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1.21绝对值三角不等式的解法


1.绝对值三角不等式

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1.理解绝对值的几何意义.
2.掌握绝对值三角不等式及其几何意义. 3.掌握三个实数的绝对值不等式及应用.

1.本课重点是绝对值不等式定理的几何意义及应用. 2.本课难点是用绝对值三角不等式的两个定理证明含绝对值的 不等式问题.

绝对值不

等式
|a| 实数a的绝对值|a|表示数轴上坐 标为a的点A到原点的距离.

几何 意义
绝对值 不等式

|a-b| 对于任意两个实数a,b,设它们在数轴上 的对应点分别为A,B,那么|a-b|的几何意 义是数轴上A,B两点之间的距离,即线段 AB的长度. 定理1 如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+ |b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.

绝对值 三角不 等式

如果a,b,c是实数,那么|a-b|≤|a定理2 b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时, 等号成立.

1.|a+b|与|a|-|b|,|a-b|与|a|-|b|及|a|+|b|分别具有什么关

系?
提示:|a|-|b|≤|a+b|,|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

2.三个实数的绝对值不等式的几何意义是怎样的?
提示:数轴上任意一点到两点的距离之和,不小于这两点的距 离.

3.函数y=|x-1|+|x-3|的最小值是_______.

【解析】y=|x-1|+|x-3|≥|x-1+3-x|=2.
答案:2

1.定理2的几何解释

在数轴上,a,b,c所对应的点分别为A,B,C,当点B在点A,C
之间时,|a-c|=|a-b|+|b-c|;当点B不在点A,C之间时,|a-

c|<|a-b|+|b-c|.

2.不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中“=”成立的条件
不等式|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是 ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤0,且|a|≥|b|;不等式 |a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,右侧“=”成立的条件是ab≤0,左 侧“=”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.

与绝对值不等式相关的判断 【技法点拨】

与绝对值不等式相关的判断方法与技巧
(1)判断一个不等式成立与否,往往是对影响不等号的因素进行

分析,如一个数的正、负、零等,数(或式子)的积、平方、取
倒数等都对不等号产生影响,注意考查这些因素在不等式中的 作用,一个不等式的成立与否也就比较好判断了.

(2)如果对不等式不能直接判断,往往需要对不等式化简整理或

变形后再利用绝对值不等式进行判断.

【典例训练】1.若x<5,n∈N+,则下列不等式:
n n ? 5 lg ; n ?1 n ?1 ② x lg n ? 5lg n ; n ?1 n ?1 ③ xlg n ? 5 lg n ; n ?1 n ?1 ④ x lg n ? 5 lg n . n ?1 n ?1

① xlg

其中,能够成立的有________.
2.不等式
a?b ≥1成立的充要条件是_____. a ?|b|

【解析】1.≧0<

n <1,?lg n <0, n ?1 n ?1

由x<5,并不能确定|x|与5的关系. 所以①②③均不成立. 又≧|x|lg n ≤0,5|lg n |>0,
n ?1 n ?1

故④成立. 答案:④

2.①当|a|>|b|时,有|a|-|b|>0,

?|a+b|≥||a|-|b||=|a|-|b|.
a?b a?b ?必有 ≥1,即|a|>|b|是 ≥1成立的充分条件. a ?|b| a ?|b| ②当 a ? b ≥1时,由|a+b|>0, a ?|b| a?b 必有|a|-|b|>0,即|a|>|b|,故|a|>|b|是 ≥1成立的必要 a ?|b|

条件. ?不等式成立的充要条件为|a|>|b|. 答案:|a|>|b|

【想一想】你知道如何证明|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+ |b|吗? 提示:整体代换法:利用|a|-|b|≤|a+b|≤|a|+ |b|得|a|-|-b|≤|a+(-b)|≤|a|+|-b|, 即|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.

求范围或最值 【技法点拨】 利用绝对值三角不等式求最值 绝对值三角不等式反映了绝对值之间的关系,有些对于y=|xa|+|x-b|或y=|x+a|-|x-b|型的函数最值求法,利用该 不等式或其几何意义更简捷、方便.

