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数学考试真题综合型较强


数学试题综合性较强

本试题卷分选择题和非选择题两部分. 全卷共 5 页, 选择题部分 1 至 3 页, 非选择题部分 4 至 5 页. 满 分 150 分,考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

选择题部分(共 50 分)
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用

黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题 纸规定的位置上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A,B 互斥,那么 柱体的体积公式

如果事件 A,B 相互独立,那么

其中 S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式

如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p,那么 n 次独立重复试验中事件 恰好发生 k 次的概率 其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高 球的表面积公式 台体的体积公式

球的体积公式 其中 分别表示台体的上底、下底面积, 其中 R 表示球的半径

h 表示台体的高

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={x|1<x<4},B={x|x -2x-3≤0},则 A∩( A.(1,4) B.(3,4)
2

R

B)=
D.(1,2)

C.(1,3)

【解析】A=(1,4),B=(-3,1),则 A∩( 【答案】A

R

B)=(1,4).

2.已知 i 是虚数单位,则 A.1-2i

= B.2-i C.2+i D.1+2i

【解析】 【答案】D





=1+2i.

3.设 a R,则“a=1”是“直线 l1:ax+2y-1=0 与直线 l2:x+(a+1)y+4=0 平行”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【解析】当 a=1 时,直线 l1:x+2y-1=0 与直线 l2:x+2y+4=0 显然平行;若直线

l1 与直线 l2 平行,则有:
【答案】A

,解之得:a=1 or a=﹣2.所以为充分不必要条件.

4. 把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 然后向左 平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是

【解析】把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) 得:y1=cosx+1,向左平移 1 个单位长度得:y2=cos(x—1)+1,再向下平移 1 个单位长度 得:y3=cos(x—1).令 x=0,得:y3>0;x= 【答案】B 5.设 a,b 是两个非零向量. A.若|a+b|=|a|-|b|,则 a⊥b B.若 a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数 λ,使得 a=λb D.若存在实数 λ,使得 a=λb,则|a+b|=|a|-|b| 【解析】利用排除法可得选项 C 是正确的,∵|a+b|=|a|-|b|,则 a,b 共线,即存 在实 数 λ,使得 a=λb.如选项 A:|a+b|=|a|-|b|时,a,b 可为异向的共线向量;选项 B: 若 a⊥b,由正方形得|a+b|=|a|-|b|不成立;选项 D:若存在实数 λ,使得 a=λb,a,b 可为同向的共线向量,此时显然|a+b|=|a|-|b|不成立. 【答案】C ,得:y3=0;观察即得答案.

6.若从 1,2,2,?,9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数,其和为偶数,则不同的取法共 有 A.60 种 B.63 种 C.65 种 D.66 种

【解析】1,2,2,?,9 这 9 个整数中有 5 个奇数,4 个偶数.要想同时取 4 个不同的 数其和为偶数,则取法有: 4 个都是偶数:1 种; 2 个偶数,2 个奇数: 4 个都是奇数: 种. 种;

∴不同的取法共有 66 种. 【答案】D

7.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项

B.若数列{S n}有最大项,则 d<0 C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 【解析】选项 C 显然是错的,举出反例:—1,0,1,2,3,?.满足数列{S n}是递增数 列,但是 S n>0 不成立. 【答案】C

8.如图,F1,F2 分别是双曲线 C:

(a,b>0)的左

右焦点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂 直平分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是

A. C.

B. D.

【解析】如图:|OB|=b,|O F1|=c.∴kPQ= ,kMN=﹣ .

