 角形,点 D,E 在圆上,四边形 BCDE 为矩形,这个矩形的面积是 A E .O B
第 13 题图

D

C

A.2

B. 3

C.

3 2

D.

3 2

【解析】 OA ? 1 ,知 CD ? 1, BC ? 3 ,所以矩形的面积是 3 . 2. (2014?山东淄博,第 11 题 4 分)如图,直线 AB 与⊙ O 相切于点 A,弦 CD∥ AB,E,F 为 圆上的两点,且∠ CDE=∠ ADF.若⊙ O 的半径为,CD=4,则弦 EF 的长为( )

A.

4

B.

2

C. 5 D . 6

考点: 切线的性质. 分析: 首先连接 OA,并反向延长交 CD 于点 H,连接 OC,由直线 AB 与⊙ O 相切于点 A, 弦 CD∥ AB,可求得 OH 的长,然后由勾股定理求得 AC 的长,又由∠ CDE=∠ ADF,可证得 EF=AC,继而求得答案. 解答: 解:连接 OA,并反向延长交 CD 于点 H,连接 OC, ∵ 直线 AB 与⊙ O 相切于点 A, ∴ OA⊥ AB, ∵ 弦 CD∥ AB, ∴ AH⊥ CD, ∴ CH=CD=×4=2, ∵ ⊙ O 的半径为, ∴ OA=OC=, ∴ OH= =,

∴ AH=OA+OH=+=4, ∴ AC= ∵ ∠ CDE=∠ ADF, ∴ = ∴ = , , . =2 .

∴ EF=AC=2 故选 B.

点评: 此题考查了切线的性质、圆周角定理、垂径定理以及勾股定理等知识.此题难度适 中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 3. (2014?四川宜宾,第 8 题,3 分)已知⊙O 的半径 r=3,设圆心 O 到一条直线的距离为 d, 圆上到这条直线的距离为 2 的点的个数为 m,给出下列命题: ①若 d>5,则 m=0;②若 d=5,则 m=1;③若 1<d<5,则 m=3;④若 d=1,则 m=2;⑤若 d <1,则 m=4. 其中正确命题的个数是( ) A.1 B.2 C.4 D.5

考点: 分析:

直线与圆的位置关系;命题与定理. 根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数结合答案分析即 可得到答案.

解答:

解:①若 d>5 时,直线与圆相离,则 m=0,正确; ②若 d=5 时,直线与圆相切,则 m=1,故正确; ③若 1<d<5,则 m=3,正确; ④若 d=1 时,直线与圆相交,则 m=2 正确; ⑤若 d<1 时,直线与圆相交,则 m=2,故错误. 故选 C.

点评:

考查了直线与圆的位置关系, 解题的关键是了解直线与圆的位置关

系与 d 与 r 的数量关系. 4.(2014?四川内江,第 10 题,3 分)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,以 斜边 AB 上的一点 O 为圆心所作的半圆分别与 AC、BC 相切于点 D、E,则 AD 为( )

A.2.5

B.1.6

C.1.5

D. 1

考点:切线的性质;相似三角形的判定与性质. 分析:连接 OD、OE,先设 AD=x,再证明四边形 ODCE 是矩形,可得出 OD=CE,OE=CD, 从而得出 CD=CE=4﹣x,BE=6﹣(4﹣x) ,可证明△AOD∽OBE,再由比例式得出 AD 的长即可. 解答:解:连接 OD、OE, 设 AD=x, ∵半圆分别与 AC、BC 相切, ∴∠CDO=∠CEO=90°, ∵∠C=90°, ∴四边形 ODCE 是矩形, ∴OD=CE,OE=CD, ∴CD=CE=4﹣x,BE=6﹣(4﹣x)=x+2, ∵∠AOD+∠A=90°,∠AOD+∠BOE=90°, ∴∠A=∠BOE, ∴△AOD∽OBE, ∴ ∴ = = , ,

解得 x=1.6, 故选 B.

点评:本题考查了切线的性质.相似三角形的性质与判定,运用切线的性质来进行计算或论 证,常通过作辅助线连接圆心和切点,利用垂直构造直角三角形,证明三角形相似解 决有关问题. 5.(2014?甘肃白银、临夏),第 7 题 3 分)已知⊙O 的半径是 6cm,点 O 到同一平面内直线 l 的距离为 5cm,则直线 l 与⊙O 的位置关系是( )

A.相交

B.相切

C.相离

D.无法判断

考点: 直线与圆的位置关系. 分析: 设圆的半径为 r,点 O 到直线 l 的距离为 d,若 d<r,则直线与圆相交;若 d=r,则直 线于圆相切;若 d>r,则直线与圆相离,从而得出答案. 解答: 解:设圆的半径为 r,点 O 到直线 l 的距离为 d, ∵d=5,r=6, ∴d<r, ∴直线 l 与圆相交. 故选 A. 点评: 本题考查的是直线与圆的位置关系,解决此类问题可通过比较圆心到直线距离 d 与圆 半径大小关系完成判定.

3. 4. 5. 6. 7. 8. 二、填空题 1. (2014?江苏苏州,第 18 题 3 分)如图,直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A,P 是⊙O 上 的一个动点(不与点 A 重合) ,过点 P 作 PB⊥l,垂足为 B,连接 PA.设 PA=x,PB=y,则 (x﹣y)的最大值是 2 .

考点: 切线的性质 分析: 作直径 AC,连接 CP,得出△APC∽△PBA,利用
2 2 2

=

,得出 y=x ,所以 x﹣y=x

2

﹣x =﹣x +x=﹣(x﹣4) +2,当 x=4 时,x﹣y 有最大值是 2. 解答: 解:如图,作直径 AC,连接 CP,

∴∠CPA=90°, ∵AB 是切线, ∴CA⊥AB, ∵PB⊥l, ∴AC∥PB, ∴∠CAP=∠APB, ∴△APC∽△PBA, ∴ = ,

∵PA=x,PB=y,半径为 4 ∴=, ∴y=x , 2 2 2 ∴x﹣y=x﹣x =﹣x +x=﹣(x﹣4) +2, 当 x=4 时,x﹣y 有最大值是 2, 故答案为:2. 点评: 此题考查了切线的性质,平行线的性质,相似三角形的判定与性质,以及二次函数的 性质,熟练掌握性质及定理是解本题的关键. 2.(2014?四川宜宾,第 15 题,3 分)如图,已知 AB 为⊙O 的直径,AB=2,AD 和 BE 是圆 O 的两条切线,A、B 为切点,过圆上一点 C 作⊙O 的切线 CF,分别交 AD、BE 于点 M、N, 连接 AC、CB,若∠ABC=30° ,则 AM= .
2

