当前位置:首页 >> 学科竞赛 >>

(广东省)2011年预赛试题与解答


我爱奥赛网 www.52aosai.com

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 { a n } 满足 a1 ? 1, a 2 ? 4, a 3 ?

9, a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 , n ? 4, 5,... ,则
a 2011 ?

.

2. 不 等 式 s i n 2 x ? a c o s x ? a 2 ? 1 ? c o s x 对 一 切 x ? R 成 立 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 为 .

3. 已知定义在正整数集上的函数 f ( n ) 满足以下条件: (1) f ( m ? n ) ? f ( m ) ? f ( n ) ? m n ,其中 m , n 为正整数; (2) f (3) ? 6 . 则 f ( 2 0 1 1) ? .

4. 方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? 2 0 1 1 ? 2 0 1 1 一共有

个解.

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的棱长最 大等于 .

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ? ? 2 ? x ? 2 ? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能接触到
2

杯底的球的半径最大是
1 sin 4 5 ? sin 4 6 ?

.
1 sin 4 6 ? sin 4 7 ? 1 sin 8 9 ? sin 9 0 ?

7. 计算:

?

? ... ?

? _____

.

8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求每种颜 色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

我爱奥赛网 www.52aosai.com

9. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求

1 n ?1

?

1 n?2

? ... ?

1 2n

的最小值.

10. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把线段分成三 段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 11 . 本 小 题 满 分 20 分 ) 数 列 a 0 , a1 , ..., a n , ... 满 足 a 0 ? 0 , a1 ? 1 ,a 2 ? 0 当 n ? 3 时 有 ( ,
an ? 2 n ?1 ( a 0 ? a 1 ? . .? a n ? .
2

.) 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 a n ?

n 10

.


1、答案:8041.



由题意, a 2 ? a 1 ? 3 , a 3 ? a 2 ? 5 ,且 a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? a n ? 3 ( n ? 4). ∴ a 2 n ? a 2 n ?1 ? 3 , a 2 n ? 1 ? a 2 n ? 5 ?n ? N * ? . ∴ a 2 n ? 1 ? a 2 n ?1 ? 8 ,
1005

∴ a 2011 ?

? (a
k ?1

2 k ?1

? a 2 k ?1 ) ? a1 ? 1 0 0 5 ? 8 ? 1 ? 8 0 4 1

2、答案: a ? 1 或 a ? ? 2 . 由题意, a cos x ? a 2 ? cos 2 x ? cos x ,即 cos 2 x ? ?1 ? a ? cos x ? a 2 ? 0 对 ? x ? R 成立. 令 f ? t ? ? t 2 ? ? 1 ? a ? t ? a 2 ( ? 1 ? t ? co s x ? 1).
? f ? 1 ? ? 0, ? ? ∴? ? f ? ? 1? ? 0 . ?
2 ? ?1 ? ? 1 ? a ? ? a ? 0, ? 2 ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0 . ?

解得 a ? ? 2 或 a ? 1 . 3、答案:2023066. 在(1)中,令 n ? 1 得, f ? m ? 1 ? ? f ? m ? ? f ?1 ? ? m . 令 m ? n ? 1 得, f ? 2 ? ? 2 f ?1 ? ? 1 . ① ② ③

令 m ? 2, n ? 1 ,并利用(2)得, 6 ? f ? 3 ? ? f ? 2 ? ? f ?1 ? ? 2 . 由③②得, f ? 1 ? ? 1, f ? 2 ? ? 3 .

我爱奥赛网 www.52aosai.com

代入①得, f ? m ? 1 ? ? f ? m ? ? m ? 1 .
2010

∴ f ( 2 0 1 1) ?

? [ f ( k ? 1) ?
k ?1

2010

f ( k )] ? f (1) ?

? ( k ? 1) ? 1
k ?1

? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011

?

2011 ? 2012 2

? 2023066

.

4、答案:4. 方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0 或 ? 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ? 1或 ? 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ? 3或 ? 9 ; 方程 方程
x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ? 6 或 ? 14 ;

x ?1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5

的所有解为 x ? ? 10 或 ? 20 ;

一般地,方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? n ? n ( n ? 2 ) 的所有解为
x ? ? n ( n ? 1) 2 或 ? n ( n ? 3) 2

.

5、答案:11 厘米. 设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, 所以, 3 a ? 20( a ? N * ) ,即 a ? ∴ a ? 11 ,即 a m ax ? 1 1 .
20 3 3 (a ? N )
*



6、答案: .
2

1

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,
? x 2 ? ? y ? r ?2 ? r 2 ? 2 2 ? x ?1 ? 2 r ? x ? ? 0 . 由? 2 y ? x ? ?

由题意,方程 x 2 ? 1 ? 2 r ? 0 没有非零实数解.

我爱奥赛网 www.52aosai.com

∴ x2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ?

1 2

.

7、答案:

1 s in 1 ?

.
? 1 sin 1 ? sin n ? sin ? n ? 1 ? ? 1 sin 1 ? 1 sin 1 ? ? sin ? n ? 1 ? ? co s n ? ? co s ? n ? 1 ? ? sin n ? sin n ? sin ? n ? 1 ? ? ? sin ? ? n ? 1 ? ? ? n ? ?

1 sin n ? sin ? n ? 1 ? ?

? ?

? ? co t n ? ? co t ? n ? 1 ? ? ? . ? ?
? 1) ? ?

原式 ?
? ?

k ? 45

?

89

1 sin 1 ?

? co t k ? ? co t( k

1 sin 1 ? 1 sin 1 ?

? co t 4 5 ? ? co t 9 0 ? ?
.