【典例训练】1.若不等式|x-a|+|x-2|≥1对任意的实数x

均成立,则实数a的取值范围是______.
2.求函数f(x)=|x-3|+|x-1|的最小值,并求出取最小值时

x的范围.

【解析】1.解题流程:

审题

x ? a ? x ? 2 ? 1 恒成立

转化

绝对值不等式的几何意义:数
轴上x到a与x到2的距离之和 当a=1或a=3时,对任意的x,距离和的

求解

最小值为1,所以当a≤1或a≥3时该不 等式恒成立

结论

a ? (??,1] ? [3, ??)

答案:(-≦,1]∪[3,+≦)

2.根据定理2,f(x)=|x-3|+|x-1|≥|(x-3)-(x-1)|=

2,当且仅当(x-3)(x-1)≥0,即x≥3或x≤1时,f(x)取得最小值
2.

【想一想】

本例2除了用定理2解答,你还有哪些方法?
提示:可利用绝对值不等式的几何意义,利用数轴求得最小值 为2.

含绝对值不等式的证明 【技法点拨】 1.含绝对值不等式的证明技巧

含绝对值不等式的证明题主要分两类:
一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝 对值转化为常见的不等式证明,或利用绝对值三角不等式性质 定理:||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,通过适当的添、拆项证 明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可

考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一
元二次方程的根的分布等方法来证明.

2.证明绝对值不等式的基本步骤

(1)对原式“拆项”“重组”,以期利用条件;
(2)利用定理1或定理2进行转化;

(3)化简、证明结论.

【典例训练】
1.已知ε >0,|x-a|<ε ,|y-b|<ε ,

求证:|(x+y)-(a+b)|<2ε .
2.设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1, 求证:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

【证明】1.|(x+y)-(a+b)|=|(x-a)+(y-b)|≤|x-a|+ |y-b| ≧|x-a|<ε,|y-b|<ε, ?|x-a|+|y-b|<ε+ε=2ε ② ①

由①②得:|(x+y)-(a+b)|<2ε.

2.≧f(x)=x2-x+13.
?|f(x)-f(a)|=|x2-x-a2+a| =|x-a|·|x+a-1|<|x+a-1|, 又≧|x+a-1|=|x-a+2a-1| ≤|x-a|+|2a-1|<1+|2a|+1 =2(|a|+1), ?|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).

含参数的绝对值不等式的应用 【典例】(12分)设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1). (1)若|a|≤1,求|f(x)|的最大值. (2)求a的值,使函数f(x)有最大值 17 .
8

【规范解答】

【规范解答】(1)设g(a)=f(x)=ax2+x-a =(x2-1)a+x????????????????????1分 ≧-1≤x≤1, 当x=〒1时,|f(x)|=|g(a)|=1; 当x≠〒1时,x2-1<0,g(a)=(x2-1)a+x是单调递减函数?2分 ≧|a|≤1,?-1≤a≤1,①

?g(a)max=g(-1)=-x2+x+1
1 5 ? ?(x ? ) 2 ? ,??????????????????3分 2 4

g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+ 1 )2- 5 ,??????????4分
2 4

?|f(x)|=|g(a)|≤|g(a)max|
5 , ???????????????5分 4 2 4 ?|f(x)|的最大值为 5 ???????????????6分 4

=| ?(x ? 1 ) 2 ? 5 |≤

(2)当a=0时②,f(x)=x;
当-1≤x≤1时,f(x)的最大值为f(1)=1不可能满足题设条

件,?a≠0.????????????????????7分
又f(1)=a+1-a=1, f(-1)=a-1-a=-1,

故f(〒1)均不是最大值. ??????????????8分 ?f(x)的最大值 17 应在其对称轴上顶点位置取得.
1 ? ? ?1 ? ? 2a ? 1, ? ?a<0.?命题等价于 ?f (? 1 ) ? 17 , ? 2a 8 ? ?a ? 0, ? ?
8

?????????9分

1 ? a?? , ? 2 ? ? ?? a ? 2 ?? 8a ? 1? ? 0, ?
1 ? a?? , ? ? ? ????????????????11分 2 ? ?a ? ?2或a ? ? 1 , ? 8 ?

