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立体几何表面积体积练习1(老师)


立体几何表面积体积练习 1

评卷人

得分 一、选择题(题型注释)

1. 正四棱锥的侧棱长为 2 3 , 侧棱与底面所成的角为 60 , 则该棱锥的体积为 (

?



A.3 B.9 C.6 D.以上答案均不正确 【答案】C 【解析】 试题分析:侧棱在

底面的射影是底面正方形的对角线,顶点在底面的射影是底面中心, 所以可得正四棱锥的高 h ? 2 3 sin 60 ? 3 ,对角线等于 2 ? 2 3 cos60 ? 2 3 ,那
0 0

么底面正方形的边长就是 6 ,所以 V ?

1 ? 6 ? 6 ? 3 ? 6 ,故选 C. 3


考点:棱锥的体积 2.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A. 24 + 8 3

B. 16 +12 3

C. 24 +12 3

D. 48

【答案】C 【解析】 试题分析:由三视图可得该几何体是三棱柱,底面是有一个角是 30°斜边为 4 且斜边 上的高为 3 的直角三角形,可得三角形另外两边为 2, 2 3 ,三棱柱的高为 4,该几 何体的表面积为 2 创

1 4 ? 3 (2 + 2 3 + 4) ?4 2

24 +12 3 .

考点:三视图. 3. 一个机器零件的三视图如图所示, 其中俯视图是一个半圆内切于边长为 2 的正方形, 则该机器零件的体积为( )

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?
A.8+ 3 【答案】A 【解析】 试题分析:此几何体为组合体,下部是正方体,上面是球的 几何体的体积 V ? 2 ? 2 ? 2 ? B.8+ C.8+ D.8+

1 4 ? ? ? ? 13 ? 8 ? ,故选 A. 4 3 3

1 ,并且半径为 1,所以此 4

考点:1.三视图;2.几何体的体积. 4.圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的 A.缩小到原来的一半 C.不变 【答案】A 【解析】 试题分析: 由题意得, 设原圆锥的高为 h , 底面半径为 r , 则圆锥的体积为 V1 ? 将圆锥的高扩大到原来的 2 倍,底面半径缩短到原来的

1 ,则圆锥的体积( 2 B.扩大到原来的 2 倍 1 D.缩小到原来的 6



1 2 ?r h , 3

1 ,则体积为 2

1 1 1 V V2 ? ? (2r ) 2 ? h ? ? r 2 h ,所以 1 ? 2 ,故选 A. 3 2 6 V2
考点:圆锥的体积公式. 5.某几何体的三视图如图所示,图中的四边形都是边长为 2 的正方形,正视图和侧视 图中的两条虚线都互相垂直且相等,则该几何体的体积是( )

A. 8 ? C.

? 3

B. 8 ? D.

?
6

20 3

16 3

【答案】C 【解析】 试题分析: 由三视图可知, 该几何体是由正方体挖掉一个四棱锥所得, 体积为原来的 故体积为 8 ?

5 , 6

5 20 ? . 6 3
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考点:三视图.

【思路点晴】(一)主视图和左视图如果都是三角形的必然是椎体,要么是棱锥要么是圆 锥.还有两种特殊的情况:1、是棱锥和半圆锥的组合体.2、就是半圆锥.到底如何如确 定就是通过俯视图观察.(1)若俯视图是三角形时,就是三棱锥.(2)若俯视图是多边 形时,就是多棱锥.(3)若俯视图是半圆和三角形时,就是是棱锥和半圆锥的组合体. (4)若俯视图是半圆时,就是半圆锥.(5)注意虚线和实线的意义,虚线代表的是看 不到的线,实线代表的是能看的见得都是一种平行投影所创造出来的.(二)三视图求体 积时候,先观察主视图和侧视图,注意主视图和侧视图的高一定都是一样的,并且肯定 是立体图形的高,先通过观察判定图形到底是什么立体图形,看看到底是棱锥,棱柱, 还是组合体,通常的组合体都是较为简单的组合体,无需过多考虑.(1)如果是棱锥的 话,就看俯视图是什么图形,判定后算出俯视图的面积即可,应用体积公式.(2)如果 是棱柱的话,同样看俯视图的图形,求出面积,应用公式即可.(3)如果是组合体,要 分辨出是哪两种规则图形的组合,分别算出体积相加即可. 6.已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形,如图所示,则该几何体的体积等 于( )