考点: 专题: 分析:

切线的性质 计算题. 连接 OM,OC,由 OB=OC,且∠ABC 的度数求出∠BCO 的度数,利用外 角性质求出∠AOC 度数,利用切线长定理得到 MA=AC,利用 HL 得到三

角形 AOM 与三角形 COM 全等, 利用全等三角形对应角相等得到 OM 为角 平分线,求出∠AOM 为 30° ,在直角三角形 AOM 值,利用锐角三角函数 定义即可求出 AM 的长. 解答: 解:连接 OM,OC, ∵OB=OC,且∠ABC=30° , ∴∠BCO=∠ABC=30° , ∵∠AOC 为△BOC 的外角, ∴∠AOC=2∠ABC=60° , ∵MA,MC 分别为圆 O 的切线, ∴MA=MC,且∠MAO=∠MCO=90° , 在 Rt△AOM 和 Rt△COM 中, , ∴Rt△AOM≌Rt△COM(HL), ∴∠AOM=∠COM=∠AOC=30° , 在 Rt△AOM 中,OA=AB=1,∠AOM=30° , ∴tan30° = 解得:AM= 故答案为: ,即 . = ,

点评:

此题考查了切线的性质,锐角三角函数定义,外角性质,以及等腰三角形 的性质,熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

3. 4. 5. 6.

7. 8. 三、解答题 1. (2014?四川巴中,第 29 题 10 分)如图,已知在△ABC 中,AD 是 BC 边上的中线,以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D, 过 D 作 MN⊥AC 于点 M, 交 AB 的延长线于点 N, 过点 B 作 BG⊥MN 于 G. (1)求证:△BGD∽△DMA; (2)求证:直线 MN 是⊙O 的切线.

考点:相似三角形的判定,切线的性质. 分析:(1)根据垂直定义得出∠BGD=∠DMA=90° ,由圆周角定理、三角形内角和定理、 对顶角性质及等角的余角相等得出∠DBG=∠ADM, 再根据两角对应相等的两三角形相似 即可证明△BGD∽△DMA; (2)连结 OD.由三角形中位线的性质得出 OD∥AC,根据垂直于同一直线的两直线平 行得出 AC∥BG,由平行公理推论得到 OD∥BG,再由 BG⊥MN,可得 OD⊥MN,然后 根据切线的判定定理即可证明直线 MN 是⊙O 的切线. 解答:证明: (1)∵MN⊥AC 于点 M,BG⊥MN 于 G, ∴∠BGD=∠DMA=90° . ∵以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D,∴AD⊥BC,∠ADC=90° , ∴∠ADM+∠CDM=90° , ∵∠DBG+∠BDG=90° ,∠CDM=∠BDG, ∴∠DBG=∠ADM. 在△BGD 与△DMA 中, (2)连结 OD.∵BO=OA,BD=DC, ∴OD 是△ABC 的中位线,∴OD∥AC.∵MN⊥AC,BG⊥MN, ∴AC∥BG,∴OD∥BG,∵BG⊥MN,∴OD⊥MN, ,∴△BGD∽△DMA;

∴直线 MN 是⊙O 的切线. 点评:本题主要考查了切线的判定,相似三角形的判定.要证某线是圆的切线,已知此 线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径) ,再证垂直即可. 2. (2014?山东威海,第 23 题 10 分)如图,在△ ABC 中,∠ C=90° ,∠ ABC 的平分线交 AC 于点 E,过点 E 作 BE 的垂线交 AB 于点 F,⊙ O 是△ BEF 的外接圆. (1)求证:AC 是⊙ O 的切线. (2)过点 E 作 EH⊥ AB 于点 H,求证:CD=HF.

考点: 专题: 分析:

切线的判定 证明题. (1)连接 OE,由于 BE 是角平分线,则有∠ CBE=∠ OBE;而 OB=OE,就有 ∠ OBE=∠ OEB,等量代换有∠ OEB=∠ CBE,那么利用内错角相等,两直线平行,可 得 OE∥ BC;又∠ C=90° ,所以∠ AEO=90° ,即 AC 是⊙ O 的切线; (2)连结 DE,先根据 AAS 证明△ CDE≌ △ HFE,再由全等三角形的对应边相等即 可得出 CD=HF. 证明:(1)连接 OE. ∵ BE 平分∠ ABC, ∴ ∠ CBE=∠ OBE, ∵ OB=OE, ∴ ∠ OBE=∠ OEB, ∴ ∠ OEB=∠ CBE, ∴ OE∥ BC, ∴ ∠ AEO=∠ C=90° , ∴ AC 是⊙ O 的切线; (2)如图,连结 DE. ∵ ∠ CBE=∠ OBE,EC⊥ BC 于 C,EH⊥ AB 于 H, ∴ EC=EH. ∵ ∠ CDE+∠ BDE=180° ,∠ HFE+∠ BDE=180° , ∴ ∠ CDE=∠ HFE. 在△ CDE 与△ HFE 中, , ∴ △ CDE≌ △ HFE(AAS), ∴ CD=HF.

解答:

点评:

本题主要考查了切线的判定,全等三角形的判定与性质.要证某线是圆的切线, 已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.

3. (2014?山东枣庄,第 23 题 8 分)如图,A 为⊙ O 外一点,AB 切⊙ O 于点 B,AO 交⊙ O 于 C,CD⊥ OB 于 E,交⊙ O 于点 D,连接 OD.若 AB=12,AC=8. (1)求 OD 的长; (2)求 CD 的长.

考点: 专题: 分析:

切线的性质 计算题. (1)设⊙ O 的半径为 R,根据切线定理得 OB⊥ AB,则在 Rt△ ABO 中,利 2 2 2 用勾股定理得到 R +12 =(R+8) ,解得 R=5,即 OD 的长为 5; (2)根据垂径定理由 CD⊥ OB 得 DE=CE,再证明△ OEC∽ △ OBA,利用相 似比可计算出 CE= ,所以 CD=2CE= .

解答:

解:(1)设⊙ O 的半径为 R, ∵ AB 切⊙ O 于点 B, ∴ OB⊥ AB, 在 Rt△ ABO 中,OB=R,AO=OC+AC=R+8,AB=12, ∵ OB2+AB2=OA2, ∴ R2+122=(R+8)2,解得 R=5, ∴ OD 的长为 5; (2)∵ CD⊥ OB, ∴ DE=CE, 而 OB⊥ AB, ∴ CE∥ AB, ∴ △ OEC∽ △ OBA, ∴ = ,即 , = ,

∴ CE=

∴ CD=2CE= 点评:



本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了勾股 定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质.