直线 PQ 为: = (x+c), y 两条渐近线为: = y

x. 由

, 得: ( Q



);



,得:P(



).∴直线 MN 为:y-

=﹣ (x-

),

令 y=0 得: M= x

. 又∵|MF2|=|F1F2|=2c, c=xM= ∴3

, 解之得:



即 e=



【答案】B

9.设 a>0,b>0. A.若 B.若 C.若 D.若 【解析】若 ,则 a>b ,则 a<b ,则 a>b ,则 a<b ,必有 恒成立, 故有函数 余选项用同样方法排除. 【答案】A .构造函数: ,则

在 x>0 上单调递增, a>b 成立. 即 其

10.已知矩形 ABCD,AB=1,BC= 在翻着过程中,

.将

ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻着,

A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“AC 与 BD”,“AB 与 CD”,“AD 与 BC”均不垂直 【解析】最简单的方法是取一长方形动手按照其要求进行翻着,观察在翻着过程,即可 知选项 C 是正确的. 【答案】C

绝密★考试结束前

2012 年普通高等学校招生全国同一考试(浙江卷)


注意事项:

学(理科)

非选择题部分(共 100 分)

1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的 签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三 棱锥的体积等于___________cm . 【解析】观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形,右侧面也是一直角三角形.故体积等于 【答案】1 .
3

12.若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是 ______________. 【解析】T,i 关系如下图:

T i
【答案】

1 2 3 4 5 6

13.设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}.若 , 【解析】将 , ,则 q=______________. 两个式子全部转化成用 ,q 表示的式子.

即 解之得: 【答案】

, 两式作差得: (舍去).

, 即:



14.若将函数

表示为

其中





,?,

为实数,则

=______________.

【解析】法一:由等式两边对应项系数相等.

即: 法二: 对等式:

. 两边连续对 x 求导三次得: ,再运用赋值法,令 得: ,即 .

【答案】10

15.在

ABC 中,M 是 BC 的中点,AM=3,BC=10,则

=______________.

【解析】此题最适合的方法是特例法. 假设

ABC 是以 AB=AC 的等腰三角形,如图,


AM=3,BC=10,AB=AC=
cos∠BAC= 【答案】29 .



16.定义:曲线 C 上的点到直线 l 的距离的最小值称为曲线 C 到直线 l 的距离.已知曲线 C1:y=x +a 到直线 l:y=x 的距离等于 C2:x +(y+4) =2 到直线 l:y=x 的距离, 则实数 a=______________. 【解析】C2 : x +(y +4) =2,圆心(0,—4),圆心到直线 l : y = x 的距离为:
2 2 2 2 2

,故曲线 C2 到直线 l:y=x 的距离为



另一方面:曲线 C1:y=x +a,令

2

,得:

,曲线 C1:y=x +a 到直线

2

l:y=x 的距离的点为(
【答案】



),



17.设 a R,若 x>0 时均有[(a-1)x-1]( x -ax-1)≥0,则 a=______________. 【解析】本题按照一般思路,则可分为一下两种情况:

2

(A)

, 无解;

(B)

, 无解.

因为受到经验的影响, 会认为本题可能是错题或者解不出本题. 其实在 x>0 的整个区间 上,我们可以将其分成两个区间(为什么是两个?),在各自的区间内恒正或恒负.(如下答 图) 我们知道:函数 y1=(a-1)x-1,y2=x -ax-1 都过定点 P(0,1). 考查函数 y1=(a-1)x-1:令 y=0,得 M( ,0),还可分析得:a>1;
2

考查函数 y2=x -ax-1:显然过点 M( 得: ,舍去 ,得答案:

2

,0),代入得: .

,解之

【答案】 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.(本小题满分 14 分)在 sinB= cosC.

ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 cosA=



(Ⅰ)求 tanC 的值; (Ⅱ)若 a= ,求

ABC 的面积.

【解析】 本题主要考察三角恒等变换, 正弦定理, 余弦定理及三角形面积求法等知识点。

(Ⅰ)∵cosA= 又

>0,∴sinA=



cosC=sinB=sin(A+C)=sinAcosC+sinCcosA

= 整理得:tanC=

cosC+ .

sinC.

(Ⅱ)由图辅助三角形知:sinC= 又由正弦定理知: 故 . (1)





对角 A 运用余弦定理:cosA=

. (2)

解(1) (2)得:

or b=

(舍去).



