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空间角、点面距离--高二


空间角、点面距离---高二
1.空间角包括:异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 (1)异面直线所成的角的范围是 (0,

?

2

]。

求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下: ① 利用定义构造角,可固定一条

,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选择在特殊 的位置上; ② 证明作出的角即为所求的角或其邻补角; (2)直线与平面所成的角的范围是 [0, 具体步骤如下: ① 找过斜线上一点与平面垂直的直线; ② 连结垂足和斜足,得出斜线在平面的射影,确定出所求的角; ③ 把该角置于三角形中计算。 注意:斜线和平面所成的角,是它和平面内任何一条直线 所成的一切角中的最小角,即若 θ 为线面角,α 为斜线 与平面内任何一条直线所成的角,则有 ? ? ? ; (3)确定点的射影位置有以下几种方法: ① 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上; ② 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线 上; 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等, 那么这一条直线在平面上的射影在这个角的平分线上; ③ 两个平面相互垂直,一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平面的交线上; ④ 利用某些特殊三棱锥的有关性质,确定顶点在底面上的射影的位置: a.如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的外心; b. 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形 的内心(或旁心); c. 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直,那么顶点落在底面上的射影是底面三角形的垂心; 2.空间距离 (1)点到直线的距离:点P到直线 a 的距离为点P到直线 a 的垂线段的长,常先找或作直线 a 所在平面的垂 线,得垂足为A,过A作 a 的垂线,垂足为B连PB,则由三垂线定理可得线段PB 即为点P到直线 a 的距离。在直角三角形PAB中求出PB的长即可。 (2)点到平面的距离:点P到平面 ? 的距离为点P到平面 ? 的垂线段的长.常用求法 ① 作出点P到平面的垂线后求出垂线段的长; ② 体积法 (3)直线到平面的距离:只存在于直线和平面平行之间.为直线上任意一点到平面间的距离。 (4)平面与平面间的距离:只存在于两个平行平面之间.为一个平面上任意一点到另一个平面的距离。
1

?

③ 利用三角形来求角。

2

] 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。
D

?

A B

C

练习
1、 四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为平行四边形, 侧面 SBC ? 底面 ABCD . 已知∠ABC ? 45 ,AB ? 2 , (Ⅰ)证明 SA ? BC ; (Ⅱ)求直线 SD 与平面 SAB 所成角的正弦值. BC ? 2 2 , SA ? SB ? 3 . 解: (Ⅰ)作 SO ⊥ BC ,垂足为 O ,连结 AO , 由侧面 SBC ⊥ 底面 ABCD , 得 SO ⊥ 底面 ABCD .因为 SA ? SB , 所以 AO ? BO ,又∠ABC ? 45 , 故 △ AOB 为等腰直角三角形, AO ⊥ BO , 由三垂线定理,得 SA ⊥ BC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 SA ⊥ BC ,依题设 AD ∥ BC ,
D C A S

B

故 SA ⊥ AD ,由 AD ? BC ? 2 2 , SA ? 3 , AO ? 2 ,得 SO ? 1 , SD ? 11 .

1 △SAB 的面积 S1 ? AB 2

?1 ? SA ? ? AB ? ? 2 . ?2 ?
2

2

连结 DB ,得 △DAB 的面积 S 2 ? 由于 VD?SAB

1 AB AD sin135 ? 2 ,设 D 到平面 SAB 的距离为 h , 2 1 1 ? VS ? ABD ,得 h S1 ? SO S 2 ,解得 h ? 2 . 3 3

设 SD 与平面 SAB 所成角为 ? ,则 sin ? ?

h 2 22 . ? ? SD 11 11

所以,直线 SD 与平面 SBC 所成的角的正弦值为 2、已知长方体 ABCD—A1B1C1D1 中,AB=BC=4,CC1=2, 则直线 BC1 和平面 DBB1D1 所成角的正弦值为 解:连结 A1C1 交 B1D1 于点 O,则 C1O⊥平面 DBB1D1. 连结 OB,则∠C1BO 即为所求. ∵BC1= 16 ? 4 =20,C1O= 答案:

10 5

1 2

16 ? 16 ? 2 2 ,

∴sin∠C1BO=

2 2 20

?