4. (2014?山东潍坊,第 20 题 10 分)如图,在梯形 ABCD 中,AD∥ BC,∠ B=900,以 AB 为 直径作⊙ O,恰与另一腰 CD 相切于点 E,连接 OD、OC、BE. (1)求证:OD∥ BE; (2)若梯形 ABCD 的面积是 48,设 OD=x,OC=y,且 x+y=14, 求 CD 的长.

考点:全等三角形、直角三角形、勾股定理;直线与圆的位置关系. 分析: (1)连接 OE, 证明 Rt△ OAD≌ Rt△ OED 可得∠ AOD=∠ ABE,从而 OD∥ BE; (2)证明△ COD 是直角三角形,根据梯形 ABCD 的面积是 48 求出 xy=48,结合 x+y=14 可求 出 x2+y2 的值,从而可得 CD 的长 解答:(1)证明:连接 OE, ∵ CD 是⊙ O 的切线, ∴ OE⊥ CD, 在 Rt△ OAD 和 Rt△ OED 中,OA=OE, OD=OD, ∴ Rt△ OADcR≌ t△ OED, ∴ ∠ AOD=∠ EOD= 在⊙ O 中,ABE=

1 ∠ AOE, 2
∴ OD∥ BE

1 ∠ AOE, 2

∴ ∠ AOD=∠ ABE,

(2)同理可证:Rt△ COE≌ Rt△ COB.∴ ∠ COE=∠ COB=

1 ∠ BOE, 2

∴ ∠ DOE+∠ COE=900,∴ △ COD 是直角三角形, ∵ S△ DEO=S△ DAO, S△ COE=S△ COB, ∴ S 梯形 ABCD =2(S△ DOE+S△ COE)=2S△ COD=OC· OD=48,即 xy=48, 2 2 2 2 又∵ x+y= 14,∴ x +y =(x+y) -2xy=14 -2× 48=100, 在 Rt△ COD 中, CD ? 即 CD 的长为 10. 点评:本题主要考查的是三角形全等、直角三角形、勾股定理; 、直线与圆的位置关系. 5.(2014?江西抚州,第 22 题,9 分)如图,在平面直角坐标系中,⊙ P 经过 x 轴上一点 C , 与 y 轴分别交于 A 、 B 两点,连接 AP 并延长分别交⊙ P 、 x 轴于点 D 、 E ,连接 DC 并 延长交 y 轴于点 F ,若点 F 的坐标为(0 ,1),点 D 的坐标为(6 ,-1). ⑴ 求证: DC ? FC ⑵ 判断⊙ P 与 x 轴的位置关系,并说明理由. ⑶ 求直线 AD 的解析式.

OC 2 ? OD 2 ?

x 2 ? y 2 ? 100 ? 10

解析:(1)如图 1,

作 DH⊥

x 轴于点 H,
∵F(0,1),D(6,-1) ∴OF=DH=1, 在⊿OCF 和⊿HCD 中,

??FCO ? ?DCO ? ??FOC ? ?DHC ? 90? ?OF ? DH ?
∴⊿OCF≌⊿HCD(AAS), (2)如图 2, DC=FC.

⊙P 与

x 轴相切.
连接 PC, ∵DC=FC, PD=PA, ∴CP 是⊿DFA 的中位线, ∴PC∥ ∴PC⊥

y 轴,

x轴

, 又 C 是⊙P 与

x 轴的交点



∴⊙P 切 (3)如图 3,

x 轴于点 C.

作 PG⊥

y 轴于点 G,
由(1)知:C(3,0), 由(2)知:AF=2PC, 设⊙P 的半径为 r , 2 2 2 则: (r-1) +3 =r , ∴r=5, ∴A(0,-9); 设直线 AD 的解析式为 把 D(6,-1)代入得: a

y ? ax ? 9 ,
? 4 3
y?


∴直线 AD 的解析式为:

4 x?9 3

6. (2014 山东济南,第 23 题,7 分) (本小题满分 7 分) E 是 AD 的中点,求证: EB ? EC . (2)如图,AB 与 ⊙O 相切于 C, ?A ? ?B , ⊙O 的半径为 6,AB=16,求 OA 的长.

O

A

C
第 23 题(2)图

B

【解析】在 ?OAB 中,? ?A ? ?B,?OA ? OB , 连接 OC ,则有 OC ? AB, OC ? 6, AC ? BC ? 8 , 所以 OA ? OC ? AC ? 6 ? 8 ? 10 .
2 2 2 2

7. (2014?山东聊城,第 24 题,10 分)如图,AB,AC 分别是半⊙O 的直径和弦,OD⊥AC 于点 D,过点 A 作半⊙O 的切线 AP,AP 与 OD 的延长线交于点 P.连接 PC 并延长与 AB 的延长线交于点 F. (1)求证:PC 是半⊙O 的切线; (2)若∠CAB=30°,AB=10,求线段 BF 的长.

考点: 切线的判定与性质. 分析: (1)连接 OC,可以证得△OAP≌△OCP,利用全等三角形的对应角相等,以及切线 的性质定理可以得到:∠OCP=90°,即 OC⊥PC,即可证得; (2)依据切线的性质定理可知 OC⊥PE,然后通过解直角三角函数,求得 OF 的值, 再减去圆的半径即可. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵OD⊥AC,OD 经过圆心 O, ∴AD=CD, ∴PA=PC, 在△OAP 和△OCP 中, , ∴△OAP≌△OCP(SSS) , ∴∠OCP=∠OAP ∵PA 是⊙O 的切线,

∴∠OAP=90°. ∴∠OCP=90°,即 OC⊥PC ∴PC 是⊙O 的切线. (2)解:∵AB 是直径,∴∠ACB=90°, ∵∠CAB=30°, ∴∠COF=60°, ∵PC 是⊙O 的切线,AB=10, ∴OC⊥PF,OC=OB=AB=5, ∴OF= = =10,

∴BF=OF﹣OB=5,

点评: 本题考查了切线的性质定理以及判定定理,以及直角三角形三角函数的应用,证明圆 的切线的问题常用的思路是根据切线的判定定理转化成证明垂直的问题. 8. (2014?浙江杭州,第 21 题,10 分)在直角坐标系中,设 x 轴为直线 l,函数 y=﹣ x, y= x 的图象分别是直线 l1,l2,圆 P(以点 P 为圆心,1 为半径)与直线 l,l1,l2 中的两条 相切.例如( ,1)是其中一个圆 P 的圆心坐标. (1)写出其余满足条件的圆 P 的圆心坐标; (2)在图中标出所有圆心,并用线段依次连接各圆心,求所得几何图形的周长.

