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浙江省杭州市西湖高级中学2014-2015学年高一数学下学期5月月考试题


杭西高 2015 年 5 月考高一数学试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 8 小题) 1.若非零实数 a, b 满足 a>b,则 ( A.a >b
3 3

) C.a >b
2 2

B.

1 a
2

?

1 b<

br />2

D.

1 1 ? a b

2.为得到函数 y ? sin( 2 x ? A.向左平移 C.向左平移

?
3

) 的图象 ,只需将函数 y ? sin( 2 x ?
B.向右平移 D.向右平移

?
6

) 的图像(



? ?
4 2

个单位长度 个单位长度

? ?
4 2

个单位长度 个单位长度

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集是( 3.不等式 2 x ? 2x ? 3
A.(-∞, -1)∪(1, 2)∪(3, +∞) C.(-1, 1) ∪(1, 2)

) B.(-1, 1)∪(2, 3) D.(1, 2)∪(2, 3) )

4. 设 D, E, F 分别为 ?ABC 的三边 BC, CA, AB 的中点,则 EB ? FC ? ( A. AD B.

1 ???? AD 2

C.

? 1 ??? BC 2

D. BC )

5.若 ? , ? 为锐角,且满足 cos ? ? (A)

17 25
?

(B)
?

3 5
?

4 3 , cos( ? ? ? ) ? ,则 sin ? 的值是( 5 5 7 1 (C) (D) 25 5
? ?

6.已知平面向量 OA 、 OB 、 OC 为三个单位向量,且 OA ? OB ? 0 , 满足 OC ? x OA ? y OB( x, y ? R) ,则 x ? y 的最大值为( A.1 B. 2 C. 3 D.2
? ?

?



7. ?ABC 各角的对应边分别 为 a , b, c ,满足 A. (0,

b c ? ? 1,则角 A 的范围是( a?c a?b



?
3

]

B. (0,

?
6

]

C. [

?
3

,? )

D. [

?
6

,? )

8.在锐角三角形 ABC 中,a,b,c 分别为内角 A,B,C 的对边,若 A=2B, 给出下列命题: ①

?
6

?B?

?

a 2 2 ;② ? ( 2, 3] ;③ a ? b ? bc .其中正确的个数是( 4 b
B. 1 C. 2 D. 3

)

A. 0 二、填空 题 9.已知 cos(

?

1 3? ? ? ) ? ? ,则 cos( ? ? ) 的值为____ ____ 4 3 4

10. ?ABC 满足 AB ? AC , BC ? 2 , G 为 ?ABC 的重心,则 BG ? BC ?
1

11 .设平面上有 4 个互异的点 A, B, C , D 已知 ( DB ? DC ? 2 DA) ? ( AB? AC) ? 0, 则 ?ABC 的形状是 ________________________ 12.已知: OA ? (?1,2),OB ? (3, m) ,若 OA ? OB ,则 m ? ;若 OA // OB ,则 m ?

??? ? ????

??? ?

??? ? ????

13. 已知函数 f(x)=

(x>1) ,当且仅当 x=

时,f(x)取到最小值为



14.已知向量 a ? (?1,2) , b ? (2,3) ,若 m ? ? a ? b 与 n ? a ? b 的夹角为钝角,则实数 ? 的取值范围是 ________ 15.已知 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边 为 a, b, c , A ? 60?, a ? 13, b ? 1 ,则 c ? ,

?

?

??

?

?

?

?

?

a?b?c ? sin A ? sin B ? sin C
三、解答题

___

16. 已知向量 m ? ?1,3cos ? ? , n ? ?1,4 tan ? ? , ? ? ( ?

??

?

?

?? ? (1)求 m ? n ;

2 2 ?? ? (2)设向量 m 与 n 的夹角为 ? ,求 tan(? ? ? ) 的值.

,

?

?? ? ) ,且 m ? n ? 5 .

17.设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2cos x ,1) , n ? (cos x , 3sin 2x) , x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,已知 f ( A) ? 2 , b ? 1 ,△ ABC 的面积为

?? ?

??

?

3 ,求 a . 2

2

18. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a 2 ? c 2 ? ?a ? b? ? b . (Ⅰ)若 2cos2B-8cosB+ 5=0,判 断 ?ABC 的形状; (Ⅱ)若 ?ABC 为锐角三角形,求

ab 的取值范围. c2

19. 某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量 x 万件与年促销费用 m 万元( m ? 0 )满足

x ? 3?

k ( k 为常数) ,如果不搞促销活动,该产品的年销售量只能是 1 万件。已知生产该产品 m ?1

的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要投入 16 万元,厂家将每件产品的价格定为 年平均每 件产品成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) (1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 (2)该厂家年促销费用投入为多少万元时,厂家的年利润最大?最大年利润是多少万元?