10 . 5
3 a 3 3 a. 3

3.在正三棱锥 P—ABC 中,三条侧棱两两互相垂直,侧棱长为 a, 则点 P 到平面 ABC 的距离为 答案:

解:作 PH⊥平面 ABC 于 H,连结 CH 并延长,交 AB 于 D,连结 PD,由 PH· CD=PC· PD, 求得 PH=

2

4、如图所示,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB=1.若二面角 C—AB—C1 的大小为 60° , 则点 C 到平面 ABC1 的距离为________. 答案: 3 4 3 ,∠ C1DC=60° . 2

解:如图所示,在△ ABC 中,AB=1,则 AB 边上的高 CD 长度为 3 ∴CC1= ,C1D= 3.在△CDC1 中,CO⊥C1D, 2 由图可知 CO 为面 ABC1 的垂线,∴由等面积法可得 1 1 C D· CO= CD· CC1. 2 1 2 3 ∴CO= . 4

D ABC D B 5、 (全国卷)正方体 ABCD- 1 1 1 1 中,B 1 与平面 AC 1 所成角的余弦值为
解:因为 BB1//DD1,所以 B 由等体积法得

6 答案: 3

B1 与平面 AC D1 所成角和 DD1 与平面 AC D1 所成角相等,设 DO⊥平面 AC D1 ,
1 1 S?ACD1 ? DO ? S?ACD ? DD1 3 ,即 3 .

VD? ACD1 ? VD1 ? ACD

1 1 1 1 3 3 2 S?ACD1 ? AC AD1 sin 60 ? ? ( 2a)2 ? ? a S ?ACD ? AD CD ? a 2 2 2 . 2 2 2 2 , 设 DD1=a,则

DO ?
所以

S ?ACD DD1 a3 3 ? ? a 2 S ?ACD1 3 3a

,记 DD1 与平面 AC

D1 所成角为 ? ,则

sin ? ?

DO 3 ? DD1 3 ,

6 3 . 所以 ABC ? A1 B1C1 中,若 ?BAC ? 90? , AB ? AC ? AA1 , 6、 (全国卷)直三棱柱 BA AC1 所成的角等于 则异面直线 1 与 cos ? ?

答案:60°

ADAC 1 1 为平行四边形, ?DA 1B 就是异面直线 BA 1 与 AC1 所成的角, 解:延长 CA 到 D,使得 AD ? AC ,则
又三角形

A1DB 为等边三角形,??DA1B ? 600
2 AD, 2

7、如图,点 A 是 BCD 所在平面外一点,AD=BC,E、F 分别是 AB、CD 的中点,且 EF= 求异面直线 AD 和 BC 所成的角. 解:设 G 是 AC 中点,连接 EG、FG. 因 E、F 分别是 AB、CD 中点,故 EG∥ BC 且 EG= 且 FG=

1 BC ,FG∥ AD, 2

1 AD .由异面直线所成角定义可知 EG 与 FG 所成锐角或直角为 2
1 2 AD ,又 EF= AD,由勾股定理可得∠ EGF=90° . 2 2

异面直线 AD、BC 所成角,即∠ EGF 为所求. 由 BC=AD 知 EG=GF=

3

8、(北京)如图所示,在三棱锥 P-ABC 中,AC=BC=2,∠ ACB=90° ,AP=BP=AB,PC⊥ AC. (1) 求证:PC⊥ AB; (2) 求点 C 到平面 APB 的距离. (1)证明:如图(1)所示,取 AB 中点 D,连结 PD,CD. ∵AP=BP,∴PD⊥AB. ∵AC=BC,∴CD⊥AB. ∵PD∩CD=D,∴AB⊥平面 PCD. ∵PC?平面 PCD,∴PC⊥AB. (2) 由(1)知 AB⊥ 平面 PCD,∴ 平面 APB⊥ 平面 PCD. 如图(3)所示,过 C 作 CH⊥ PD,垂足为 H. ∵ 平面 APB∩平面 PCD=PD,∴ CH⊥ 平面 APB. ∴ CH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(1)知 PC⊥ AB,又 PC⊥ AC, 且 AB∩AC=A,∴ PC⊥ 平面 ABC. ∴ PC⊥ CD. 1 3 在 Rt△ PCD 中,CD= AB= 2,PD= PB= 6, 2 2 PC· CD 2 3 ∴ PC= PD2-CD2=2.∴ CH= = . PD 3 2 3 ∴ 点 C 到平面 APB 的距离为 . 3 9、 (全国卷)已知三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形, SA 垂直于底面 ABC ,