8、答案:1530. 推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 a n , 则 a 3 ? 6 , a 4 ? 18 , a n ? 1 ? 2 a n ? 6 ? n ? 3 ? . 从而, a n ? 1 ? 6 ? 2 ? a n ? 6 ? ? a n ? ? a 3 ? 6 ? ? 2 n ? 3 ? 6 . ∴ a 10 ? 12 ? 2 7 ? 6 ? 1530 .
1 1 5 1 k ?1 1 k ?2 1 k ?1 1 k ?1 1 k ?1 1 6 ? 37 60 1 k ?2 1 k ?3 1 k ?2 1 k ?2 1 k ?2

9、解:当 n ? 3 时, ?
4

?

?

. ? ... ? 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k 1 2k ? 37 60 1 2k ? 1 1 2k ? 1 1 2k ? 1 1 2k ? 2 1 2k ? 2 1 2k ? 2 1 k ?1 .

假设 n ? k ? k ? 3 ? 时, 则当 n ? k ? 1 时,

? ? ? ?

? ... ? ? ... ? ? ... ? ? ... ?

? ? ?

? ? ?

? ? ?

?

我爱奥赛网 www.52aosai.com

?

37 60

.

因此,所求最小值为

37 60

.

10、解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设开始时的

线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.
? x ? ( y ? x) ? 1 ? y ? ? ? x ? (1 ? y ) ? y ? x ? ? ? ? ? y ? x ? ? ?1 ? y ? ? x ?
? y ? 1 2 ? y ? x ? 1 2 1 2 ? x ? . , ,

如下图所示, “成功”的区域是由不等式
1 8
1 2

y ?

1 2

,y

? x ?

1 2



x ?

1 2

围成的三角形,

面积为 ,而整个区域的面积为

(因为 y>x).

1?1

∴ P (成 功 ) ?

1? ? ? ? 2? 2 2? 1 2

?

1 4

.

?1 ? 1?
1 4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是

.

11、证法 1: 证 明 : 由 已 知 得 ( n ? 1) a n ? 2( a 0 ? a1 ? ... ? a n ? 2 ) , 在 上 式 中 以 n ? 1 代 替 n 得 到

我爱奥赛网 www.52aosai.com

n a n ? 1 ? 2 ( a 0 ? a1 ? ... ? a n ?1 ) ,

两式相减得 na n ? 1 ? ( n ? 1) a n ? 2 a n ?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立. 设 bn ?
an n?2

,则

n ( n ? 3) b n ? 1 ? ( n ? 1)( n ? 2 ) b n ? 2 ( n ? 1) b n ? 1 .

由于 n ( n ? 3) ? ( n ? 1)( n ? 2 ) ? 2 (n ? 1) ,故 b n ? 1 应在 b n 与 b n ? 1 之间. 由于 a 3 ? 1, a 4 ? 故 b3 ?
1 5 , b4 ? 1 9

2 3



. 因此当 n ? 3 时,均有 b n ? [ , ] ,故 a n ? ( n ? 2 ) b n ?
9 5

1 1

n?2 9

?

n 10

,证毕.

证法 2: 证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1? 当 n = 3, 4 时, a3 = 1 ≥ 5 2 6 ,a = ≥ . 10 4 3 10 n+2 ?n ≥ 3?. 10

结论成立. 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, an + 1 = = > = = > 2 ?a + a1 + ? + an-1? n 0 2 ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? n 2 5 6 n+1 ?1 + + + ? + ? n 10 10 10 ?n + 6??n-3? 2 ?1 + ? n 20 2 n 2 + 3n + 2 n 20 n+3 . 10 n+2 ?n ≥ 3? 成立. 10

所以结论对 n + 1 时亦成立. 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ 因此 an ≥

n+2 n > ?n ≥ 3? 成立. 10 10

从而本题得证.


相关文章:
(广东省)2011年预赛试题与解答
全国数学联赛 预赛试题答案全国数学联赛 预赛试题答案隐藏>> 我爱奥赛网 www.52aosai.com 2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案(考试时间:2011 年 9 月...
2011年广东省育苗杯初赛试题及答案
2011年育苗杯复赛试题 2页 免费如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 2011年广东省育苗杯初赛试题答案 2011年...
2011年广东省高中学生化学竞赛试题及答案(word)
2011 年广东省高中学生化学竞赛试题及答卷 2011 年 7 月 10 日 共 16 页 16-1 2011 年广东省高中学生化学竞赛试题及答卷本试卷共 16 页,满分为 120 分。...
2011年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题及答案
教学质量有保证 www.szjjedu.com 2011 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1....
02-2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及详细参考答案
2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分....
2011年广东省高中学生化学竞赛试题及答案
C –1.5 4.3 –3.8 5.1 由上表可得出的正确结论是 2011 年广东省高中学生化学竞赛试题及答卷 A.Na2CO3 溶液和盐酸的反应是吸热反应 B.NaHCO3 溶液和盐酸...
2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案
2011 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案 (考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分...
2010-2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案
2010-2012年全国高中数学联赛广东省预赛试题答案_学科竞赛_高中教育_教育专区。...bc ? ca ? 2011 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案 1.答案:8041. ...
2011年广东省第三届中学生地理奥林匹克竞赛试题及答案
2011年广东省第三届中学生地理奥林匹克竞赛试题答案_政史地_初中教育_教育专区。广东省地理竞赛201 1 年广东省第三届中学生地理奥林匹克竞赛(初中组 ) 一、单项...
更多相关标签:
33届物理竞赛预赛试题 | 32届物理竞赛预赛试题 | 2011年亚洲杯预选赛 | 2015物理竞赛预赛试题 | 2016物理竞赛预赛试题 | 高中物理竞赛预赛试题 | 2011亚洲杯预选赛 | 物理竞赛预赛试题 |