20. 已知向量 m=(2sin? , sin? +cos? ) ,n ? (cos? ,?2 ? m) , 函数 f (? ) ? m ? n 的最小值为 g (m)(m ? R) (1)当 m ? 1 时,求 g ( m) 的值; (2)求 g ( m) ;
3

??

?? ?

(3) 已知函数 h( x) 为定义在 R 上的增函数,且对任意的 x1 , x2 都满足 h( x1 ? x2 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) 问: 是否存在这样的实数 m,使不等式 h( f (? )) ? h(

4 ? ) + h(3 ? 2m) ? 0 对所有 ? ? [0, ] 恒成立,若 sin ? ? cos ? 2

存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由

4

杭西高 2015 年 5 月考高一数学答卷 一、选择题

1

2

3

4

5

6

7

8

二、 填空题 9. _________________ 12.___________________ 13.___________________ 14.___________________ 三. 解答题 16. 已知向量 m ? ?1,3cos ? ? , n ? ?1,4 tan ? ? , ? ? ( ? 10. _________________ 11. ____________________ ____________________ 15.___________________ ____________________ _________________

??

?

?

?? ? (1)求 m ? n ;

2 2 ?? ? (2)设向量 m 与 n 的夹角为 ? ,求 tan(? ? ? ) 的值.

,

?

?? ? ) ,且 m ? n ? 5 .

17.设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2cos x ,1) , n ? (cos x , 3sin 2x) , x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; 对边,已知 f ( A) ? 2 , b ? 1 ,△ ABC 的面积为 (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的

?? ?

??

?

3 ,求 a . 2

5

18. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a 2 ? c 2 ? ?a ? b? ? b . (Ⅰ)若 2cos2B-8cosB+ 5=0,判断 ?ABC 的形状; (Ⅱ)若 ?ABC 为锐角三角形,求

ab 的取值范围. c2

19. 某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量 x 万件与年促销费用 m 万元( m ? 0 )满足

x ? 3?

k ( k 为常数) ,如果不搞促 销活动,该产品的年销售量只能是 1 万件。已知生产该产品 m ?1

的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要投入 16 万元,厂家将每件产品的价格定为年平均每 件产品成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) (1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 (2)该厂家年促销费用投入为多少万元时,厂家的年利润最大?最大年利润是多少万元?

6

20. 已知向量 m=(2sin? , sin? +cos? ) ,n ? (cos? ,?2 ? m) , 函数 f (? ) ? m ? n 的最小值为 g (m)(m ? R) (1)当 m ? 1 时,求 g ( m) 的值; (2)求 g ( m) ; (3)已知函数 h( x) 为定义在 R 上的增函数,且对任意的 x1 , x2 都满足 h( x1 ? x2 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) 问:是 否存在这样的实数 m,使不等式 h( f (? )) ? h(

??

?? ?

4 ? ) + h(3 ? 2m) ? 0 对所有 ? ? [0, ] 恒成立,若存 sin ? ? cos ? 2

在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由

7

杭西高 2015 年 5 月考高一数 学答卷 一、选择题

二、 填空题

1

2

3

4

5

6

7

8

9. 11.

1 3

A

B

B

A

C

B

A

C

10.

2

等腰三角形

12.

3 , -6 2
15.

13. 2, 2 三. 解答题

14.

? ? 9且? ? ?1
?

4,

2 39 3

16. 已知向量 m ? ?1,3cos ? ? , n ? ?1,4 tan ? ? , ? ? ( ?

??

?

?? ? (1)求 m ? n ;

2 2 ?? ? (2)设向量 m 与 n 的夹角为 ? ,求 tan(? ? ? ) 的值. 1 , 2分 3

,

?

?? ? ) ,且 m ? n ? 5 .

(1)由 m ? n ? 1 ? 12cos ? tan ? ? 5 ,解得 sin ? ? 因为 ? ? ( ?

?? ?

2 2 2 , tan ? ? . 4分 2 2 4 3 ?? ? ?? ? 则 m ? 1, 2 2 , n ? 1, 2 ,所以 m ? n ? (2,3 2) ,
, ) ,所以 cos ? ?

?

?

?

?

?

?

所以 m ? n ?

??

?

22 . 6 分
??

(2)由(1)知 m ? 1, 2 2 , n ? 1, 2 ,则 cos ? ? cos m, n ?

?

?

?

?

?

?? ?

5 3? 3

?

5 3 , 8分 9

sin ? ? 1 ? (

5 3 2 6 2 ,所以 tan ? ? , 10 分 ) ? 5 9 9

2 2 ? 4 5 ? 2 . 12 分 所以 tan(? ? ? ) ? 2 2 2 1? ? 4 5

8

17.设函数 f ( x) ? m ? n ,其中向量 m ? (2cos x ,1) , n ? (cos x , 3sin 2x) , x ? R . (1)求 f ( x) 的最小正周期与单调递减区间; 对边,已知 f ( A) ? 2 , b ? 1 ,△ ABC 的面积为 (2)在△ ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的

?? ?