考点: 圆的综合题;切线长定理;轴对称图形;特殊角的三角函数值. 专题: 计算题;作图题. 分析: (1)对圆 P 与直线 l 和 l2 都相切、圆 P 与直线 l 和 l1 都相切、圆 P 与直线 l1 和 l2 都相 切三种情况分别考虑,利用切线长定理和特殊角的三角函数值即可求出点 P 的坐标. (2) 由图可知: 该几何图形既轴对称图形, 又是中心对称图形, 它的所有的边都相等. 只 需求出其中的一条边就可以求出它的周长.

解答: 解: (1)①若圆 P 与直线 l 和 l2 都相切, 当点 P 在第四象限时, 过点 P 作 PH⊥x 轴,垂足为 H,连接 OP,如图 1 所示. 设 y= x 的图象与 x 轴的夹角为 α. 当 x=1 时,y= . ∴tanα= . ∴α=60°. ∴由切线长定理得:∠POH=(180°﹣60°)=60°. ∵PH=1, ∴tan∠POH= ∴OH= . ,﹣1) . = = .

∴点 P 的坐标为( 同理可得:

当点 P 在第二象限时,点 P 的坐标为(﹣

,1) ;

当点 P 在第三象限时,点 P 的坐标为(﹣ ,﹣1) ; ②若圆 P 与直线 l 和 l1 都相切,如图 2 所示. 同理可得:当点 P 在第一象限时,点 P 的坐标为( 当点 P 在第二象限时,点 P 的坐标为(﹣ 当点 P 在第三象限时,点 P 的坐标为(﹣ ,1) ; ,﹣1) ; ,1) ;

当点 P 在第四象限时,点 P 的坐标为( ,﹣1) . ③若圆 P 与直线 l1 和 l2 都相切,如图 3 所示. 同理可得: 当点 P 在 x 轴的正半轴上时,点 P 的坐标为( 当点 P 在 x 轴的负半轴上时,点 P 的坐标为(﹣ ,0) ; ,0) ;

当点 P 在 y 轴的正半轴上时,点 P 的坐标为(0,2) ; 当点 P 在 y 轴的负半轴上时,点 P 的坐标为(0,﹣2) . 综上所述:其余满足条件的圆 P 的圆心坐标有: ( ( ( ,﹣1) 、 (﹣ ,1) 、 (﹣ ,0) 、 (﹣ ,1) 、 (﹣ ,1) 、 (﹣ ,﹣1) 、 ,﹣1) 、 ( ,﹣1) 、

,0) 、 (0,2) 、 (0,﹣2) .

(2)用线段依次连接各圆心,所得几何图形,如图 4 所示. 由图可知:该几何图形既轴对称图形,又是中心对称图形,

由对称性可得:该几何图形的所有的边都相等. ∴该图形的周长=12×( ﹣ )=8 .

点评: 本题考查了切线长定理、特殊角的三角函数值、对称性等知识,考查了作图的能力, 培养了学生的审美意识,是一道好题. 9. (2014 年贵州黔东南 21. (12 分))已知:AB 是⊙ O 的直径,直线 CP 切⊙ O 于点 C,过点 B 作 BD⊥ CP 于 D. (1)求证:△ ACB∽ △ CDB; (2)若⊙ O 的半径为 1,∠ BCP=30°,求图中阴影部分的面积.

考点: 切线的性质;扇形面积的计算;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)由 CP 是⊙ O 的切线,得出∠ BCD=∠ BAC,AB 是直径,得出∠ ACB=90°,所以 ∠ ACB=∠ CDB=90°,得出结论△ ACB∽ △ CDB; (2)求出△ OCB 是正三角形,阴影部分的面积=S 扇形 OCB﹣S△OCB=π﹣ 解答: (1)证明:∵ 直线 CP 是⊙ O 的切线, ∴ ∠ BCD=∠ BAC, ∵ AB 是直径, ∴ ∠ ACB=90°, 又∵ BD⊥ CP ∴ ∠ CDB=90°, ∴ ∠ ACB=∠ CDB=90° ∴ △ ACB∽ △ CDB; (2)解:如图,连接 OC, .

∵ 直线 CP 是⊙ O 的切线,∠ BCP=30°, ∴ ∠ COB=2∠ BCP=60°, ∴ △ OCB 是正三角形, ∵ ⊙ O 的半径为 1, ∴ S△OCB= ,S 扇形 OCB= =π, .

∴ 阴影部分的面积=S 扇形 OCB﹣S△OCB=π﹣

点评: 本题主要考查了切线的性质及扇形面积,三角形的面积,解题的关键是利用弦切角 找角的关系. 10. (2014?遵义 26. (12 分) ) 如图, 直角梯形 ABCD 中, AB∥CD, ∠DAB=90°, 且∠ABC=60°, AB=BC,△ACD 的外接圆⊙O 交 BC 于 E 点,连接 DE 并延长,交 AC 于 P 点,交 AB 延长 线于 F. (1)求证:CF=DB; (2)当 AD= 时,试求 E 点到 CF 的距离.

考点: 圆的综合题 专题: 综合题. 分析: (1)连结 AE,由∠ABC=60°,AB=BC 可判断△ABC 为等边三角形,由 AB∥CD, ∠DAB=90°得∠ADC=∠DAB=90°,则根据圆周角定理可得到 AC 为⊙O 的直径,则∠ AEC=90°,即 AE⊥BC,根据等边三角形的性质得 BE=CE,再证明△DCE≌△FBE, 得到 DE=FE,于是可判断四边形 BDCF 为平行四边形,根据平行四边形的性质得 CF=DB; (2)作 EH⊥CF 于 H,由△ABC 为等边三角形得∠BAC=60°,则∠DAC=30°,在 Rt △ADC 中,根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 DC= AD=1,AC=2CD=2,

则 AB=AC=2,BF=CD=1,AF=3,然后利用勾股定理计算出 BD= ,DF=2 ,所以 CF=BD= ,EF=DF= ,接着根据等边三角形的性质由 AE⊥BC 得∠CAE=∠ BAE=30°,根据圆周角定理得∠EDC=∠CAE=30°,而∠DCA=∠BAC=60°,得到∠ DPC=90°,在 Rt△DPC 中,根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 PC=DC=, 再证明 Rt△FHE∽Rt△FPC,利用相似比可计算出 EH. 解答: (1)证明:连结 AE,如图,

