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2014年6月湖州市高二(理科)数学参考答案及评分标准1


湖州市 2013 学年第二学期期末考试 高二(理科)数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 D 4 A 5 C 6 A 7 D 8 C 9 A 10 B

二、填空题(本大题共有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11、 5 12、

1

3

13、

5 6

14、

1 4

15、

3 4

16、 ?1007

17、

9 2 ?k? 50 9

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 象上有一个最低点为 (Ⅰ)求函数 的解析式; (其中 A ? 0, ? ? 0, 0 ? ? ? .

π )的周期为 ? ,且其图 2

(Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

π π ? ?? ) ? f ( x ? ) 在 x ? ?0, ? 上的值域. 12 12 ? 2? 2π ? 2 ,---------------------2 分 π
图象上的一个最低点,

【解】 (Ⅰ)由题意 A ? 3, T ? π ,故 ? ? 所以 f ( x) ? 3sin ? 2 x ? ? ? ,又 得 f ( x) min ? f ( 因为 0 ? ? ? 因此 (Ⅱ) g ? x ? ? f ? x ?



π ? ,所以取 k ? 0 ,得 ? ? .-------------------------------6 分 2 6

2? 2? 3? ? ,即 ? ? k? ? ---------4 分 ) ? ?3 ,故有 2 ? ? ? ? 2 k? ? 3 3 2 6

.------------------------------------------------------------------7 分

? ?

π? ?? 12 ?

π? π ?? π ?? ? ? ? f ? x ? ? ? 3sin ? 2( x ? ) ? ? ? 3sin ? 2( x ? ) ? ? 12 ? 12 6 ? 12 6 ? ? ? ?

π ? 3sin 2 x ? 3sin(2 x ? ) ------------------------------------------------------------------8 分 3
高二(理科)数学试卷参考答案(共七页)——第 1 页

π π? ? ? 3sin 2 x ? 3 ?sin 2 x cos ? cos 2 x sin ? -------------------------------------------9 分 3 3? ? 3 3 3 π ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3sin(2 x ? ) .-------------------------------------------11 分 2 2 3 π π 2? ? ?? 由 x ? ? 0, ? ,得 ? ? 2 x ? ? ,---------------------------------------------12 分 3 3 3 ? 2? 3 π ? sin(2 x ? ) ? 1 .----------------------------------------------------------------13 分 2 3 ? 3 3 ? ? ?? 因此函数 g ? x ? 在 x ? ? 0, ? 上的值域为 ? ? ,3? .--------------------------14 分 ? 2? ? 2 ?
故? 19. (本小题满分 14 分) 如图,在 ?ABC 中, AD ? BC , cos C ?

5 , 5

CD ? 1 , AD ?

1 4 AB ? AC . 5 5 ??? ? ????

(Ⅰ)求 AB 边的长;

(Ⅱ)若 CB ? tCA ? AB ? AC 恒成立,求实数 t 的取值范围. 【解】 (Ⅰ)在 Rt ?ADC 中,由 cos C ? 得 AC ? 又 AD ?

??? ?

??? ?

5 , CD ? 1 , 5

5 , AD ? 2 .

---------------------------------------------------------2 分

1 4 AB ? AC ,得 BD ? 4 DC ? 4 ,------------------------------------5 分 5 5 AD 2 ? BD 2 ? 22 ? 42 ? 2 5 .---------------------7 分

在 Rt ?ADB 中, AB ? (Ⅱ)由 AC ? 故 ?BAC ?

5 , AB ? 2 5 , BC ? BD ? DC ? 5 ,
---------------------------------------------------------------------9 分

?
2



将 CB ? tCA ? AB ? AC 两边平方得,

??? ?

??? ?

??? ? ????

??? ?2 ??? ?2 ??? ? ??? ? ??? ? 2 ???? 2 ??? ? ???? CB ? t 2 CA ? 2CB ? CA ? t ? AB ? AC ? 2 AB ? AC ----------------------11 分
化简得 t ? 2t ? 0 .------------------------------------------------------------------13 分
2

即 t ? 2或t ? 0 ,所以实数 t 的取值范围是 t ? 2或t ? 0 .------------------14 分
高二(理科)数学参考答案(共七页)——第 2 页

20. (本小题满分 14 分) 已知 ?an ? 是一个公差大于 0 的等差数列,其前 n 项和为 S n ,且满足 a2 ? a5 ? 55 ,

a1 ? a6 ? 16 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅱ)令 bn ?

1 m * ,记数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,对于任意的 n ? N ,不等式 Tn ? Sn 100

【解】 (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的首项为 a1 ,公差为 d ( d ? 0 ) , 则?

恒成立,求整数 m 的最小值.

?2a1 ? 5d ? 16 , ----------------------------------------------------------2 分 ?(a1 ? d ) ? (a1 ? 4d ) ? 55 ?a1 ? 3 ,----------------------------------------------------------------------------4 分 ?d ? 2

解得 ?

