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陕西省西北工业大学附属中学2016届高三第十次适应性考试数学(文)试题 Word版含答案


2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练 数学(文科) 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {x | ? x ? 1?? x ? 3? ? 0}, 则

A ? (C R B) 等 于( ) B. ?? 2,?1? C. ?? 2,?1? D. ?2,3?

A. (?1, 2)

2.设复数 z 错误!未找到引用源。的共轭复数为 z ,且满足 z ? z ? 复数 z 错误!未找到引用源。的虚部 是( .. A.错误!未找到引用源。 用源。 )

1? i , i 为虚数单位,则 1? i

B.错误!未找到引用源。

C.错误!未找到引

D.错误!未找到引用源。 )

3.抛掷两枚质地均匀的骰子,向上的点数之差的绝对值为 3 的概率是( A.

1 9

B.

1 6
2

C.
?2 x

1 18

D.

1 12


4.已知 a ? 1, f ?x? ? a x A. ? 2 ? x ? 0

,则使 f ?x ? ? 1 成立的一个充分不必要条件是( C. ? 1 ? x ? 0 D. ? 1 ? x ? 0

B. ? 2 ? x ? 1

5 .定义运算 a ? b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则

?? ? ?? ? ? sin ? ? ? cos ? 的值为( 3? ? 3? ?
A.

)

2? 3 4

B.

2? 3 4

C.

1 4

D.

3 4

6.已知向量 a ? ?3,1? , b ? ?1,3? , c ? ?k ,?2? ,若 a ? c // b ,则向 量 a 与向量 c 的夹角的余弦值是( A. )

? ?
D. ?

5 5

B.

1 5

C. ?

5 5

1 5

7.设函数 f ?x ? ? sin ?x

?? ? 0? ,将 y ? f ?x ?的图象向右平移 ? 个单位
6


长度后,所得图象关于 y 轴对称,则 ? 的最小值是(

-1-

A.

1 3

B. 3

C. 6

D. 9

8.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去一部分后所得几何体的三视图如图所示,则 该截面的面积为( A. 2 10 ) C.

B. 2 2

9 2

D.

3 10 2

?x ? 2y ? 5 ? 0 ? 9.若整数 ..x , y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 3x ? 4 y 的最小值为( ? x ? 0, y ? 0 ?
A. 13 B. 16 C. 17 D. 18
0

)

10.过抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线 l 交抛物线于 A, B 两点,且

| AF |?| BF | ,则
A. 3

| AF | 的值为( | BF |
C.



B. 2

3 2

D.

4 3

11.已知数列 ?an ? 是等比数列,若 a2 a5 a8 ? ?8 ,则

1 4 9 ( ? ? a1 a5 a1 a9 a5 a9



A.有最大值

1 2

B.有最小值

1 2

C.有最大值

5 5 D.有最小值 2 2

x 2 12.已知函数 f ? x ? ? xe (注:e 是自然对数的底数) ,方程 f ? x ? ? tf ? x ? ? 1 ? 0 ,? t ? R ?

有四个实数根,则 t 的取值范围为( A. ? ?

)

? e2 ? 1 ? ? ? e2 ? 1 ? ? e2 ? 1? e2 ? 1? ? ? ? ? ? B . C . D . ,?? ? ? ? , ? ? , ? 2 ? ? ? ? ? 2, e ? ? e ? e ? e ? ? ? ? ? ? ?
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.

第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分,把答案填写在答题卡相应的位置) 13.已知由一组样本数据确定的回归直线方程为 y ? 1.5x ? 1 ,且 x ? 2 ,发现有两组数据

(2.4, 2.8) 与 (1.6,5.2) 误差较大,去掉这两组数据后,重新求得回归直线的斜率为 1 ,那么当
x ? 4 时, y 的估计值为


-2-

14.椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1, F2 , 焦距为 2c .若直线 a 2 b2

y ? 3( x ? c) 与椭圆 C 的一个交点 M 满足 ?MF1F2 ? 2?MF2 F1, 则该椭圆的离心率等
于 ;

15.已知 x ? (0, ??) ,观察下列各式: x ?

1 4 x x 4 ? 2, x ? 2 ? ? ? 2 ? 3, x x 2 2 x 27 x x x 27 a x ? 3 ? ? ? ? 3 ? 4 , ? 类比得 x ? n ? n ? 1(n ? N * ) ,则 a ? x 3 3 3 x x



16.若数列 ?an ? 是正项数列,且 a1 ? a2 ? ?? an ? n 2 ? 3n 错误!未找到引用源。 ,则

a a1 a 2 ? ? ? ? n ? 错误!未找到引用源。 2 3 n ?1



三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)己知函数 f ? x ? ? (Ⅰ)当 x ? ? ?

3 sin x cos ? sin 2 x ?

1 ?x ? R ? , 2

? ? ?? , 时,求函数 f ?x ? 的最小值和最大值; ? 4 6? ?

(Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ?

3 , f ?C ? ? 2 ,若向量

m ? ?1, a? 与向量 n ? ?2, b? 共线,求 a , b 的值.

18.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,

AB ? 侧面 ABB 1A 1 为矩形,

D 为 AA1 2, AA1 ? 2 ,

的中点, BD 与 AB1 交于点 O ,CO ? 侧面 ABB 1A 1. (Ⅰ)证明: CD ? AB1 ; (Ⅱ)若 OC ? OA ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.

19.(本小题满分 12 分) 某微信群共有 60 人(不包括群主),春节期间,群主发 60 个随机红包

-3-

(即每个人抢到的红包中的钱数是随机的,且每人只能抢一个).红包被一抢而空.据统计,

60 个红包中钱数(单位:元)分配如下表:
分组 频数

[0,1)
3

[1, 2)
15

[2,3)
24

[3, 4)
12

[4,5)
6

(Ⅰ)在下表中作出这些数据的频率分布直方图; (Ⅱ)估计红包中钱数的平均数及中位数; (Ⅲ)若该群中成员甲、乙二人都抢到 4.5 元红包,现系统将从抢到

4 元及以上红包的人中随机抽取 2 人给群中每个人拜年,求甲、乙二人至少有一人被选中的概
率.

20.(本小题满分 12 分) 已知圆 C 的圆心是直线 x ? y ? 1 ? 0 与 x 轴的交点,且圆 C 与直线

x ? y ? 3 ? 0 相切.
(Ⅰ)求圆 C 的标准方程; (Ⅱ)过原点 O 的动直线 l 与圆 C 交于 A、B 两点,问 x 轴上是否存在定点 M ( x0 , 0) ,使得当

l 变动时,总有直线 MA 、MB 的斜率之和为 0 ?若存在,求出 x0 的值;若不存在,说明理由.

错误!未找到引用源。 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x ? b(ln x ? 1) ? 1的图像在 x ? 1 处的切线方程为

x ? 2y ? 3 ? 0 .
(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时,恒有 x ? ln x ; (Ⅲ)当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? (m ? 1) x ?

x ? 1,求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写

-4-

清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于 点 E , ?BAC 的 平 分 线 与 BC 相 交 于 点 D ,

AE ? 2 BD ? 2 ,
(Ⅰ)求证: EA ? ED ; (Ⅱ)求 DC ? BE 的值.

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 cos? ( ? 为参数) ,在以原点 O ? y ? sin ?
? ?

为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ?? ? (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)设点 P?0,2? ,直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.

??

?? 2. 4?

24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲
2 2 已知实数 m, n 满足关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 3 x ? 6 x ? 9 的解集为 R ,

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? m ? n ,求证: a ? b ? c ? 3 .

-5-

2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练 数学(文科)答案 一.选择题:CABCD ABCBA DB

二.填空题:13. 6 ;

14. 3 ? 1 ;

15. n

n



16. 2n ? 6n
2

三.解答题: 17. 【解答】 : (Ⅰ) f ? x ? ? sin ? 2 x ? 最小值为 0 ; (Ⅱ)由 f ? C ? ? 2 知, C ? 又 c ? a ? b ? ab , c ?
2 2 2

? ?

??

3 ? ? 1 ,则 f ? x ? 的最大值为 2 , 6?

?
3

,由 m / / n 知, b ? 2a , 则?

??

?

3

?a ?1 ?b ? 2
2 ,在 RT?ABB1 2

18.【解答】:(Ⅰ)证明:由题意可知,在 RT ?ABD 中, tan?ABD ? 中,

tan?AB1 B ?

2 2

.





?ABD ? ?AB1 B







?ABD ? ?BAB 1 ? ?AB1 B ? ?BAB 1 ?

?
2



所以 AB1 ? BD ,又 CO ? 侧面 ABB 1A 1 ,所以 AB 1 ? CO . 又 BD ? CO ? O ,所以 AB1 ? 平面 CBD ,所以 AB1 ? BC .

(Ⅱ)在 Rt ?ABD 中, BD ?

AB2 ? AD2 ? 3

OC ? OA ?

AD ? AB 6 ? BD 3

1 1 1 2 3 1 6 ? VB1 ? ABC ? VC ? ABB1 ? S ?ABB1 ? CO ? ? AB ? BB1 ? OC ? ? 2 ? 2 ? 3 3 2 9 6 3
19. 【 解 答 】 : ( Ⅰ ) 略 ( Ⅱ )

x ? 0.5 ? 0.05 ? 1.5 ? 0.25 ? 2.5 ? 0.40 ? 3.5 ? 0.20 ? 4.5 ? 0.10 = 2.55 (元)

-6-

设中位数为 x ,则 0.05 ? 0.25 ? ( x ? 2) ? 0.40 ? 0.5 则 x ? 2.5 (元) (Ⅲ)该群中抢到红包的钱数不小于 4 元的人数是 6 ;记为: a, b, c, d , 甲,乙 现从这 6 人中随机抽取 2 人,基本事件数是: ab, ac, ad , a 甲, a 乙 , bc, bd , b 甲, b 乙, cd , c 甲, c 乙; d 甲, d 乙,甲乙共 15 种 其中甲、乙二人至少有一人被选中的基本事件为: a 甲, a 乙, b 甲, b 乙, c 甲, c 乙,

d 甲, d 乙,甲乙,共 9 种,
所以对应的概率为: P ?