∵∠ABC=60°,AB=BC, ∴△ABC 为等边三角形, ∵AB∥CD,∠DAB=90°, ∴∠ADC=∠DAB=90°, ∴AC 为⊙O 的直径, ∴∠AEC=90°,即 AE⊥BC, ∴BE=CE, CD∥BF, ∴∠DCE=∠FBF, 在△DCE 和△FBE 中, , ∴△DCE≌△FBE(ASA) , ∴DE=FE, ∴四边形 BDCF 为平行四边形, ∴CF=DB; (2)解:作 EH⊥CF 于 H,如图, ∵△ABC 为等边三角形, ∴∠BAC=60°, ∴∠DAC=30°, 在 Rt△ADC 中,AD= , ∴DC= AD=1,AC=2CD=2,

∴AB=AC=2,BF=CD=1, ∴AF=3, 在 Rt△ABD 中,BD= 在 Rt△ADF 中,DF= = =2 , ,

∴CF=BD= ,EF=DF= , ∵AE⊥BC, ∴∠CAE=∠BAE=30°, ∴∠EDC=∠CAE=30°, 而∠DCA=∠BAC=60°, ∴∠DPC=90°, 在 Rt△DPC 中,DC=1,∠CDP=30°, ∴PC=DC=, ∵∠HFE=∠PFC, ∴Rt△FHE∽Rt△FPC, ∴ = ,即 = ,

∴EH=

, .

即 E 点到 CF 的距离为

点评: 本题考查了圆的综合题:熟练掌握圆周角定理、等边三角形的性质和平行四边形的判 定与性质;会运用三角形全等的知识解决线段相等的问题;会运用勾股定理和相似比 进行几何计算. 11.(2014?十堰 24. (10 分) )如图 1,AB 为半圆的直径,O 为圆心,C 为圆弧上一点,AD 垂直于过 C 点的切线,垂足为 D,AB 的延长线交直线 CD 于点 E. (1)求证:AC 平分∠DAB; (2)若 AB=4,B 为 OE 的中点,CF⊥AB,垂足为点 F,求 CF 的长; (3)如图 2,连接 OD 交 AC 于点 G,若 =,求 sin∠E 的值.

考点:圆的综合题. 专题:计算题. 分析:(1)连结 OC,如图 1,根据切线的性质得 OC⊥DE,而 AD⊥DE,根据平行线的性 质得 OC∥AD,所以∠2=∠3,加上∠1=∠3,则∠1=∠2,所以 AC 平分∠DAB; (2)如图 1,由 B 为 OE 的中点,AB 为直径得到 OB=BE=2,OC=2,在 Rt△OCE 中, 由于 OE=2OC,根据含 30 度的直角三角形三边的关系得∠OEC=30°,则∠COE=60°, 由 CF⊥AB 得∠OFC=90°,所以∠OCF=30°,再根据含 30 度的直角三角形三边的关系 得 OF=OC=1,CF= OF= ; (3)连结 OC,如图 2,先证明△OCG∽△DAG,利用相似的性质得 明△ECO∽△EDA,利用相似比得到 = = =,再证

=,设⊙O 的半径为 R,OE=x,代入求得

OE=3R;最后在 Rt△OCE 中,根据正弦的定义求解. 解答:(1)证明:连结 OC,如图 1, ∵DE 与⊙O 切于点 C, ∴OC⊥DE,

∵AD⊥DE, ∴OC∥AD, ∴∠2=∠3, ∵OA=OC, ∴∠1=∠3, ∴∠1=∠2, 即 AC 平分∠DAB; (2)解:如图 1, ∵直径 AB=4,B 为 OE 的中点, ∴OB=BE=2,OC=2, 在 Rt△OCE 中,OE=2OC, ∴∠OEC=30°, ∴∠COE=60°, ∵CF⊥AB, ∴∠OFC=90°, ∴∠OCF=30°, ∴OF=OC=1, CF= OF= ; (3)解:连结 OC,如图 2, ∵OC∥AD, ∴△OCG∽△DAG, ∴ = =,

∵OC∥AD, ∴△ECO∽△EDA, ∴ = =,

设⊙O 的半径为 R,OE=x, ∴ =,

解得 OE=3R, 在 Rt△OCE 中,sin∠E= = =.

点评:本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的性质、平行线的性质和锐角三角函数的定义; 会根据含 30 度的直角三角形三边的关系和相似比进行几何计算. 12.(2014?娄底 25. (8 分) )如图,在⊙O 中,AB,CD 是直径,BE 是切线,B 为切点,连 接 AD,BC,BD. (1)求证:△ABD≌△CDB; (2)若∠DBE=37°,求∠ADC 的度数.

考点:切线的性质;全等三角形的判定与性质 分析:(1)根据 AB,CD 是直径,可得出∠ADB=∠CBD=90°,再根据 HL 定理得出△ABD ≌△CDB; (2)由 BE 是切线,得 AB⊥BE,根据∠DBE=37°,得∠BAD,由 OA=OD,得出∠ ADC 的度数. 解答:(1)证明:∵AB,CD 是直径, ∴∠ADB=∠CBD=90°, 在△ABD 和△CDB 中, , ∴△ABD 和△CDB(HL) ; (2)解:∵BE 是切线, ∴AB⊥BE, ∴∠ABE=90°, ∵∠DBE=37°, ∴∠ABD=53°, ∵OA=OD, ∴∠BAD=∠ODA=90°﹣53°=37°, ∴∠ADC 的度数为 37°. 点评:本题考查了切线的性质以及全等三角形的判定和性质,是基础题,难度不大.

13.(2014 年湖北咸宁 21. (9 分))如图,已知 AB 是⊙ O 的直径,直线 CD 与⊙ O 相切于点 C, AD⊥ CD 于点 D. (1)求证:AC 平分∠ DAB; (2)若点 E 为 的中点,AD= ,AC=8,求 AB 和 CE 的长.

考点: 切线的性质. 分析: (1)首先连接 OC,由直线 CD 与⊙ O 相切于点 C,AD⊥ CD,易证得 OC∥ AD,继而 可得 AC 平分∠ DAB; (2) 首先连接 BC, OE, 过点 A 作 AF⊥ BC 于点 F, 可证得△ ADC∽ △ ACB, △ ACB∽ △ AFE, △ ACF 是等腰直角三角形,然后由相似三角形的对应边成比例以及勾股定理,即可求得答案. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵ 直线 CD 与⊙ O 相切于点 C, ∴ OC⊥ CD, ∵ AD⊥ CD, ∴ OC∥ AD, ∴ ∠ DAC=∠ OCA, ∵ OA=OC, ∴ ∠ OCA=∠ OAC, ∴ ∠ OAC=∠ DAC, 即 AC 平分∠ DAB; (2)连接 BC,OE,过点 A 作 AF⊥ BC 于点 F, ∵ AB 是⊙ O 的直径, ∴ ∠ ACB=90°, ∴ ∠ ACB=∠ ADC, ∵ ∠ DAC=∠ BAC, ∴ △ ADC∽ △ ACB, ∴ ,





解得:AB=10, ∴ BC= =6,

∵ 点E为

的中点,

∴ ∠ AOE=90°, ∴ OE=OA=AB=5, ∴ AE= =5 ,

∵ ∠ AEF=∠ B,∠ AFE=∠ ACB=90°, ∴ △ ACB∽ △ AFE, ∴ ∴ , ,

∴ AF=4 ,EF=3 , ∵ ∠ ACF=∠ AOE=45°, ∴ △ ACF 是等腰直角三角形, ∴ CF=AF=4 , ∴ CE=CF+EF=7 .