SA =3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为

3 答案: 4

S

解:过 A 作 AE 垂直于 BC 交 BC 于 E,连结 SE,过 A 作 AF 垂直于 SE 交 SE 于 F, 连 BF,∵正三角形 ABC,∴ E 为 BC 中点,∵ BC⊥AE,SA⊥BC,∴ BC⊥面 SAE, ∴ BC⊥AF,AF⊥SE,∴ AF⊥面 SBC,∵∠ABF 为直线 AB 与面 SBC 所成角,

F C A

E

B

3 由正三角形边长 3,∴ AE ? 3 ,AS=3,∴ SE= 2 3 ,AF= 2 , sin ?ABF ?


3 4

4

10、 (四川)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90 , ?PAB ? 60 , AB ? BC ? CA , 平面 PAB ? 平面 ABC 。求 直线 PC 与平面 ABC 所成角的正切值;

11、在正三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,若 AB=2, AA1 ? 1 则点 A 到平面 A1BC 的距离为 分析:过点 A 作 AD⊥BC 于点 D,连接 A1D,过点 A 作 AD⊥面 A1BC 于点 E, 则点 E 在 A1D 上,AE 即为点 A 到平面 A1BC 的距离。 在 Rt△ACD 中,AC=2,CD=1,∴AD= 3 。 在 Rt△A1DA 中, AA1 ? 1 ,AD= 3 ,∴tan∠A1DA= ∴∠A1DA=300。 在 Rt△ADE 中, AE=AD· sin300=

3 2

3 。 3

3 2

12、 如图, 四棱锥 P—ABCD 中,?PAB 为边长为 2 的正三角形, 底面 ABCD 为菱形, 且平面 PAB⊥平面 ABCD,

PC ? AB ,E 为 PD 点上一点,满足 PE ?
(1) 证明:平面 ACE ? 平面 ABCD;

1 ED 2

P E A B D C

(2) 求直线 PD 与平面 ACE 所成角正弦值的大小. 提示:过点 P 作 PH⊥AB 于 H,连结 HD 交 AC 于 O, 证明 EO 平行 PH 13、正三棱锥 P-ABC 高为 2,侧棱与底面所成角为 450 ,

6 5 5 分析:如图所示:设 P 在底面 ABC 上的射影为 O, 则 PO⊥平面 ABC,PO=2,且 O 是三角形 ABC 的中心。 ∴BC⊥AM,BC⊥PO,PO∩AM=O。∴BC⊥平面 APM。 又∵BC? 平面 ABC,∴平面 ABC⊥平面 APM。 又∵平面 ABC∩平面 APM=PM,
则点 A 到侧面 PBC 的距离是 答案:
5

∴A 到侧面 PBC 的距离即为△APM 中 PM 边上的高。

3 2 3 3 a ,∴ AO ? ? a? a, 2 3 2 3 3 a ? 2,a?2 3。 ∴由侧棱与底面所成角为 450 和 PO=2,得 3
设底面边长为 a ,则 AM= 设侧棱为 b ,则等腰直角三角形的性质,得 b ? 2 2 。 则在 Rt△PBC 中,BM= 3 ,PB= 2 2 ,∴由勾股定理,得 PM= 5 。

3 ?2 3?2 6 5 由面积法得 A 到侧面 PBC 的距离 h ? 2 。 ? 5 5
14、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面为直角梯形, AD // BC , ?BAD ? 90? , PA 垂直于底面 ABCD ,

PA ? AD ? AB ? 2BC ? 2 , M , N 分别为 PC , PB 的中点.
(1)求证: PB ? DM ; (2)求点 B 到平面 PAC 的距离.

6

15、 (广东佛山)如图 5 ,矩形 ABCD 中, AB ? 12 , AD ? 6 , E 、 F 分别为 CD 、 AB 边上的点, 且 DE ? 3 , BF ? 4 ,将 ?BCE 沿 BE 折起至 ?PBE 位置(如图 6 所示),连结 AP 、 PF ,其中 PF ? 2 5 . (Ⅰ) 求证: PF ? 平面 ABED ; (Ⅱ) 在线段 PA 上是否存在点 Q 使得 FQ // 平面 PBE ?若存在,求出点 Q 的位置;若不存在,请说明理由. (Ⅲ) 求点 A 到平面 PBE 的距离. E

D

. .F

C

P D

E F
图6

C B

A
图5

B

A

7

(Ⅱ) 当 Q 为 PA 的三等分点(靠近 P )时, FQ // 平面 PBE .证明如下: 因为 AQ ?