因此 an ? a1 ? ( n ? 1) d ? 2n ? 1 .---------------------------------------------------6 分 另解:设等差数列 ?an ? 的公差为 d ( d ? 0 ) , 则?

?a1 ? a6 ? a2 ? a5 ? 16 ---------------------------------------------2 分 a ? a ? 55 2 5 ? ?a2 ? 5 ?a2 ? 11 ?a2 ? 5 或? ,因为 d ? 0 ,所以 ? ,--------------------------4 分 ?a5 ? 11 ?a5 ? 5 ?a5 ? 11 a5 ? a2 ? 2 ,因此 an ? a2 ? (n ? 2)d ? 2n ? 1 .---------------------6 分 3

解得 ?

则d ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n ? 3 ? 5 ? ? ? (2n ? 1) ? n( n ? 2) ,--------------------------7 分 当 n ? 2 时,有 Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ? ? ?? ? S1 S 2 S n 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)

1 1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) -------------------------9 分 2 3 2 4 3 5 n n?2 1 1 1 1 3 ? (1 ? ? ? ) ? .---------------------------------------11 分 2 2 n ?1 n ? 2 4
高二(理科)数学参考答案(共七页)——第 3 页

又 n ? 1 时, T1 ?

1 1 3 ? ? , 1? 3 3 4
*

因此对任意的 n ? N ,均有 Tn ? 则

3 .--------------------------------------------12 分 4

m 3 ? ------------------------------------------------------------------------------13 分 100 4

即 m ? 75 , 因此整数 m 的最小值为 75 .-----------------------------------------------------------14 分 21. (本小题满分 15 分) 在 ?ABC 中,已知 AC ? 2 , AB ? 1 ,且角 A , B , C 满足 cos 2 A ? 2sin 2 (Ⅰ)求角 A 的大小和 BC 边的长; (Ⅱ)若点 P 是线段 AC 上的动点,设点 P 到边 AB , BC 的距离分别是 x , y .试求

B?C ?1. 2

xy 的最大值,并指出 P 点位于何处时 xy 取得最大值.
【解】 (Ⅰ)依题意得, 2cos 2 A ? cos A ? 1 ? 0 解得 cos A ? --------------2 分

1 ? (将 cos A ? ?1 舍去) ,故角 A 的大小是 .--------------4 分 2 3 设角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,则由余弦定理可得, 1 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 22 ? 12 ? 2 ? 2 ? 1 ? ? 3 , 故 a ? 3 .--------------7 分 2
(Ⅱ)由正弦定理得

b a b 2 3 ? , sin B ? sin A ? ? ? ? 1 ,故 B ? .-----------9 分 sin B sin A a 2 3 2
A F B x E 图1 P y C

(方法 1)如图设 P 在边 AB 、 BC 的垂足 E , F , 在 ?AFP 中, AP ?

x cos

?
6

?

2x , 3

在 ?AEC 中, CP ?

y sin

?
6

? 2y ,

由 AP ? PC ? AC ? 2 则

2x ? 2 y ? 2 ,即 x ? 3 y ? 3 .-----------11 分 3
3 xy ,即知 xy ? 3 , 4

由基本不等式可得 3 ? x ? 3 y ? 2

高二(理科)数学参考答案(共七页)——第 4 页

3 时等号成立. -----------13 分 2 所以,当 P 点与线段 AC 的中点重合时,
当且仅当 x ? 3 y ?

y A1 P (x, y)

3 .-----------15 分 xy 取得最大值 4 (方法 2)以 B 为坐标原点,以直线 BC、BA 分别为 x 轴和 y 轴,建立如图 2 所示的直角坐 标系,则点 P 的坐标是( x, y ) (其中 x, y 分别
表示点 P 到 AB、BC 的距离) .由于点 P 在线 段 AC 上,所以 x ? 3 y ? 3 ( x ? 0, y ? 0) -----------11 分 由基本不等式可得 3 ? x ? 3 y ? 2 当且仅当 x ? 3 y ?

3
B 图2 C

x

3 xy ,即知 xy ?

3 , 4 A
x P y 图3 C

3 时等号成立. ----------------------13 分 2 所以,当 P 点与线段 AC 的中点重合时, 3 .--------------------------------------------15 分 4 (方法 3)如图 3 所示,连 BP,则△ABP 与△BPC 的面积之和等于△ABC 的面积. xy 取得最大值
于是有 B

1 3 3 x? y? ( x ? 0, y ? 0) ---------------------------------11 分 2 2 2 3 1 3 ? x? y?2 2 2 2 3 时等号成立. 2 3 3 , xy ,即知 xy ? 4 4
---------------------------------13 分

由基本不等式可得 当且仅当 x ? 3 y ?

所以,当 P 点与线段 AC 的中点重合时, xy 取得最大值 22.(本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x 1 ? a ? x . (Ⅱ) 当a ? ?

3 .-----------15 分 4

?

?