点评: 此题考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形 性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用. 14.(( 2014 年河南) 17.9 分)如图,CD 是⊙O 的直径,且 CD=2cm,点 P 为 CD 的延长线上 一点,过点 P 作⊙O 的切线 PA、PB,切点分别为点 A、B. (1) 连接 AC,若∠APO=300, 试证明△ACP 是等腰三角形; 证明: (1)连接 OA,∵PA 为⊙O 的切线, ∴OA⊥PA. ……………………………1 分 在 Rt△AOP 中,∠AOP=900-∠APO=900-300=600. ∴∠ACP=

A C

O B

D

P

1 1 ∠AOP= × 600=300.…………4 分 2 2

∴∠ACP=∠APO, ∴AC=AP. ∴△ACP 是等腰三角形. ……………………5 分 (2)( 2014 年河南)填空: ①当 DP= 1 cm 时,四边形 AOBD 是菱形;…………7 分

②当 DP=

2 -1 cm 时,四边形 AOBP 是正方形.…………9 分

(2)提示:①、若四边形 AOBD 是菱 形, 则 AO=AD=1,Rt△OAP, 当点 D 是 OP 的中点时, 即 OD=PD=1 时,四边形 AOBD 是 菱形 ②若四边形 AOBP 是正方形, 则∠AOB=∠APB=900, 即 PA=R=1,可证△PAD≌△PCA, PA2=PD(PD+2),即 1= PD(PD+2),
图1

A C O B D PC

A O B
图2

D P

∴PD2+2PD-1=0,解得:PD= 2 -1 或 PD=- 2 -1(舍去) 15. (2014?江苏盐城,第 24 题 10 分)如图,AB 为⊙O 的直径,PD 切⊙O 于点 C,交 AB 的延长线于点 D,且∠D=2∠CAD. (1)求∠D 的度数; (2)若 CD=2,求 BD 的长.

考点:切线的性质 分析:(1)根据等腰三角形性质和三角形外角性质求出∠COD=2∠A,求出∠D=∠COD, 根据切线性质求出∠OCD=90°,即可求出答案; (2)求出 OC=CD=2,根据勾股定理求出 BD 即可. 解答:解: (1)∵OA=OC, ∴∠A=∠ACO, ∴∠COD=∠A+∠ACO=2∠A, ∵∠D=2∠CAD, ∴∠D=∠COD, ∵PD 切⊙O 于 C, ∴∠OCD=90°, ∴∠D=∠COD=45°;

(2)∵∠D=∠COD,CD=2, ∴OC=OB=CD=2, 2 2 2 在 Rt△OCD 中,由勾股定理得:2 +2 =(2+BD) , 解得:BD=2 ﹣2. 点评:本题考查了切线的性质,勾股定理,等腰三角形性质,三角形的外角性质的应用,主 要考查学生的推理能力. 16. .(2014?年山东东营,第 21 题 8 分)如图,AB 是⊙ O 的直径,OD 垂直于弦 AC 于点 E,且 交⊙ O 于点 D,F 是 BA 延长线上一点,若∠ CDB=BFD. (1)求证:FD 是⊙ O 的一条切线; (2)若 AB=10,AC=8,求 DF 的长.

考点: 切线的判定;垂径定理. 分析: (1)利用圆周角定理以及平行线的判定得出∠ FDO=90°,进而得出答案; (2)利用垂径定理得出 AE 的长,再利用相似三角形的判定与性质得出 FD 的长. 解答: (1)证明:∵ ∠ CDB=∠ CAB,∠ CDB=∠ BFD, ∴ ∠ CAB=∠ BFD, ∴ FD∥ AC, ∵ ∠ AEO=90°, ∴ ∠ FDO=90°, ∴ FD 是⊙ O 的一条切线; (2)解:∵ AB=10,AC=8,DO⊥ AC, ∴ AE=EC=4,AO=5, ∴ EO=3, ∵ AE∥ FD, ∴ △ AEO∽ △ FDO, ∴ = ∴ = , . ,

解得:FD=

点评: 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识,得出 △ AEO∽ △ FDO 是解题关键.

17. (2014?山东临沂,第 22 题 7 分)如图,已知等腰三角形 ABC 的底角为 30°,以 BC 为直 径的⊙ O 与底边 AB 交于点 D,过 D 作 DE⊥ AC,垂足为 E. (1)证明:DE 为⊙ O 的切线; (2)连接 OE,若 BC=4,求△ OEC 的面积.

考点: 切线的判定;等腰三角形的性质 分析: (1)首先连接 OD,CD,由以 BC 为直径的⊙ O,可得 CD⊥ AB,又由等腰三角形 ABC 的底角为 30°,可得 AD=BD,即可证得 OD∥ AC,继而可证得结论; (2)首先根据三角函数的性质,求得 BD,DE,AE 的长,然后求得△ BOD,△ ODE, △ ADE 以及△ ABC 的面积,继而求得答案. 解答: (1)证明:连接 OD,CD, ∵ BC 为⊙ O 直径, ∴ ∠ BCD=90°, 即 CD⊥ AB, ∵ △ ABC 是等腰三角形, ∴ AD=BD, ∵ OB=OC, ∴ OD 是△ ABC 的中位线, ∴ OD∥ AC, ∵ DE⊥ AC, ∴ OD⊥ DE, ∵ D 点在⊙ O 上, ∴ DE 为⊙ O 的切线; (2)解:∵ ∠ A=∠ B=30°,BC=4, ∴ CD=BC=2,BD=BC?cos30°=2 , ∴ AD=BD=2 ,AB=2BD=4 , ∴ S△ABC=AB?CD=×4 ×2=4 , ∵ DE⊥ AC, ∴ DE=AD=×2 = ,AE=AD?cos30°=3, ∴ S△ODE=OD?DE=×2× = ,S△ADE=AE?DE=× = , ﹣ ﹣ ﹣ = . ×3= ,

∵ S△BOD=S△BCD=×S△ABC=×4

∴ S△OEC=S△ABC﹣S△BOD﹣S△ODE﹣S△ADE=4

点评: 此题考查了切线的判定、三角形中位线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理以及 三角函数等知识.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的 应用. 18.(2014?四川遂宁,第 24 题,10 分)已知:如图,⊙O 的直径 AB 垂直于弦 CD,过点 C 的切线与直径 AB 的延长线相交于点 P,连结 PD. (1)求证:PD 是⊙O 的切线. (2)求证:PD2=PB?PA. (3)若 PD=4,tan∠CDB=,求直径 AB 的长.