A. 12 3 C. 20 3

B. 16 3 D. 32 3

【答案】C 【解析】 试题分析:由三视图可知这是一个三棱柱截去一个三棱锥所得,故体积为

3 2 1 3 2 ?4 ?6 ? ? ? 4 ?3 4 3 4 ? 3 2 ? 4 ? 5 ? 20 3 . 4
1 圆弧) ( 4

考点:三视图. 7.某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为(俯视图中弧线是 )

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A. 4 ? π C. 1 ?

B. π ? 2 D. 1 ?

π 2

π 4

【答案】D 【解析】 试题分析: 由三视图可知: 该几何体为一个正方体挖去一个圆柱的 该几何体的体积 V ? 1 ?
3

1 ? ? ? ?12 ?1 ? 1 ? .故选:D. 4 4

1 而剩下的几何体. ∴ 4

考点:由三视图求体积. 8.几何体三视图如图,其中俯视图为正三角形,正(主)视图与侧(左)视图为矩形, 则这个几何体的体积为( )

A. 12 3 C. 27 3 【答案】B 【解析】

B. 36 3 D. 6

试题分析:此几何体为一个正三棱柱,棱柱的高是 4 ,底面正三角形的高是 3 3 ,设 底面边长为 a ,则

3 1 3 a ? 3 3,? a ? 6 ,故三棱柱体积 V ? ? 62 ? ? 4 ? 36 3 ,故 2 2 2

选 B. 考点:三视图与几何体的体积. 9.一个几何体的三视图如图所示,其中侧视图与俯视图均为半径是 2 的圆,则这个几 何体的体积是( )

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A. 2? B. 4? C. 8? D. 16? 【答案】C 【解析】 试题分析:由题意得,根据给定的三视图可知,原几何体表示一个半径为 2 的球,去掉

1 3 4 3 个球,所以该几何体的体积为 V ? ? ? ? 2 ? 8? ,故选 C. 4 4 3
考点:几何体的三视图及体积的计算. 【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用,着重考查了推理和运算能力 及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、 宽相等、高平齐”的原则,还原出原几何体的形状,本题的解答中,根据几何体的三视 图得出原几何体表示表示一个半径为 2 的球,去掉

1 个球是解得关键,属于基础题. 4
)cm
3

10.若某几何体的三视图 (单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是(

A.π B.2π C.3π D.4π 【答案】B 【解析】 试题分析:由三视图可知:此几何体为圆锥的一半, ∴此几何体的体积=

1 1 ? ? ? ? 22 ? 3 ? 2? 2 3

考点:由三视图求面积、体积 11.一圆锥的底面半径是母线长的一半,侧面积和它的体积的数值相等,则该圆锥的底 面半径( ) A. 3 D. 4 3
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B. 2 2

C. 2 3

【答案】C 【解析】 试题分析: 设圆锥的底面半径为 r , 则该圆锥母线长为 2 r , ? 2? r ? 2r ?

1 2

1 2 ? r ? 3r , 3

? r ? 2 3 .故选 C.
考点:空间几何体的表面积与体积. 12. 将边长为 a 的正方形沿对角线 AC 折起, 使得 BD=a, 则三棱锥 D﹣ABC 的体积为 ( A.6a
3



B.12a

3

C.

a

3

D.

a

3

【答案】D 【解析】 试题分析:首先利用几何体的边与边的关系求出 AE=CE=

2 2 a,DE=BE= a,进一步 2 2

证明 AC⊥平面 DEB,最后利用体积分割法,求出几何体的体积 考点:棱柱、棱锥、棱台的体积 13.若一个圆锥的底面半径是母线长的一半,侧面积和它的体积的数值相等,则该圆锥 的底面半径为( ) A. 3 D. 4 3 【答案】C 【解析】 试题分析: 设圆锥的底面半径为 r , 则该圆锥母线长为 2 r , ? 2? r ? 2r ? B. 2 2 C. 2 3

1 2

1 2 ? r ? 3r , 3

? r ? 2 3 .故选 C.
考点:空间几何体的表面积与体积. 14. 如图, 某几何体的三视图由半径相同的圆和扇形构成, 若府视图中扇形的面积为 3? , 则该几何体的体积等于( )

A . 8? D.