(Ⅰ)判断并证明函数 f ( x) 的奇偶性;

1 时, 若函数 f ( x) 在区间 ? m, n ? 既有最大值又有最小值, 分别求实数 m, n 2 1 1 , ] ? A ,求实数 a 的取 2 2

的取值范围; (Ⅲ)设关于 x 的不等式 f ( x ? a ) ? f ( x) 的解集为 A .若 [ ? 值范围.

高二(理科)数学参考答案(共七页)——第 5 页

【解】 (Ⅰ)因为 f ( ? x) ? ? x(1 ? a ? ? x ) ? ? ? ? x(1 ? a ? x ) ? ? ? ? f ( x) ,------------2 分 所以 f ( x) 是奇函数;--------------------------------------------------------------------------3 分

1 ? 1 2 ? ( x ? 1) ? ,x ?0 ? 1 1 ? 2 2 (Ⅱ)当 a ? 时, f ( x) ? x(1 ? x ) ? ? ,----------------4 分 1 1 2 2 2 ? ( x ? 1) ? , x ? 0 ? ?2 2
要使得函数 f ( x) 在区间 ( m, n) 既有最大值又有最小值,则最小值一定在 x ? ?1 处取到, 且 最大值一定在 x ? 1 处取到,-------------------------------------------------------------6 分

1 1 1 ( x ? 1) 2 ? ? ? ,解得 x ? 2 ? 1 ----------------------------7 分 2 2 2 1 1 1 2 当 x ? 0 时,由 ( x ? 1) ? ? ,解得 x ? ? 2 ? 1 -------------------------------8 分 2 2 2
当 x ? 0 时,由 ? 因此 m 的范围是 m ? ? ? 2 ? 1, ?1 ,---------------------------------------------------9 分

?

?

n 的范围是 n ? 1, 2 ? 1? ? .-------------------------------------------------------------10 分
(Ⅲ)由题知 f ( x ? a ) ? f ( x) ,对 x ? [ ?

?

1 1 , ] 恒成立. 2 2 a?0 ? a?0 或? , 2 2 ?a (a ? 1) ? 0 ?a (1 ? a ) ? 0 ?

取x ?0, 则 f ( x ? a ) ? f ( x) 可化为 a (1 ? a | a |) ? 0 , 即?

解得 ?1 ? a ? 0 .-----------------------------------------------------------------------------11 分 此时 f ( x ? a ) ? f ( x) 可以化为 a ? a ( x ? a ) | x ? a |? ax | x | ,约去 a , 得 1 ? ( x ? a ) | x ? a |? x | x | . (1) 当 ?

1 ? x ? 0 时,原不等式化为 1 ? ( x ? a ) 2 ? ? x 2 恒成立,即 ?2ax ? 1 ? a 2 ? 0 恒成 2 1 1? 5 代入,解得 ? a ? 0 .-----------------------------------12 分 2 2

立,将 x ? ? (2) 当 0 ? x ?

1 2 时,记 g ( x) ? 1 ? ( x ? a ) | x ? a | ? x | x |? 1 ? x ? | x ? a | ( x ? a ) 2



1? 5 1 ? a ? ? ,则 g ( x) ? 1 ? x 2 ? ( x ? a ) 2 ? ?2 x 2 ? 2ax ? 1 ? a 2 ,要使 g ( x) ? 0 对 2 2
高二(理科)数学参考答案(共七页)——第 6 页

? g (0) ? 1 ? 0 1 1 ?1 ? 3 ?1 ? 3 ? 2 ,得 a ? a ? ? 0 ,解得 , 0 ? x ? 恒成立,只需 ? ?a? 1 2 2 2 2 g( ) ? 0 ? ? 2
结合

1? 5 1 1? 5 1 ? a ? ? ,得 ? a ? ? .-----------------------------------13 分 2 2 2 2

1 ? 2 1 ? 2ax ? a ? 1, ? x ? ?a 若 ? ? a ? 0 , 此 时 g ( x) ? ? , 作 出 g ( x) 的 图 像 , 可 知 2 2 2 ? ??2 x ? 2ax ? 1, 0 ? x ? ?a ? g (0) ? 1 ? 0 1 1 ? ,解得 ? ? a ? 0 .----------14 分 ? min{g (0), g ( )} ,故只需 ? 1 2 2 g( ) ? 0 ? ? 2

g ( x) min

综上可得, a ? (

1? 5 , 0) .-------------------------------------------------------------15 分 2

另解:数形结合法 由解法 1,取 x ? 0 ,可得 ?1 ? a ? 0 .-----------------------------------------------11 分 此时,作出 y ? f ( x) 和 y ? f ( x ? a ) 的图像, y ? f ( x ? a ) 的图像由 y ? f ( x) 的图像向 右平移 | a | 个单位,且 | a |? 1 ? ? 由图像可知, 只需 x ? ?

1 .--------------------------------------------------------13 分 a

1? 5 1 时,满足 f ( x ? a ) ? f ( x) ,解得 a ? ( , 0) .----------------------15 分 2 2

y ? 1 a 1 2

?

1 1 ? 2a a f ( x )

x f ( x ? a)

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