2 2 AP , AF ? AB ,所以 FQ // BP , 3 3

又 FQ ? 平面 PBE , PB ? 平面 PBE ,所以 FQ // 平面 PBE .

16、如图所示,所示的正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 棱长为 a ,求点 A? 到平面 AB ?D ? 的距离。 解法一:如图 5 所示,连结交 B ?D ? 于点 E , 再连结 AE ,过点 A? 作 A?H 垂直于 AE , 垂足为 H ,下面证明 A?H ? 平面 AB ?D ? 。

AA? ? 平面 A?B?C ?D?


? B ?D ? ? AA?

在正方形 A?B?C ?D? 中,对角线 B?D? ? A?C ? ,

且 AA?

A?C ? ? A?

AA? ? 平面 AA?E , A?C ? ? 平面 AA?E

? 由线面垂直的判定定理知道 B ?D ? ? 平面 AA?E
A?H ? 平面 AA?E

? A?H ? B ?D ?
AE ? E ,

又由 A?H 的作法知道 A?H ? AE ,且有 B ?D ?

B ?D ? ? 平面 AB ?D ? , AE ? 平面 AB ?D ?

? 由线面垂直的判定定理知道 A?H ? 平面 AB ?D ?
根据点到平面距离定义, A?H 的长度即为点 A? 到平面 AB ?D ? 的距离,下面求 A?H 的长度。

?AB?D? 中,容易得到 AB? ? B?D? ? D?A ? 2a ,
从而 ?AB?D? 为正三角形, ?AB?D? ? 60 。
0

进而在 Rt ?AB?E 中, AE ? AB? sin ?AB?D? ? 由 S ?AA?E ?

2a sin 600 ?

6 a。 2

1 1 AA? ? A?E ? AE ? A?H 得到 2 2
8

1 1 AA? ? A?C ? a ? 2 AA? ? A?E 3 2 2 A?H ? ? ? ? a AE AE 3 6 2
从而 A? 到平面 AB ?D ? 的距离为

3 a。 3

解法二: 如图 7 所示,作 A?H 垂直于平面 AB ?D ? 于点 H ,则 AB ?D ? 长度为所求。对于四面体 A?AB ?D ? , 易见底面 AB ?D ? 的高为 A?H ,底面 A?B ?D ? 的高为 AA? 。对四面体 A?AB ?D ? 的体积而言有:

VA? A?B?D? ? VA?? AB?D?
即有:

1 1 AA? ? S?A?B?D? ? A?H ? S ?AB?D? 3 3

也即: A?H ?

AA? ? S?A?B?D? S?AB?D?

由 AB? ? B?D? ? D?A ?

2a ,从而 ?AB?D? 为正三角形,

?AB?D? ? 600 ,进而可求得

S?AB?D? ?

1 1 3 2 AB? ? AD? sin ?AB?D? ? ( 2a)2 sin 600 ? a 2 2 2
1 2 a 2

又易计算得到 Rt ?A?B?D? 的面积为 S ?A?B?D? ?

1 a ? a2 ? AA ? S?A?B?D? 2 ? 3a 所以 A?H ? ? S?AB?D? 3 3 2 a 2

17、 (深圳模拟)如图,四棱锥 S ? ABCD 的底面是正方形, SA ? 底面 ABCD , E 是 SC 上一点. (1)求证:平面 EBD ? 平面 SAC ; (2)设 SA ? 4 , AB ? 2 ,求点 A 到平面 SBD 的距离; (1) 证明:? SA ? 底面 ABCD 且 BD ? AC

? SA ? BD

S

? BD ? 平面S A C
E A D C

? 平面 EBD ? 平面 SAC

(2) 解:因为

VA-SBD ? VS-ABD ,且

S ?SBD

1 ? ?2 2 ?3 2 2 ,

B

4 可求得点 A 到平面 SBD 的距离为 3
9


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