B.

4? 3

16? 3

C . 4?

【答案】A 【解析】 试题分析:由三视图可知该几何体是一个球体截去四分之一的切割体,即其体积为球体 的四分之三,设球半径是 R ,由俯视图可知

3 ? R 2 ? 3? , R ? 2 ,所以几何体体积为 4

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3 4 ? ? ? 23 ? 8? ,故选 A. 4 3
考点:1、几何体的三视图;2、球的体积公式. 15. 某几何体的三视图如图所示, 其侧视图是一个等边三角形, 则此几何体的体积是 ( )

A. 24 3 C. 16 3 【答案】B 【解析】

B. 8 3 D. 16

试题分析:该几何体是一个底面为矩形的四棱锥,四棱锥的高 h ? 16 ? 4 ? 2 3 , 体积 V ?

1 ? 3? 4 ? 2 3 ? 8 3 . 3


考点:三视图与几何体的体积. 16.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(

A. ? C. (10 ? 10)?

B. (5 ? 5)? D. (5 ? 2 5)?

【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得,根据给定的三视图可知,原几何体表示一个底面半径为 1 ,母线 长为 2 的一个圆柱,挖去一个底面半径为 1 ,母线长为 5 的一个圆锥所构成的一个几 何体,所以该几何体的表面积为 S ? 2? ?1? 2 ? ? ?12 ? ? ?1? 5 ? (5 ? 5)? ,故选 B. 考点:几何体的三视图及表面积的计算. 17. 一个几何体的三视图如图所示, 其中正视图是一个正三角形, 则这个几何体的 (



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3
1 1
正视图

1
侧视图

俯视图

A.外接球的半径为

3 3

B.表面积为 7 ? 3 ? 1 D.外接球的表面积为 4?

C.体积为 3

【答案】B 【解析】 试题分析: 观察三视图可知, 该几何体是一三棱锥底面等腰三角形底边长为 2, 高为 1, 有一侧面是正三角形且垂直于底面,该几何体高为 3 , 根 据 图 中 数 据 , 另 两 侧 面 为 腰 长 为 2 , 底 边 长 为

2 的等腰三角形,所以其 表 面 积 为

1 1 2 1 ? 2 ?1 ? 2 ? ? 2 ? (2)2 ? ( )2 ? ? 2 ? 3 ? 7 ? 3 ? 1 ,故 选 B. 2 2 2 2
考点:三视图,表面积. 【名师点睛】三视图问题,关键是由三视图画出原几何体的直观图,为此我们要掌握基 本几何体的三视图,棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球的三视图,由这些简单 几何体的三视图可以直接想象题中几何体的形状,再由“长对正,高平齐,宽相等”的 原则确定几何体中的长度,线面的关系等等,有时由于大多数几何体是从正方体或长方 体中切割、组合所得,因此在画原几何体时,可以先画出正方体(或长方体) ,在此基 础上取点、连线得原图. 18.已知 A,B,C 三点在球 O 的球面上,AB=BC=CA=3,且球心 O 到平面 ABC 的距离等于 球半径的 ,则球 O 的表面积为 A. 36? 【答案】D 【解析】 试题分析:设球的半径为 r,O′是△ABC 的外心,外接圆半径为 R= 3 , ∵球心 O 到平面 ABC 的距离等于球半径的 B. 4? C. ( ) D.

27 ? 4

27 ? 2

1 , 3

1 2 27 r ? 3 ,得 r 2 ? . 9 8 27 2 ? 球的表面积 S ? 4? r ? 2
2 ∴得 r ?

