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§3.2《简单的三角恒等变换》导学案


高一数学必修 4 编号:SX--01--017

§3.2《简单的三角恒等变换》导学案
编写:付阿丽 审核:高一数学组 时间:2012/12/12

班级: _____________ 组别: ___________ 组名: ______________ 姓名: ____________ 【学习目标】 1.会用三角函数的有关公式进

行解题. 2.能将前面所掌握的公式应用到三角函数式化简、求值、证明中. 【重点难点】 1.重点:三角函数有关公式的记忆. 2. 难点:公式灵活运用. 【学法指导】 1. 采用观察、赋值、探究的学习方法,以已有的公式为依据,推导半角公式,提升逻辑推理 能力. 【知识链接】 二倍角公式 【学习过程】 阅读课本第 139 页例 1 的内容,尝试回答以下问题: 知识点 1:半角公式 (A 级)问题 1:半角公式也可以理解为倍角公式,可视为 ? 是 半角公式: 由 cos ? ? 1 ? 2sin 由 cos ? ? 2 cos
2?
2 2

? 的二倍角,尝试写出下列 2

?
2

得 sin

2

?
2

? ?

. .

?
2

? 1得 cos 2

?
2

2 得 tan 2 ? ? . 2 2 cos 2 ? 2 3 5? ? ? ? ? ? ? 3? ,求 sin , cos , tan 的值. (B 级)问题 2:已知 cos ? ? ,且 5 2 2 2 2
由 tan

?

sin 2

?

(B 级)问题 3:已知 cos ? ? ?

3 ? ,且 180? ? ? ? 270? ,求 tan . 5 2

1

(C 级)问题 4:尝试证明 tan

?
2

?

1 ? cos ? sin ? ? (以后可以作为结论直接使用哦!) . sin ? 1 ? cos ?

阅读课本第 140 页例 2 的内容,尝试回答以下问题: 知识点 2:积化和差公式与和差化积公式 (A 级)问题 1:观察例 2 中这两个式子的左右两边在结构形式上有什么不同? (B 级)问题 2:在下列 4 个积化和差公式中任选一个完成证明.

1 sin ? cos ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? sin ? ? [sin(? ? ? ) ? sin(? ? ? )] 2 1 cos ? cos ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2 1 sin ? sin ? ? ? [cos(? ? ? ) ? cos(? ? ? )] 2
(B 级)问题 3:在下列 4 个和差化积公式中任选一个完成证明.

sin ? ? sin ? ? 2sin sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ?? ? ??
2

cos

? ?? ? ??
2

sin 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2 cos cos 2 2 ? ?? ? ?? cos ? ? cos ? ? 2sin sin 2 2

(B 级)问题 4:化简:

cos A ? cos(120? ? B) ? cos(120? ? B) sin B ? sin(120? ? A) ? sin(120? ? A)
2

阅读课本第 140 页例 3、例 4 的内容的内容,尝试回答以下问题: 知识点 3:公式的综合运用 温馨提示:辅助角公式为 a sin x ? b cos x ? a 2 ? b2 sin( x ? ? ) ,即将含有同角的正弦、余 弦的两项和化为一个角的一种三角函数形式,这样方便研究三角函数的性质. 例 1:已知函数 f ( x) ? 3 sin(2 x ?

?
6

) ? 2sin 2 ( x ?

?
12

) ( x ? R)

(A 级)问题 1:请将函数解析式利用二倍角公式和辅助公式整理化成 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 形式? (B 级)问题 2:请尝试求解函数 y ? f ( x) 的单调区间?

(B 级)问题 3:求使函数 f ( x ) 取得最大值的自变量 x 的集合?

(C 级)问题 4:尝试归纳解这种类型的题的一般方法.

【基础达标】

sin 4 x cos 2 x cos x ? ? . 1 ? cos 4 x 1 ? cos 2 x 1 ? cos x sin15 ? ? cos15 ? B2.求值 .(尝试用多种方法) sin15 ? ? cos15 ?
A1.化简:

3

B3.求值 sin 20? ? cos 50? ? sin 20? cos50?.
2 2

B4.求函数 y ?

1 sin 2 x ? sin 2 x, x ? R 的值域. 2

C5.已知函数 f ( x) ? sin x ? 2sin x cos x ? 3cos x, x ? R 求:
2 2

①函数 f ( x ) 的最大值及取得最大值的自变量 x 的集合. ②函数 f ( x ) 的单调增区间. ③函数 f ( x ) 的对称轴.

【小结】

【当堂检测】 B1.求函数 f ( x) ? 6cos2 x ? 3 sin 2x , x ? [0,

?
2

] 的最值.

4


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