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陕西省西北工业大学附属中学届高三数学第十次适应性考试试题理-精


2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训 练数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的(本大题共 12 小题, 每小题 5 分,共 60 分) 1. 已知全集 U ? R , 集合 A ? {x | ?2 ? x ? 2}, B ? {x | ?1 ? x ??3 ? x ? ? 0

} , 则 A ? (C R B) 等于( ) A. (?1, 2) B. ?? 2,?1? C. ?? 2,?1? D. ?2,3? 2.设复数 z 的共轭复数为 z ,且满足 z ? z ? ( ) B. 2 C. ?

1? i 是 ? i , i 为虚数单位,则复数 z 的虚部 .. 1? i

1 A. 2

1 2
)

D. ?2

3.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布 N 0,2 其长度误差落在区间 ?2,4? 内的概率为( (附:若随机变 量 ? 服从正态分布 N
2

?

2

? ,从中随机取一件,

P?? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9544, P ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ? ? 0.9974 ) A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 x2 ?2 x 4.已知 a ? 1, f ?x? ? a ,则使 f ?x ? ? 1 成立的一个充分不必要条
件是( ) A. ? 2 ? x ? 0 B. ? 2 ? x ? 1 C. ? 1 ? x ? 0 D. ? 1 ? x ? 0 5.定义运算 a ?b 为执行如图所示的程序框图输出的 S 值,则

??,? ? ,则 P?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6826,

5? ? ? 5? ? ? ? sin ? ? ? cos ? 的值为( ) 12 ? ? 12 ? ? 1 3 2? 3 2? 3 A. B. C. D. 4 4 4 4 6.已知向量 a ? ?3,1? , b ? ?1,3? , c ? ?k ,?2? ,若 a ? c // b ,则向量 a

? ?
D. ?

与向量 c 的夹角的余弦值是( A.

) C. ?

5 5

B.

1 5

7.设函数 f ?x ? ? sin ?x

?? ? 0? ,将 y ? f ?x ?的图象向右平移 ? 个单位长度后,所得图
6
) C. 6 D. 9

5 5

1 5

象与函数 y ? cos ?x 的图像重合,则 ? 的最小值是( A.

1 3

B. 3

1

8.已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截去 一部分后所得几何体的三视图 如图所示, 则该截面的面积为( ) A. 2 10 B. 2 2
?

C.

9 2

D.

3 10 2

9. 已知异面直线 a 、b 成 80 角, A 为空间中一点, 则过 A 与 a 、

b 都成 40? 角的平面共有(
A.1 个 B.2 个

) C.3 个
2

D.4 个

10.已知 AB 为经过抛物线 y ? 6 x 焦点 F 的弦, C 为抛物线 的准线与 x 轴的交点,若弦 AB 的斜率为 为( A. ) B. ?

4 ,则∠ACB 的正切值 3
D.不存在

40 9

8 21

C.1

1 4 9 ( ) ? ? a1 a5 a1 a9 a5 a9 1 1 5 5 A.有最大值 ? B.有最小值 C.有最大值 D.有最小值 2 2 2 2 x 2 12. 已知函数 f ? x ? ? xe (注: , 方程 f ? x ? ? tf ? x ? ? 1 ? 0 , e 是自然对数的底数) ?t ? R?
11.已知数列 ?an ? 是等比数列,若 a2 a5 a8 ? ?8 ,则 有四个实数根,则 t 的取值范围为( )

? e ?1 ? ? , ?? A. ? ? e ? ? ?
2

? ? e2 ? 1 ? ? e2 ? 1? e ?1? B. ? ? ? ?,? e ? ? C. ? ? ? e ,?2 ? ? D. ? ? 2, e ? ? ? ? ? ? ? ?
2

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须 作答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 2 0 分,把答案填写在答题卡相应的位 置) 13 . 若 数 列

?an ?
5

是 正 项 数 列 , 且 .

a1 ? a2 ? ? ? an ? n 2 ? 3n , 则

a a1 a 2 ? ??? n ? 2 3 n ?1

a ?? 1? ? 14. ? x ? ?? 2 x ? ? 展开式中各项系数的和为 2 ,则该展开式中常数项为 . x ?? x? ? 15.过 P (a, b) 向圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3)2 ? 1 引切线 PT ,T 为切点,若|PT|=|PO|(O 为坐标
原点),则切线|PT|的最小值为 . .

