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线面平行的判定


2.2.1直线与平面 平行的判定

邹城市第二中学高二数学组

高一数学(人教A版· 必修Ⅱ)

直线和平面有哪些位置关系? a
a a

α
直线在平面α 内a ?α 有无数个交点

α

A

α
直线与平

面α 平行 a∥α无交点

直线与平面α相交 a ∩ α= A 有且只有一个交点

引入新课
怎样判定直线与平面平行呢?

根据定义,判定直线与平面是否平行,只需判 定直线与平面有没有公共点. 但是,直线无限延长,平面无 限延展,用定义判定直线与平面 平行的可行性不大。
a

?

实例感受
门扇转动的一边与门框所在的平面之间的位置关系



实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系?

实例感受

将一本书平放在桌面上,翻动书的硬皮封面, 封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系?
A A

B

B

直线与平面平行

下图中的直线 a 与平面α平行吗?

a

?

直线与平面平行

如果平面 ? 内有直线 b 与平面外直线 a平行,那 么直线 a 与平面 ? 的位置关系如何? 是否可以保证直线 a 与平面 ?平行?
a
b

?

直线与平面平行

平面 ? 外有直线 a 平行于平面 ?内的直线 b . (1)这两条直线共面吗? (2)直线 a 与平面 ? 相交吗?
a

共面

不可能相交

?

b

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直线和平面平行的判定定理:

平面外一条直线与此平面内的一条直 线平行,则该直线与此平面平行。

a//b ? 符号表示: a ? α ?a//α ? b ? α? ?

a

?

b

简述为: 线线平行,则线面平行

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思 考 (1)若直线a不在平面α外,即a在平面α内a//α吗?
a
b
?

a

?

b

缺少条件1,显然不成立。

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?

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(2)若直线b不在平面α内,a// 吗?
a

b

?

缺少条件2,定理也不成立。
a

?

b

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(3)若直线a不平行于直线b,a// ? 吗?
a
?

b

缺少条件3,定理也不成立。
a

?

b

直线与平面平行判定

怎样判定直线与平面平行?
(1)定义法:证明直线与平面无公共点;

(2)判定定理:证明平面外直线与平面内直线 平行.

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例一 求证:空间四边形相邻两边中点的连线平行 于经过另外两边所在的平面.
A

已知:空间四边形ABCD中, E,F分别AB,AD的中点。 求证:EF//平面BCD。

E

F D

证明:连接BD。 因为 AE=EB,AF=FD, 所以 EF//BD(三角形中位线的性质) 因为 EF ? 平面BCD, BD ? 平面BCD 由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD。

?

B

C

变式:
2. 如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面 正方形DBCE对角线的交点,F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF. A F

D
B

E

O

C

变式:
2. 如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面 正方形DBCE对角线的交点,F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF. A 分析: 连结OF, F

△ABE的中位线,
所以得到AB//OF. B

D O
C

E

随堂练习:课本P55 1
1.如图,长方体 ABCD ? A?B?C ?D?中, (1)与AB平行的平面是 平面 A?B?C ?D? 平面 CC?D?D ; (2)与 AA?平行的平面是平面 B?BCC? 平面 CC?D?D ; (3)与AD平行的平面是 平面 A?B?C ?D? 平面 B?BCC? ;
D?

C?
B?

A?

D A B

C

随堂练习
2.如图,正方体 ABCD ? A?B?C ?D? 中,E为 DD?的 ? 中点,试判断 BD与平面AEC的位置关系,并说明理由 . 证明:连接BD交AC于点O, D? C? 连接OE, A?

在 ?DB D ?中,E,O分别是 DD?, BD 的中点.
? EO // BD?
? ? EO ? 平面ACE ? ? BD // 平面AEC ? BD ? 平面ACE ?
A

E
D
O

B?

C

B

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练习 3. 判断对错 (1)如果一条直线不在平面内,则这条直 线就与这个平面平行. (2)过直线外一点,可以作无数个平面与 这条直线平行. (3)如果一直线与平面平行,则它与平面 内的任何直线平行.

反思~领悟:
1. 线面平行,通常可以转化为线线平行 来处理. 2. 寻找平行直线可以通过三角形的中位 线、梯形的中位线、平行线的判定等 来完成.

3. 证明的书写三个条件“内”、“外”、 “平行”,缺一不可.

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