?a=-2. ?????????????????????12分

【阅卷人点拨】通过阅卷后分析,对解答本题的失分警示和解

题启示总结如下:(注:此处的①②见规范解答过程)

【规范训练】(12分)已知a,b,c为实数,函数f(x)= ax2+bx+c,g(x)=ax+b,当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1. 求证:(1)|c|≤1;

(2)当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.

【解题设问】(1)本题解题的突破条件是什么?

当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1.
(2)证明|g(x)|≤2需要讨论a的取值范围吗?需要.

【规范答题】(1)当-1≤x≤1时,|f(x)|≤1,取x=0时,有

|c|=|f(0)|≤1,即|c|≤1?????????????2分
(2)方法一:当a>0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是增函数. ?g(-1)≤g(x)≤g(1). ≧|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1, ?g(1)=a+b=f(1)-c≤|f(1)|+|c|≤2, g(-1)=-a+b=-f(-1)+c ≥-(|f(-1)|+|c|)≥-2. 由此得|g(x)|≤2?????????????????5分

当a<0时,g(x)=ax+b在[-1,1]上是减函数. ?g(-1)≥g(x)≥g(1). ≧|f(x)|≤1(-1≤x≤1),|c|≤1, ?g(-1)=-a+b=-f(-1)+c≤|f(-1)|+|c|≤2. g(1)=a+b=f(1)-c≥-(|f(1)|+|c|)≥-2. 由此得|g(x)|≤2. ?????????????8分

当a=0时,g(x)=b,f(x)=bx+c. ≧-1≤x≤1, ?|g(x)|=|f(1)-c|≤|f(1)|+|c|≤2. ???????10分 综上所述,|g(x)|≤2.??????????????12分
x ? 1? ? ? x ? 1? 方法二:由 x ? ?
2 2

4

,

得g(x)=ax+b

x ? 1 x ?1 ? ) 4 4 2 2 x ?1 2 x ?1 x ?1 2 x ?1 ? a( [ ) ? b( ) ? c] a( ? [ ) ? b( ) ? c] 2 2 2 2 x ?1 x ?1 ? f( )?f( ). ????????????????6分 2 2 x ?1 当-1≤x≤1时,0≤ x ? 1 ≤1,-1≤ ≤0. 2 2 x ?1 x ?1 ?|f( )|≤1,|f( )|≤1, ???????????8分 2 2 x ?1 x ?1 ?|g(x)|=|f( )-f( )| 2 2 x ?1 x ?1 ≤|f( )|+|f( )|≤1+1=2. ????????10分 2 2 ? a[ ? ] b( ?

? x ? 1?

2

? x ? 1?

2

综上可得,当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2.

???????12分

1.若|x-a|<h,|y-a|<k,则下列不等式一定成立的是(

)

(A)|x-y|<2h
(C)|x-y|<h+k

(B)|x-y|<2k
(D)|x-y|<|h-k|

【解析】选C.|x-y|=|(x-a)+(a-y)|≤|x-a|+|a-y|<
h+k.

2.设ab>0,下面四个不等式中, 正确的是( )

①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|; ③|a+b|<|a-b|;④|a+b|>|a|-|b|.

(A)①和②
(C)①和④

(B)①和③
(D)②和④

【解析】选C.≧ab>0,?a,b同号,
?|a+b|=|a|+|b|,?①④正确.

a?b 3.不等式 <1成立的充要条件是( a ?|b|

)

(A)a,b都不为零
(B)ab<0

(C)ab为非负数
(D)a,b中至少有一个不为零
a?b 【解析】选B. <1?|a+b|<|a|+|b|?a2+b2+2ab< a ?|b|

a2+b2+2|ab|?ab<|ab|?ab<0.

4.函数y=|x-4|-|x-6|的最大值为________. 【解析】利用绝对值的几何意义画出数轴,可知当x≥6时取得

最大值2.
答案:2

5.已知|x|<

? ? ,|y|< ? ,|z|< , 3 9 6

求证:|x+2y-3z|<ε .
【证明】|x+2y-3z|≤|x|+|2y|+|-3z|

=|x|+2|y|+3|z|< +
?|x+2y-3z|<ε.

? 3

2? 3? + =ε. 6 9


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