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一道竞赛题的变化题的再推广


2 0 1 4 年第1 0 期 

福 建 中学数 学 

4 9  



道竞赛题 的变化题 的再推广 
王恒 亮  李 一淳  广东 省珠 海 市实 验 中学高 中部 ( 5   1 9 0 9 0 )  

Ne s b i t t不等 式 :   若 口, b

, c ∈ R+ ,则 
b  
— —

D+ C 

+  


定 理 设 a, b , C ∈R +, a +b + c =S,   ∈N ,则 
b+ C   C+ a   a+b   2. 3 ”  

+— —

C  

≥— —.  

3  

+   一

+ +一  

; ’ 一

… ?I (  J   )  
  ’

C+a   a+b   2  

证 明 不 失一 般性设 a  b   C,  
贝 Ⅱ a + 6≥ a +c ≥ b + C,  a   b   ≥C   + 。 ,  
C  
+— —

该不等式可参见高 中课标课程人教版高中教材  不等 式选 讲  第 4 9页 习题 第 7题 ,它 也 曾经作 为  1 9 6 3年俄罗斯数学竞赛试题 出现 ,其证明方法有多 
种 ,但 基 本 上都 是 变 形复 杂 、 计 算量 大 ,对 学 生来  讲 可 操 作性 不 高 .梁 开华 在 其 文 章  两 道 竞赛 题 的 
变 化 题 》 中给 出 了上 述著 名 的不 等 式 的两 道 如 下变 
化题 :  
2  
,T

由排 序不 等 式可知 
a n + l  
— —

b  


C  


b  
— —

a  
+— — ,  

+—

+— —  

b+c   C+ a   a+b   b+C   C+a   a+b  
a n + l  
— —

b  

C ”  


C  

a  
+— —

b  
+— — ?  

+— —

+— —

≥— —

b+C   c+a   a+b   b+ C   C+a   a+b  
+  + 

变化题 1设 n , b , c ∈ R + ,   + b + c =  ,则  一 
+  +  .  

≥ ——— b   C + 

b   +c n + l   C n + l +a   +—— —+  _ a
C 

a   +b  

+— — — a  +  b

’  

C+ a   a+b   2  
,l

注意到 b  + C   ≥b " c + c " b,  
3  

变化题 2设 口 , b , c ∈ R + ,口 + b + c =  ,则  一 
+— —

故 
b   +c n + l +b   +c ”  

b  

+— —

C  

≥ —— .  

S  

C+ a   a+ b  

6  
> 

2 ( b+c 、  

本文 将给 出 Ne s b i t t不 等式 的一种 简 洁证 法 . 文 

±   ± 垒 : ! ± ! : 垒  
2 ( b +C )  

[ 1 ] 虽 然 给 出 了上 述变 化 题 的证 明 ,笔 者认 为 其 方法  不具 有一 般性 , 可 操作 性 不强 ! 本文 利 用证 明 Ne s b i R   的简 洁方 法 可将 上述 两 道 变化 题 推 广 到 更一 般 的情  况 ,现与 读 者分 享 .  



 

b  J 。 C  



’  

1不等式的简洁证明  证 明 不失 一般 性设 a  b  C,  
贝 0  +6  口 +c ≤6 + c,   一  —   一  一,  

同 理  
±  
a+b  
+ 

≥ 半 ,  
≥  
2  

. 

故 由排序 不等 式可 知 
a  
— —

b  C

+  +   未 a   +   b  
C  a

b   c   b   C   a   +— — + — — ≥ — — +— — + — —
C   C   a  D  

a  +b  + C  
,  

b+C   a+c   b+ a   b+C   a+c   b+ a  
a  
— —

3 (  
S”  
’  

) ”  

+— — +— —

≥ — — +— — +— —

?  

b+c   a+c   b+a   b+C   a+ c   b+ a  

上 述两 式相 加得 
D +  c

+ 
c  +  a

+ 

≥ 

?  

a  + D 

故结论 成 立 ,即证 .  

2不等式的再推广 
类 似于 上述 证 明 ,我们 可 以得 到一 个 更 一 般 的 
结论 .  



( 1 )若 (   )式 中令 , 2 =0,则定 理 中的结论 

即为 N e s b i t t 不 等式 .  

( 2 )若 ( : . c )式中令 = 1 ,n = 2 则定理中的结  论 即为变 化 题 1 、2 .  


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