?x ? 2y ? 5 ? 0 ? 16.若整数 ..x, y 满足不等式组 ? 2 x ? y ? 7 ? 0 ,则 3x ? 4 y 的最小值为 ? x ? 0, y ? 0 ?

2

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分)己知函数 f ? x ? ? 3 sin x cos x ? sin x ?
2

? ? ?? , 时,求函数 f ?x ? 的最小值和最大值; ? 4 6? ? (Ⅱ)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对应边分别为 a, b, c ,且 c ? 3 , f ?C ? ? 2 ,若向量 m ? ?1, a? 与向量 n ? ?2, b? 共线,求 a , b 的值.
(Ⅰ)当 x ? ? ?

1 ? x ? R? , 2

18.(本小题满分 12 分)在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,侧面 ABB 1A 1 为矩 形, AB ?

2,

AA1 ? 2 , D 为 AA 1 交于点 O , CO ? 侧面 ABB 1A 1. 1 的中点, BD 与 AB (Ⅰ)证明: CD ? AB1 ; (Ⅱ) 若 OC ? OA , 求直线 C1 D 与平面 ABC 所成
角的正弦值.

19.(本小题满分 12 分)某工厂生产甲,乙两种芯片,其质量按测试指标 划分为:指标大 于或等于 82 为合格品,小于 82 为次品.现随机抽取这两种芯片各 100 件进行检测,检测 结果统计如下: 测试指标 [70,76) [76,82) [82,88) [88,94) [94,100] 芯片甲 8 12 40 32 8 芯片乙 7 18 40 29 6 (Ⅰ)试分别估计芯片甲,芯片乙为合格品的概率; (Ⅱ)生产一件芯片甲,若是合格品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件芯片 乙,若是合格品可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元.在(1)的前提下,记 X 为生产 1 件芯片甲和 1 件芯片乙所得的总利润,求随机变量 X 的概率分布及生产 1 件芯片甲和 1 件 芯片乙所得总利润的平均值.

x2 y 2 20.(本小题满分 12 分)已知双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 ( a, b ? 0 ) , F1 , F2 为 C 的左右焦点, a b ? 2 P 为 C 右支上一点,且使 ?F1 PF2 ? ,又 ?F 1PF 2 的面积为 3 3a . 3
3

(Ⅰ)求双曲线 C 的离心率 e ; (Ⅱ)设 A 为 C 的左顶点,Q 为第一象限内 C 上任意一点,问是否存在常数 λ (λ >0) , 使得 ?QF2 A ? ??QAF2 恒成立,若存在,求出 λ 的值,若不存 在,请说明理由. 21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? a x ? b(ln x ? 1) ? 1的图像在 x ? 1 处的切线方 程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)证明:当 x ? 0 时,恒有 x ? ln x ; (Ⅲ) 证明:对于任 意给定的 正数 M ,总存在 正实数 x0 , 使得当 x ? x0 时,恒 有

x ? M ln x .
请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时 请写清题号. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, ?ABC 的外接圆的切线 AE 与 BC 的延长线相交于 点 E , ?BAC 的 平 分 线 与 BC 相 交 于 点 D , AE ? 2 BD ? 2 . (Ⅰ)求证: EA ? ED ; (Ⅱ)求 DC ? BE 的值. 23. (本小题满分 10 分)选修 4—4;坐标系与参数方程

? x ? 3 cos? ( ? 为参数) ,在以原 ? y ? sin ? 点 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 ?? ? ? sin ?? ? ? ? 2 . 4? ? (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和直线 l 的倾斜角; (Ⅱ)设点 P?0,2? ,直线 l 和曲线 C 交于 A, B 两点,求 PA ? PB 的值.
在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? 24. (本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲
2 2 已知实数 m, n 满足关于 x 的不等式 x ? mx ? n ? 3 x ? 6 x ? 9 的解集为 R ,

(Ⅰ)求 m, n 的值; (Ⅱ)若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? m ? n ,求证: a ? b ? c ? 3 .

4

2016 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中十次适应性训练 数学(理科)答案 一.选择题:CABCC ADCCA DB 二.填空题:13. 2n ? 6n ;
2

14.40;

15.