考点: 切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析: (1)连接 OD、OC,证△PDO≌△PCO,求出∠PDO=90° ,根据切线的判定推出即可; (2)求出∠A=∠ADO=∠PDB,根据相似三角形的判定推出△PDB∽△PAD,根据相 似三角形的性质得出比例式,即可得出答案; (3)根据相似得出比例式,代入即可求出答案. 解答: (1)证明:+连接 OD,OC, ∵PC 是⊙O 的切线, ∴∠PCO=90° , ∵AB⊥CD,AB 是直径, ∴弧 BD=弧 BC, ∴∠DOP=∠COP, 在△DOP 和△COP 中,

, ∴△DOP≌△COP(SAS) , ∴∠ODP=∠PCO=90° , ∵D 在⊙O 上, ∴PD 是⊙O 的切线; (2)证明:∵AB 是⊙O 的直径, ∴∠ADB=90° , ∵∠PDO=90° , ∴∠ADO=∠PDB=90° ﹣∠BDO, ∵OA=OD, ∴∠A=∠ADO, ∴∠A=∠∠PDB, ∵∠P=∠P, ∴△PDB∽△PAD, ∴ ,

∴PD2=PA?PB; (3)解:∵DC⊥AB, ∴∠ADB=∠DMB=90° , ∴∠A+∠DBM=90° ,∠BDC+∠DBM=90° , ∴∠A=∠BDC, ∵tan∠BDC=, ∴tanA== ,

∵△PDB∽△PAD, ∴ = = =

∵PD=4, ∴PB=2,PA=8, ∴AB=8﹣2=6.

点评: 本题考查了切线的判定和性质,解直角三角形,圆周角定理,相似三角形的性质和判 定的应用,主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力,题目比较好,有一定 的难度.

19.(2014?四川凉山州,第 27 题,8 分)已知:如图,P 是⊙ O 外一点,过点 P 引圆的切线 PC(C 为切点)和割线 PAB,分别交⊙ O 于 A、B,连接 AC,BC. (1)求证:∠ PCA=∠ PBC; (2)利用(1)的结论,已知 PA=3,PB=5,求 PC 的长.

考点: 分析:

切线的性质;相似三角形的判定与性质 (1)连结 OC,OA,先根据等腰三角形的性质得出∠ ACO=∠ CAO,再由 PC 是⊙ O 的切线,C 为切点得出∠ PCO=90° ,∠ PCA+∠ ACO=90° ,在△ AOC 中根 据三角形内角和定理可知∠ ACO+∠ CAO+∠ AOC=180° ,由圆周角定理可知 ∠ AOC=2∠ PBC,故可得出∠ ACO+∠ PBC=90° ,再根据∠ PCA+∠ ACO=90° 即可 得出结论; (2)先根据相似三角形的判定定理得出△ PAC∽ △ PCB,由相似三角形的对应 边成比例即可得出结论. (1)证明:连结 OC,OA, ∵ OC=OA, ∴ ∠ ACO=∠ CAO, ∵ PC 是⊙ O 的切线,C 为切点, ∴ PC⊥ OC, ∴ ∠ PCO=90° ,∠ PCA+∠ ACO=90° , 在△ AOC 中,∠ ACO+∠ CAO+∠ AOC=180° , ∵ ∠ AOC=2∠ PBC, ∴ 2∠ ACO+2∠ PBC=180° , ∴ ∠ ACO+∠ PBC=90° , ∵ ∠ PCA+∠ ACO=90° ,

解答:

∴ ∠ PCA=∠ PBC; (2)解:∵ ∠ PCA=∠ PBC,∠ CPA=∠ BPC, ∴ △ PAC∽ △ PCB, ∴ =
2



∴ PC =PA?PB, ∵ PA=3,PB=5, ∴ PC= = .

点评:

本题考查的是切线的性质,根据题意作出辅助线,构造出圆心角是解答此题的 关键.

20.(2014?四川泸州,第 24 题,12 分)如图,四边形 ABCD 内接于⊙ O,AB 是⊙ O 的直径, AC 和 BD 相交于点 E,且 DC =CE?CA. (1)求证:BC=CD; (2)分别延长 AB,DC 交于点 P,过点 A 作 AF⊥ CD 交 CD 的延长线于点 F,若 PB=OB, CD= ,求 DF 的长.
2

考点: 相似三角形的判定与性质;勾股定理;圆周角定理. 分析: (1)求出△ CDE∽ △ CAD,∠ CDB=∠ DBC 得出结论. (2)连接 OC,先证 AD∥ OC,由平行线分线段成比例性质定理求得 PC= 割线定理 PC?PD=PB?PA 求得半径为 4,根据勾股定理求得 AC= ,再由

,再证明

△ AFD∽ △ ACB,得 DF= .

,则可设 FD=x,AF=

,在 Rt△ AFP 中,求得

2 解答: (1)证明:∵ DC =CE?CA,

∴ =



△ CDE∽ △ CAD, ∴ ∠ CDB=∠ DBC, ∵ 四边形 ABCD 内接于⊙ O, ∴ BC=CD; (2)解:如图,连接 OC,

∵ BC=CD, ∴ ∠ DAC=∠ CAB, 又∵ AO=CO, ∴ ∠ CAB=∠ ACO, ∴ ∠ DAC=∠ ACO, ∴ AD∥ OC, ∴ = , ,

∵ PB=OB,CD= ∴ ∴ PC=4 又∵ PC?PD=PB?PA =

∴ PA=4 也就是半径 OB=4, 在 RT△ ACB 中,

AC= ∵ AB 是直径,

=

=2



∴ ∠ ADB=∠ ACB=90° ∴ ∠ FDA+∠ BDC=90° ∠ CBA+∠ CAB=90° ∵ ∠ BDC=∠ CAB ∴ ∠ FDA=∠ CBA 又∵ ∠ AFD=∠ ACB=90° ∴ △ AFD∽ △ ACB ∴ 在 Rt△ AFP 中,设 FD=x,则 AF= ∴ 在 RT△ APF 中有, 求得 DF= . , ,

点评: 本题主要考查相似三角形的判定及性质,勾股定理及圆周角的有关知识的综合运用能 力,关键是找准对应的角和边求解.