考点:球的体积和表面积 19.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
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A. 200 ? 9? B. 200 ? 18? C. 140 ? 9? D. 140 ? 18? 【答案】A 【解析】 试题分析: 根据图中三视图可得出其体积=长方体的体积与半圆柱体积的和,长方体的三 度 为 : 10,4,5 , 圆 柱 的 底 面 半 径 为 3 , 高 为 2 , 所 以 几 何 体 的 体 积

1 V ? 10 ? 4 ? 5 ? ? 32 ? ? ? 2 ? 200 ? 9? ,故选 A. 2
考点:三视图求面积,体积. 20. 已知一个圆柱的底面半径和高分别为 r 和 h ,h ? 2? r , 侧面展开图是一个长方形, 这个长方形的长是宽的 2 倍,则该圆柱的表面积与侧面积的比是( ) A.

1? ?

?

B.

1 ? 2?

?

C.

1 ? 2? 2?

D.

1 ? 4? 2?

【答案】A 【解析】 试 题 分 析 : 由 题 意 可 知 2h ? 2? r ? h ? ? r . 则 该 圆 柱 的 表 面 积 与 侧 面 积 的 比 是

2? rh ? 2? r 2 h ? r ? r ? r ? ? 1 ? ? ? ,选 A 2? rh h ?r ?
考点:圆柱的表面积与侧面积 21 . 过 球 面 上 三 点 A, B, C 的 截 面 和 球 心 的 距 离 是 球 半 径 的 一 半 , 且 ,则球的表面积是( A B? 6 , B C ? 8 , A?C 1 0 A . 100? D. B . 300? ) C.

100 ? 3

400 ? 3

【答案】D 【解析】 试题分析:根据题意 ?ABC 是直角三角形,且斜边上的中线为 5 ,又因为球心的射影为
2 2 2 ?r2 ? 斜边的中点, 设球的半径为 r , 则有 r ? ( ) ? 5 ,

r 2

100 400 S 球 ? 4?r 2 ? ?, , 3 3

故选 D.
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考点:直角三角形中线定理及球的基本性质. 【方法点睛】本题主要考察球的几何特征,首先通过球面上三点 A, B, C 的长度关系满 足勾股定理,知道 ?ABC 是直角三角形,所以斜边中点即为 ?ABC 的外心, A, B, C 所 在平面截球得一小圆,小圆圆心即为 ?ABC 的外心,所以球心和外心连线与面 ABC 垂 直.球心到截面距离 d ,球半径和截面半径满足关系: R 2 ? r 2 ? d 2 ,根据已知量列方 程即可. 22. 棱台的两底面面积为 S1 、S2 , 中截面 (过各棱中点的面积) 面积为 S0 , 那么 ( A. 2 S0 ? )

S1 ? S2

B. S0 ?

S1S2

C. 2S0 ? S1 ? S2

D. S02 ? 2S1S2

【答案】A 【解析】 试题分析:不妨设棱台为三棱台,设棱台的高为 2 h 上部三棱锥的高为 a ,根据相似比 的性质可得:

? a 2 S? ( ) ? ? S ? a ? 2h ,解得 2 S0 ? S ? S ? ,故选 A. ? a ? S 2 ?( ) ? S0 ? a?h ?
考点:棱台的结构特征. 23.一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形,其尺寸如图,则该多面体 的体积为( )

A. 48cm C. 32cm

3

B. 24cm D. 28cm

3

3

3

【答案】A 【解析】 试题分析:这是一个立体几何中有关三视图的识图问题,首先应根据三视图想象出对应 的立体图形,然后再根据立体图形的结构特点,求出其体积. 由三视图可知多面体是底 边为 6 高为 4 的等腰三角形的三棱柱,且为直棱柱,其高为 4 ,所以

V?

1 3 ?6 ?4 ?4 ?4 c 8m ,选 A. 2
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考点:1、三视图;2、棱柱的体积. 24.直径为 6 的球的表面积和体积分别是( A. 144? ,144? C. 36? ,144? B. 144? ,36? D. 36? ,36?



【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得,球的半径 r ? 3 ,根据球的表面积和体积公式可得:球的表面积 为

4 4 S ? 4? r 2 ? 4? ? 32 ? 36? ,球的体积为 V ? ? r 3 ? ? ? 33 ? 36? ,故选 D. 3 3
考点:球的表面积和体积.

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