6 13 ; 13

16.16

三.解答题:

3 ? ? 1 ,则 f ? x ? 的最大值为 2 ,最小值为 0 ; 6? ?? ? ?a ?1 ? (2)由 f ? C ? ? 2 知, C ? ,由 m / / n 知, b ? 2a ,则 ? 3 ?b ? 2
17. 【解答】 : (Ⅰ) f ? x ? ? sin ? 2 x ? 18. 【解答】 : (Ⅰ) 证明: 由题意可知, 在 RT ?ABD 中,tan?ABD ? 中, tan?AB1 B ?

? ?

??

2 , 在 RT?ABB 1 2

2 .所以 ?ABD ? ?AB1 B , 2 ? 所以 ?ABD ? ?BAB 1 ? ?AB1 B ? ?BAB 1 ? , 2 所以 AB1 ? BD ,又 CO ? 侧面 ABB ,所以 A AB1 ? CO . 1 1 又因为 BD ? CO ? O ,所以 AB1 ? 平面 CBD ,所以 AB1 ? BC . (Ⅱ)如图所示,分别以 OB1 , OB, OC 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴,以 O 为原点,建
立空间直角坐标系,则 A ? 2,0,0 , B?0,2,0?, C 0,0, 2 , D?0,?1,0?, B1 2 2,0,0 ,

?

由 BB1 ? CC1 求 得 C1 2 2 ,?2, 2 , 设 平 面 ABC 法 向 量 为 n , 则 求 得

n ? ? 2,?1, 2 ,
设直线 C1 D 与平面 ABC 所成角为 ? ,则 sin ? ?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

3 55 55

19. 【解答】 : (Ⅰ)芯片甲为合格品的概率约为 芯片乙为合格品的概率约为

40 ? 29 ? 6 3 ? . 100 4 (Ⅱ)随机变量 X 的所有取值为 90, 45,30, ?15 . 4 3 3 1 3 3 P ? X ? 90 ? ? ? ? ; P ? X ? 45 ? ? ? ? ; 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 P ? X ? 30 ? ? ? ? ; P ? X ? ?15 ? ? ? ? , 5 4 5 5 4 20
所以,随机变量 X 的分布列为:

40 ? 32 ? 8 4 ? , 100 5

X

90

45

30

?15
5

3 3 1 1 5 20 5 20 因为 EX ? 60 ,所以总利润的平均值为 X 的期望 60
20. 【解答】 : (Ⅰ)由定义 r1 ? r2 ? 2a ,
2 2 ? 又 S?PF F ? 1 1r2 sin 3 ? 3 3a ? r 1r2 ? 12a 2r 1 2

P

? 4c2 ? r12 ? r22 ? 2rr 1 2 cos 3

? 4c 2 ? r12 ? r2 2 ? r1r2 ? ? r1 ? r2 ? ? r1r2 ? 16a 2
2

∴e=2 (Ⅱ)∴e=2 ,可设双曲线方程为: 即为 3x ? y ? 3a
2 2 2

x2 y 2 ? ? 1, a 2 3a 2

假设存在常数λ ,使得 ?QF2 A ? ??QAF2 恒成立,取 Q(2a,3a) ,则 ?QF2 A =90°,由 于 A(-a,0) ,∴ | AF2 |?| QF2 |? 3a ,∴ ?QAF2 =45°,λ =2 以下证明一般性:任取 Q( x0 , y0 ),( x0 , y0 ? 0) 则 3x02 ? y02 ? 3a2

y0 , x0 ? a 2 y0 ( x0 ? a) 2 y0 ( x0 ? a) 2 tan ? 这时 tan 2? ? ? ? 2 2 2 1 ? tan ? ( x0 ? a) ? y0 ( x0 ? a) 2 ? 3( x0 2 ? a 2 ) y0 ?? ? ?kQF2 ? tan ?QF2 A ,∴恒有 ?QF2 A ? 2?QAF2 x0 ? 2a
设 ?QAF2 ? ? ,则 tan ? ? k AQ ?