21.(2014?四川宜宾,第 23 题,10 分)如图,在△ABC 中,以 AC 为直径作⊙O 交 BC 于 点 D,交 AB 于点 G,且 D 是 BC 中点,DE⊥AB,垂足为 E,交 AC 的延长线于点 F. (1)求证:直线 EF 是⊙O 的切线; (2)若 CF=5,cos∠A=,求 BE 的长.

考点:

切线的判定

分析:

(1)连结 OD.先证明 OD 是△ABC 的中位线,根据中位线的性质得 到 OD∥AB,再由 DE⊥AB,得出 OD⊥EF,根据切线的判定即可得出 直线 EF 是⊙O 的切线; (2)先由 OD∥AB,得出∠COD=∠A,再解 Rt△DOF,根据余弦函 数的定义得到 cos∠FOD= 出 R= cos∠A= ,那么 AB=2OD= =,求出 AE= =,设⊙O 的半径为 R,解方程 =,求

,解 Rt△AEF,根据余弦函数的定义得到 ,然后由 BE=AB﹣AE 即可求解.

解答:

(1)证明:如图,连结 OD. ∵CD=DB,CO=OA, ∴OD 是△ABC 的中位线, ∴OD∥AB,AB=2OD, ∵DE⊥AB, ∴DE⊥OD,即 OD⊥EF, ∴直线 EF 是⊙O 的切线; (2)解:∵OD∥AB, ∴∠COD=∠A. 在 Rt△DOF 中,∵∠ODF=90° , ∴cos∠FOD= =, =,

设⊙O 的半径为 R,则 解得 R= , .

∴AB=2OD=

在 Rt△AEF 中,∵∠AEF=90° , ∴cos∠A= = =,

∴AE=

, ﹣ =2.

∴BE=AB﹣AE=

点评:

本题考查了切线的判定,解直角三角形,三角形中位线的性质知识 点.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即 为半径),再证垂直即可.

22. (2014?甘肃白银、临夏,第 27 题 10 分)如图,Rt△ABC 中,∠ABC=90° ,以 AB 为直径 作半圆⊙O 交 AC 与点 D,点 E 为 BC 的中点,连接 DE. (1)求证:DE 是半圆⊙O 的切线. (2)若∠BAC=30° ,DE=2,求 AD 的长.

考点: 切线的判定. 专题: 计算题. 分析: (1)连接 OD,OE,由 AB 为圆的直径得到三角形 BCD 为直角三角形,再由 E 为斜 边 BC 的中点,得到 DE=BE=DC,再由 OB=OD,OE 为公共边,利用 SSS 得到三角形 OBE 与三角形 ODE 全等, 由全等三角形的对应角相等得到 DE 与 OD 垂直, 即可得证; (2)在直角三角形 ABC 中,由∠BAC=30° ,得到 BC 为 AC 的一半,根据 BC=2DE 求 出 BC 的长,确定出 AC 的长,再由∠C=60° ,DE=EC 得到三角形 EDC 为等边三角形, 可得出 DC 的长,由 AC﹣CD 即可求出 AD 的长. 解答: (1)证明:连接 OD,OE, ∵AB 为圆 O 的直径,

∴∠ADB=∠BDC=90° , 在 Rt△BDC 中,E 为斜边 BC 的中点, ∴DE=BE, 在△OBE 和△ODE 中, , ∴△OBE≌△ODE(SSS) , ∴∠ODE=∠ABC=90° , 则 DE 为圆 O 的切线; (2)在 Rt△ABC 中,∠BAC=30° , ∴BC=AC, ∵BC=2DE=4, ∴AC=8, 又∵∠C=60° ,DE=DC, ∴△DEC 为等边三角形,即 DC=DE=2, 则 AD=AC﹣DC=6.

点评: 此题考查了切线的判定,以及全等三角形的判定与性质,熟练掌握切线的判定方法是 解本题的关键. 23. (2014?甘肃兰州,第 26 题 10 分) 如图,AB 是⊙O 的直径,点 E 是 上的一点,∠DBC=∠BED.

(1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)已知 AD=3,CD=2,求 BC 的长.

考点:切线的判定;相似三角形的判定与性质. 分析:(1)AB 是⊙O 的直径,得∠ADB=90°,从而得出∠BAD=∠DBC,即∠ABC=90°, 即可证明 BC 是⊙O 的切线; (2)可证明△ABC∽△BDC,则 = ,即可得出 BC= .

解答:(1)证明:∵AB 是⊙O 的切直径, ∴∠ADB=90°, 又∵∠BAD=∠BED,∠BED=∠DBC, ∴∠BAD=∠DBC, ∴∠BAD+∠ABD=∠DBC+ABD=90°, ∴∠ABC=90°, ∴BC 是⊙O 的切线; (2)解:∵∠BAD=∠DBC,∠C=∠C, ∴△ABC∽△BDC, ∴ = ,即 BC =AC?CD=(AD+CD)?CD=10,
2

∴BC= . 点评:本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质,是重点知识要熟练掌握. 24. (2014?广东梅州,第 18 题 8 分)如图,在△ ABO 中,OA=OB,C 是边 AB 的中点,以 O 为圆心的圆过点 C. (1)求证:AB 与⊙ O 相切; (2)若∠ AOB=120° ,AB=4 ,求⊙ O 的面积.

考点: 切线的判定. 分析: (1)首先连接 OC,然后由 OA=OB,C 是边 AB 的中点,根据三线合一的性质,可证 得 AB 与⊙ O 相切; (2)首先求得 OC 的长,继而可求得⊙ O 的面积. 解答: (1)证明:连接 OC, ∵ 在△ ABO 中,OA=OB,C 是边 AB 的中点,

∴ OC⊥ AB, ∵ 以 O 为圆心的圆过点 C, ∴ AB 与⊙ O 相切; (2)解:∵ OA=OB,∠ AOB=120° , ∴ ∠ A=∠ B=30° , ∵ AB=4 ,C 是边 AB 的中点, ∴ AC=AB=2 , ∴ OC=AC?tan∠ A=2
2

×

=2,

∴ ⊙ O 的面积为:π× 2 =4π.

点评: 此题考查了切线的判定、等腰三角形的性质以及三角函数的性质.此题难度不大,注 意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.


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