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指数函数图像和性质


指数函数模样和性格

(一)指数函数模样分析:

底为常数

指数为自变量

为后面研究函 数图象性质 埋下伏笔

形如

y ? a x( a ? 0 , 且a ? 1 ) 的函数叫做指数函数,
幂为函数

其中 x为自变量,定义域为 R

模样探究1:为什么要规定a>0,且a

?

1 呢?

①若a=0,则当x>0时,
当x

?

=0; x 0时, a 无意义.

a

x

②若a<0,则对于x的某些数值,可使
x

1 x= 如 (?2) 2 ……等等,在实数范围内函数值不存在. ③若a=1,则对于任何x ? R,
x

1 ,这时对于x= 4

a

x

无意义.

a =1,是一个常量,没有研究的必要性.
为了避免上述各种情况,所以规定a>0且a?1。 在规定以后,对于任何x ? R,a x 都有意义,且 a x >0. 因此指数函数的定义域是R,值域是(0,+∞).

模样探究2:函数 y ? 2 ? 3 x 是指数函数吗?
x x a 指数函数的解析式y= 中,a 的系数是1.

有些函数貌似指数函数,实际上却不是,如

y ? ax ? k

(a>0且a

? 1,k? Z);
x

有些函数看起来不像指数函数,实际上却是,如

y ? a? x
因为它可以化为

(a ? 0, 且a ? 1)
?1? y ?? ? ?a?

1 1 ( ? 0, 且 ? 1) a 2

狠狠的结论吧:
函数y ? a ( a ? 0且a ? 1 )叫做指数函数,
x

其中 x 为自变量,定义域为 R
下列函数中,哪些是指数函数?

我 不 是
x

y ? 4x

y? x

4

y ? ?4

y ? 4 x ?1

我能行: 判断下列函数哪些是指数函数?
不是 ,(2)y=3· (1) y=2 x +1 4 X 不是 , 是 , (4) y=(-2)x 不是 , 是 不是

(3) y=3

x

(5)

y=10 x

,(6)

y=2 x+1



(二)模样分析

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

(三)指数函数

的图像及性质

a>1

图 象
y=1

y

0<a<1
y=ax
(a>1)

y=ax
(0<a<1)

y

(0,1)

y=1 x

(0,1)

当 x > 0 时,y > 1. 当 x < 0 时,. 0< y < 1

0

x

0 y > 1; 当 x < 0 时,
当 x > 0 时, 0< y < 1。

定义域: R 性 值 域: ( 0,+ ∞ ) 恒 过 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . 质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数

(四)深入探究,加深理解
y

观察它们图 像,顺藤摸瓜找 图像与底的关系

在第一象限 沿箭头方向 底增大

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

(五)我一定能行
? 例1: 比较下列各题中两值的 大小
(1) 1.72.5 , 1.73; (2) 0.8-01,0.8-02 不同底数幂比大小,利 用指数函数图像与底的关 ( 4) 与 系比较 同底指数幂比大小, 构造指数函数,利用函数 单调性 同底比较大小 不同底但可化同底

(3)



(5)(0.3) -0.3 与 (0.2) -0.3

不同底但同指数

利用函数图像或 中间变量进行比较 底不同,指数也不同 0.3 3.1 (6)1.7 ,0.9

已知下列不等式 , 比较 m,n 的大小 : m n 2 ? 2 (1) (2) 0.2m ? 0.2n (3) a m ? a n (a ? 0且a ? 1)

(六) 原来我真行 1.当a ∈ (1,+?) 时,函数y=ax( a>0,a≠1) 为增函数,这时,x ∈ (0,+?) 时,y>1.

2.若函数y=(2a+1)x是减函数,则实数a的取值范围 1 a ? (? ,0) 是 . 2 x ∈ [1,+ ? ) 1 x ? 1 3.函数 y ? ( ) 的定义域为 ,值域 2 y∈(0,1] 为 . 4.比较大小: (1) 30.8 > 30.7 ,
(2) 0.75-0.1 > 0.750.2, (3) 1.50.2 > 0.72.2.

f ( x) ? a
y

x

(a ? 0且a ? 1)
y=ax (0<a<1) y=1 x

x?R
0<a<1
y (0,1) 0 x

a>1 图 象
a>1 图 象 特
y=1 0

y=ax (a>1)

0<a<1

1.图象全在x轴上方,与x轴无限接近. 2.图象过定点(0,1) 3.自左向右图 3.自左向右图 象逐渐上升 象逐渐下降 4.图象分布在左 下和右上两个 区域内 4.图象分布在左 上和右下两个区 域内

a>1 0<a<1 1.定义域为R,值域为(0,+?).



2.当x=0时,y=1 3.在R上是增 3.在R上是减 函数 函数 4.当x>0时, 0<y<1;当x<0 时, y>1.

质 4.当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1.

征 不关于Y轴对称不关于原点中心对称

非奇非偶函数

课堂练习
1、比较下列各题中两个值的大小: ?0.1 ?0.2 2.5 3 0 . 8 _____ 0 . 8 ( 2) (1) 1.7 ____1.7

(3) 1.7
x

0.3

? ? 0.9 ____

?

3.1

2、写出下列不等式的解集:

(1)3 ? 9

1 2 x ?1 (2)( ) ?2 2


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