9 3 ? 15 5

20 . 【解答】 : ( Ⅰ ) 圆 心 C ( ?1,0) , 半 径 r ?

| ?1 ? 3 | 12 ? 12

? 2 , 圆 C 的标准方程为

( x ? 1)2 ? y 2 ? 2
(Ⅱ)存在定点 M ,且 x0 ? 1 ,证明如下: 设 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,直线 MA 、 MB 的斜率分别为 k1 , k2 . 当 l 的斜率不存在时,由对称性可得 ?AMC ? ?BMC , k1 +k2 =0 ,符合题意 当 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y ? kx ,代入圆 C 的方程 整理得 ( k ? 1) x ? 2 x ? 1 ? 0
2 2

∴ x1 ? x2 ? ?

2 1 . , x1 x2 ? ? 2 k ?1 k ?1
2

∴ k1 ? k2 ?

2kx1 x2 ? kx0 ( x1 ? x2 ) (2 x0 ? 2)k y1 y2 = . ? ? ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )( k 2 ? 1) x1 ? x0 x2 ? x0 ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 )
所以存在定点 M (1,0) 符合题意, x0 ? 1 .

当 2 x0 ? 2 ? 0 ,即 x0 ? 1 时,有 k1 ? k2 ? 0 , 21. 【解答】 : (Ⅰ)∵ f ?( x) ?

b ? , f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 2 x x

a

? f (1) ? 1 ?a ? b ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? ? ∴? 1 ? ?a 1 ?? f ?(1) ? ? ?b? ? ?b ? ?1 ? ? ? ?2 2 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ?

x ? ln x ,∴ f ?( x) ?

1 2 x

?

1 ? x

x ?2 2x

当 x ? (0, 4) , f ?( x) ? 0 ,当 x ? (4, ??) , f ?( x) ? 0 , ∴ f ( x) ? f (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,即 x ? ln x (Ⅲ) f ( x) ? (m ? 1) x ?

x ? 1,即 m ? 1 ?

1 ln x ? 在 (0, ?? ) 恒成立 x x
-7-

设 g ( x) ? 1 ?

1 ln x 1 1 ? ln x ln x ? 2 ' ? ? 则 g ( x) ? ? 2 ? x x x x2 x2
2

易得 g ( x ) 在 (0, e2 ) 上单调递减,在 (e2 , ??) 上单调递增,所以 g ( x ) min ? g (e ) ? 1 ? 所以 m ? 1 ?

1 e2

1 e2

22. 【解答】 (Ⅰ)因为 AE 为圆的切线,所以 ?CAE ? ?ABD , 又因为 AD 平分 ?BAC ,所以 ?BAD ? ?DAC ,

? ? BA , D ? DA? E ? D A? C? ,C A E ?D A E ? ? A D E 因 为 ?A D B ? ? A B D 所 以 ,所以
E A? E D
2 (Ⅱ) EA ? DE ? 2, EB ? ED ? DB ? 3 ,因为 EA ? EC ? EB ,所以 EC ?

4 , 3

则 DC ?

2 ,所以 DC ? BE ? 2 3

23. (Ⅰ)曲线 C 的普通方程:

x2 ? y2 ? 1, 9
3? 4

直线 l 的直角坐标方程: x ? y ? 2 ? 0 ,倾斜角为

? 2 x?? ? ? 2 ( t 为参数) (Ⅱ)由上知, P 在直线 l 上,设直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 2 ? 2 ?
代入曲线 C 的方程得: 5t ? 18 2t ? 27 ? 0 ,
2

由直线上的点 ?2,0? 在曲线 C 内知方程有两个不同的解 t1 , t 2 ,即为点 A, B 对应的参数,则

t1 ? t 2 ? ?

18 2 27 , t1t 2 ? , t1 ? t 2 ? 0, t1t 2 ? 0 ,则 t1 ? 0, t 2 ? 0 , 5 5 18 2 5

所以 PA ? PB ? ??t1 ? t 2 ? ?

24. (Ⅰ)将 x ? 3, x ? ?1代入不等式得 ? (Ⅱ) a ? b ? c ? 1 ,由柯西不等式知,

?3m ? n ? 9 ? 0 ?m ? ?2 ,得 ? ? n ? m ?1 ? 0 ? n ? ?3

? a ? b ? c ??1 ? 1 ? 1? ? ?

a ? b ? c ,所以 a ? b ? c ? 3

?

2

-8-


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