ABC 的面积为:S=



【答案】(Ⅰ)

;(Ⅱ)



19. (本小题满分 14 分)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球, 且规定: 取出一个白球的 2 分, 取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随 机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X). 【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点。 (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.





; 故,所求 X 的分布列为



X P

3

4

5

6

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:

E(X)=
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)





20.(本小题满分 15 分)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 =120°,且 PA⊥平面 ABCD,PA= (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD;

的菱形,且∠BAD

,M,N 分别为 PB,PD 的中点.

(Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值.

【解析】本题主要考察线面平行的证明方法,建系求二面 角等知识点。 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 又 MN

PBD 中,MN∥BD.
平面 ABCD,

∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)如图建系:

A(0,0,0),P(0,0, N(
,0,0),C(

),M(



,0),

,3,0). . ,∴ .

设 Q(x,y,z),则 ∵



,得:

. .

即:



对于平面 AMN:设其法向量为





则 同理对于平面 AMN 得其法向量为 记所求二面角 A—MN—Q 的平面角大小为 ,

. ∴ .







∴所求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值为



【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)



21.(本小题满分 15 分)如图,椭圆 C:

(a

>b>0)的离心率为 为

,其左焦点到点 P(2,1)的距离

. 不过原点 O 的直线 l 与 C 相交于 A, 两点, B

且线段 AB 被直线 OP 平分. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 求 【解析】 ; (1) . (2)

ABP 的面积取最大时直线 l 的方程.

(Ⅰ)由题:

左焦点(﹣c,0)到点 P(2,1)的距离为: 由(1) (2)可解得: .

∴所求椭圆 C 的方程为:



(Ⅱ)易得直线 OP 的方程:y=

x,设 A(xA,yA),B(xB,yB),R(x0,y0).其中 y0=

x0.

∵A,B 在椭圆上,

∴ 设直线 AB 的方程为 l:y=﹣ (m≠0),



代入椭圆: 显然 ∴﹣ <m< 且 m≠0. .



由上又有:

=m,





∴|AB|=

|

|=





∵点 P(2,1)到直线 l 的距离为:



∴S

ABP



d|AB|=

|m+2|



当|m+2|=

,即 m=﹣3 or

m=0(舍去)时,(S

ABP max

) =



此时直线 l 的方程 y=﹣



【答案】 (Ⅰ)

;(Ⅱ) y=﹣



21.(本小题满分 14 分)已知 a>0,b R,函数 (Ⅰ)证明:当 0≤x≤1 时, (ⅰ)函数 (ⅱ) 的最大值为|2a-b|﹢a; +|2a-b|﹢a≥0;



(Ⅱ) 若﹣1≤

≤1 对 x [0,1]恒成立,求 a+b 的取值范围.

【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力。 (Ⅰ) (ⅰ) 当 b≤0 时, 此时 的最大值为: . >0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a; 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,

当 b>0 时, 此时 的最大值为:

=|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 (ⅱ) 要证 亦即证 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a; +|2a-b|﹢a≥0,即证 =﹣ ≤|2a-b|﹢a.

在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a,

∵ 当 b≤0 时, 此时 的最大值为:

,∴令 <0 在 0≤x≤1 上恒成立, =|2a-b|﹢a; 在 0≤x≤1 上的正负性不能判断,



当 b<0 时,

≤|2a-b|﹢a; 综上所述:函数 在 0≤x≤1 上的最大值小于(或等于)|2a-b|﹢a.



+|2a-b|﹢a≥0 在 0≤x≤1 上恒成立. 在 0≤x≤1 上的最大值为|2a-b|﹢a,

(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数 且函数 ∵﹣1≤

在 0≤x≤1 上的最小值比﹣(|2a-b|﹢a)要大. ≤1 对 x [0,1]恒成立,

∴|2a-b|﹢a≤1. 取 b 为纵轴,a 为横轴.

则可行域为: 作图如下:



,目标函数为 z=a+b.

由图易得:当目标函数为 z=a+b 过 P(1,2)时,有 ∴所求 a+b 的取值范围为: .



【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ)




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