??

?

3 ,求 a . 2

解(1)根据向量数量积的坐标运算以及二倍角公式、辅助角公式可得 f ( x) ? m ? n ?

2 sin( 2 x ?
为[

?
6

) ? 1 ,故周期 T ?

2? ? ? 3? ? ? ,再由 ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? , k ? Z ,可得单调减区间 2 2 6 2

?
6

? k? ,

2? ? 1 1 3 3 ? k? ] , k ? Z ; (2) 由 f ( A) ? 2 , 可得 A ? , S ?ABC ? bc sin A ? ? 1 ? c ? ? 3 3 2 2 2 2

? c ? 2 ,由余弦定理可得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 3 ? a ? 3

18. 在 ?ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 的对边,已知 a 2 ? c 2 ? ?a ? b? ? b . (Ⅰ)若 2cos2B-8cosB+ 5=0,判断 ?ABC 的形状; (Ⅱ)若 ?ABC 为锐角三角形,求

ab 的取值范围. c2

ab 4 ? sin A sin B c2 3

9

∵ sin A sin B ? sin A sin(

2? 3 1 ? A) ? sin A( cos A ? sin A) 3 2 2
… … … 10 分

?

? 1 3 1 1 1 sin 2 A ? cos 2 A ? ? sin(2 A ? ) ? 6 4 4 4 4 2

2 ab 4 ?? 1 ? sin ? 2 A ? ? ? ( ,1] , 2 ? sin A sin B ? ( ,1] 3 c 3 6? 2 ?
19. 某厂家拟举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量 x 万件与年促销费用 m 万元( m ? 0 )满足

x ? 3?

k ( k 为常数 ) ,如果不搞促销活动,该产品的年销售量只能是 1 万件。已知生产该产品 m ?1

的固定投入为 8 万元,每生产 1 万件该产品需要投入 16 万元,厂家将每件产品的价格定为年平均每 件产品成本的 1.5 倍( 产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括促销费用) (1)将该产品的年利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数 (2)该厂家年促销费用投入为多少万元时,厂家的年利润最大?最大年利润是多少万元?

20. 已知向量 m=(2sin? , sin? +cos? ) ,n ? (cos? ,?2 ? m) , 函数 f (? ) ? m ? n 的最小值为 g (m)(m ? R) (1)当 m ? 1 时,求 g ( m) 的值; (2)求 g ( m) ; (3)已知函数 h( x) 为定义在 R 上的增函数,且对任意的 x1 , x2 都满足 h( x1 ? x2 ) ? h( x1 ) ? h( x2 ) 问:是 否存在这样的实数 m,使不等式 h( f (? )) ? h(

??

?? ?

4 ? ) + h(3 ? 2m) ? 0 对所有 ? ? [0, ] 恒成立,若存 sin ? ? cos ? 2

在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明理由 解:1) f (? ) ? sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? )
2 令 t ? sin ? ? cos ? , t ?[- 2, 2] ,则 sin 2? ? t ? 1

当 m ? 1 时, g(m)=(t ? 3t ?1)min ? 1 ? 3 2
2

(2) f (? ) ? F (t ) ? t ? (m ? 2)t ?1 , t ?[- 2, 2]
2

10

?(m ? 2) 2 ? 1, m ? ?2 2 ? 2 ? ? m 2 ? 4m ? 8 g(m)= ?? , ?2 2 ? 2 ? m ? 2 2 ? 2 4 ? ?1 ? (m ? 2) 2, m ? 2 2 ? 2 ?
(3)易证 h( x) 为 R 上的奇函数

4 ? ? ? h(3 ? 2m) ? 0 成立, sin ? ? cos ? ? ? ? 4 ? ? 只须 h ?sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ? ? ?h(3 ? 2m) ? h(?3 ? 2m) , sin ? ? cos ? ? ? ? 4 ? ?3 ? 2m , 又由 f ( x) 为单调增函数有 sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ? sin ? ? cos ? ? ? 令 t ? sin ? ? cos ? ,则 sin 2? ? t 2 ? 1 ,?? ?[0, ], ? t ? 2 sin(? ? ) ? [1, 2] 4 2 4 2 原命题等价于 t ? 1 ? (m ? 2)t ? ? 3 ? 2m ? 0 对 t ? [1, 2] 恒成立; t 2 t (2 ? t ) ? (2 ? t ) 4 2 t ? (2 ? t )m ? 2t ? t 2 ? ? 2 ,即 m ? ?t? . t 2?t t
要使 h ?sin 2? ? (2 ? m)(sin ? ? cos ? ) ? 由双勾函数知 g (t ) 在 [1, 2] 上为减函数,? m ? 3 时,原命题成立

11


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