b ? , f ( x) 在 x ? 1 处的切线方程为 x ? 2 y ? 3 ? 0 2 x x ? f (1) ? 1 ?a ? b ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? ? ∴? 1 ? ?a 1 ?? f ?(1) ? ? ?b ? ? ?b ? ?1 ? ? ? 2 ?2 2 1 1 x ?2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 g ( x) ? x ? ln x ,∴ g ?( x) ? ? ? 2x 2 x x ? ? 当 x ? (0, 4) , g ( x) ? 0 ,当 x ? (4, ??) , g ( x) ? 0 ,
21. 【解答】 : (Ⅰ)∵ f ?( x) ? ∴ g ( x) ? g (4) ? 2 ? ln 4 ? 0 ,即 x ? ln x
1 1 1 x4 ln x , (Ⅲ) 【方法一】 :由(Ⅱ) x ? ln x 知 x ? ln x ? x ? ln x ? x 2 ? 2 2 1 1 2 1 2 1 4

a

x4 ? x ? 16 M 4 ,取 x0 ? 16M 4 , 对于任意给定的正数 M , x ? M ln x ,只要 M ? 2
6

当 x ? x0 时,恒有 x ? M ln x
1 1 1 x3 ln x 【方法二】 :由(Ⅱ) x ? ln x 知 x ? ln x ? x ? ln x ? x 2 ? 3 3 1 3 1 3 1 6

1

x3 ? x ? 27 M 3 ,取 x0 ? 27M 3 , 对于任意给定的正数 M , x ? M ln x ,只要 M ? 3 当 x ? x0 时,恒有 x ? M ln x ?x ? 0 【 方 法 三 】 : 显 然 对 都 有
1 1 1 x x4 4 4M ln x ? ? ln x 4 ? ? ln x ? x ? 4M ln x ? x e e e e 1 4

4M 1 ? 4M ? 对于任意给定的正数 M , x ? M ln x ,只要 x4 ? x ? x ? ? ? e ? e ?
4

4

? 4M ? 取 x0 ? ? ? 时,当 x ? x0 时,恒有 x ? M ln x ? e ? 2 【方法四】 :显然对 ?x ? 0 要使 x ? M ln x ,设 x ? t 2M 则只要 t ? 2M ln t ? t ? ln t t 2M 由(Ⅱ) t ? ln t ,∴只要 ? 1 即 t ? 4M 2 ,取 t0 ? 4M 2 ,即 x0 ? t02 ? 16M 4 t
22. 【解答】 (Ⅰ)因为 AE 为圆的切线,所以 ?CAE ? ?ABD , 又因为 AD 平分 ?BAC ,所以 ?BAD ? ?DAC , 因为 ?ADB ? ?ABD ? ?BAD, ?DAE ? ?DAC ? ?CAE ,所以 ?DAE ? ?ADE , 所以 EA ? ED
2 (Ⅱ) EA ? DE ? 2, EB ? ED ? DB ? 3 ,因为 EA ? EC ? EB ,所以 EC ?

4 , 3

则 DC ?

2 ,所以 DC ? BE ? 2 3

x2 ? y2 ? 1, 9 3? 直线 l 的直角坐标方程: x ? y ? 2 ? 0 ,倾斜角为 4 ? 2 x?? ? ? 2 ( t 为参数) (Ⅱ)由上知, P 在直线 l 上,设直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 2 ? 2 ? 2 ?
23. 【解答】 (Ⅰ)曲线 C 的普通方程:
7

代入曲线 C 的方程得: 5t ? 18 2t ? 27 ? 0 , 由直线上的点 ?2,0? 在曲线 C 内知方程有两个不同的解 t1 , t 2 ,即为点 A, B 对应的参数,则
2

18 2 27 , t1 ? t 2 ? 0, t1t 2 ? 0 ,则 t1 ? 0, t 2 ? 0 , , t1t 2 ? 5 5 18 2 所以 PA ? PB ? ??t1 ? t 2 ? ? 5 t1 ? t 2 ? ?
24. 【解答】 (Ⅰ)将 x ? 3, x ? ?1代入不等式得 ? (Ⅱ) a ? b ? c ? 1 ,由柯西不等式知,

?3m ? n ? 9 ? 0 ?m ? ?2 ,得 ? ? n ? m ?1 ? 0 ? n ? ?3

? a ? b ? c ??1 ? 1 ? 1? ? ?

a ? b ? c ,所以 a ? b ? c ? 3

?

2

8


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