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盐城市2013届高三年级第二次模拟考试数学试题


盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试

数 学 试 题
(总分 160 分,考试时间 120 分钟) 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.不需写出解答过程,请把答案写在答题 纸的指定位置上. 1. 若集合 A ? ?1, m ? 2? , B ? ??1,2,4? ,且 A ? B ? 2? ,则实数 m 的值为 2. 若复数 z 满足 ?1 ? i ? z ? 2 ( i 为虚数单位) ,则 z = ▲ 开始 . a←1,b←1 N 输出 b 结束

?



.

3. 现有在外观上没有区别的 5 件产品,其中 3 件合格,2 件不合格, 从中任意抽检 2 件,则一件合格,另一件不合格的概率为 ▲ . 4. 已知正六棱锥的底面边长是 3,侧棱长为 5,则该正六棱锥的体积 是 ▲ . 5. 若 e1 , e2 是两个单位向量, a ? e1 ? 2e2 , b ? 5e1 ? 4e2 ,且

??

?? ?

?

? ?

?? ?

?

? ?

?? ?

a<4 Y b←2b a←a+1

? ? ?? ?? ? a ? b ,则 e1 , e2 的夹角为



. ▲ . ▲ .

6. 如图,该程序运行后输出的结果为 7. 函数 f ? x ? ? 2sin ? x ?

第6题

? ?

??

? , x ?? ?? ,0? 的单调递增区间为 4?
?

2 8. 若等比数列 {an } 满足 am?3 ? 4 且 amam?4 ? a4 ( m ? N 且 m ? 4 ) ,则 a1a5 的值为 ▲ .

9. 过点(2,3)且与直线 l1 : y ? 0 和 l2 : y ?

3 x 都相切的所有圆的半径之和为 4





2 2 10. 设函数 y ? f ? x ? 满足对任意的 x ? R , f ? x ? ? 0 且 f ? x ?1? ? f ? x ? ? 9 .已知当

? 2013 ? x ??0,1? 时,有 f ? x ? ? 2 ? 4x ? 2 ,则 f ? ? 的值为 ? 6 ?
2





11. 椭圆

x2 y ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于 A , B 两点, 2 a b
▲ .

若 ?FAB 的周长最大时, ?FAB 的面积为 ab ,则椭圆的离心率为

高三数学正卷 第 1 页 共 4 页

12. 定义运算 a ? b ? ?

?a ? a ? b ? 4? 1? ? ? ? ,则关于非零实数 x 的不等式 ? x ? ? ? 4 ? 8 ? x ? ? 的解 x? x? ? ? ?b ? a ? b ? ?
▲ .

集为 ▲ . 13. 若点 G 为 ?ABC 的重心,且 AG ? BG ,则 sin C 的最大值为 14. 若实数 a 、 b 、 c 、 d 满足 ▲ .

a 2 ? 2 ln a 3c ? 4 ? ? 1 ,则 ?a ? c?2 ? ?b ? d ?2 的最小值为 b d

二、解答题:本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤, 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? 4sin x cos ? x ? (1)求 f ? x ? 的最小正周期; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?

? ?

??

?? 3 3?

? ? ?? 上的最大值和最小值及取得最值时 x 的值. , ? 4 6? ?

16.(本小题满分 14 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? PB ? PD ? AB ? BC ? CD ? DA ? DB ? 2 , E 为的 PC 中点. (1)求证: PA ∥平面 BDE ; (2)求证:平面 PBC ? 平面 PDC . D A B P E C

高三数学正卷 第 2 页 共 4 页

17.(本小题满分 14 分) 如图,在海岸线 l 一侧 C 处有一个美丽的小岛,某旅游公司为方便游客,在 l 上设立了 A 、 B 两个报名点,满足 A 、 B 、 C 中任意两点间的距离为 10 千米.公司拟按以下思路运作: 先将 A 、 B 两处游客分别乘车集中到 AB 之间的中转点 D 处(点 D 异于 A 、 B 两点) ,然后 乘同一艘游轮前往 C 岛.据统计,每批游客 A 处需发车 2 辆, B 处需发车 4 辆,每辆汽车每 千米耗费 2 元,游轮每千米耗费 12 元.设 ?CDA ? ? ,每批游客从各自报名点到 C 岛所需 运输成本为 S 元. (1)写出 S 关于 ? 的函数表达式,并指出 ? 的取值范围; (2)问中转点 D 距离 A 处多远时, S 最小? C

A

D

B

18. (本小题满分 16 分) 如图,圆 O 与离心率为

x2 y2 3 的椭圆 T : 2 ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )相切于点 M ? 0,1? . 2 a b

(1)求椭圆 T 与圆 O 的方程; (2)过点 M 引两条互相垂直的两直线 l1 、 l2 与两曲线分别交于点 A 、 C 与点 B 、 D (均不 重合) .
2 ① 若 P 为椭圆上任一点,记点 P 到两直线的距离分别为 d1 、 d2 ,求 d12 ? d 2 的最大值;

② 若 3MA ?MC ? 4MB ? MD ,求 l1 与 l2 的方程.

???? ? ?????

???? ???? ?

y M A C O B D x

高三数学正卷 第 3 页 共 4 页

19.(本小题满分 16 分)

n ? 设函数 f n ? x ? ? ? x ? 3ax ? b n ? N , a, b ? R .

?

?

(1)若 a ? b ? 1 ,求 f3 ? x ? 在 ? 0, 2? 上的最大值和最小值; (2)若对任意 x1, x2 ?? ?1,1? ,都有 f 3 ? x1 ? ? f 3 ? x2 ? ? 1 ,求 a 的取值范围; (3)若 f 4 ? x ? 在 ??1,1? 上的最大值为

1 ,求 a , b 的值. 2

20.(本小题满分 16 分) 设 Sn 是各项均为非零实数的数列 an ? 的前 n 项和,给出如下两个命题: 命 题 p : an ? 是 等 差 数 列 ; 命 题 q : 等 式

?

?

1 1 1 kn ? b 对任意的 ? ??? ? a1 a2 a2 a3 a a? 1 a1 a 1 n n n ?

n ? n ? N? ? 恒成立,其中 k , b 是常数.
(1)若 p 是 q 的充分条件,求 k , b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b ,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; ( 3 ) 若 p 为 真 命 题 , 对 于 给 定 的 正 整 数 n ? n ? 1? 和 正 数 M , 数 列 an ? 满 足 条 件
2 a12 ? an?1 ? M ,试求 Sn 的最大值.

?

高三数学正卷 第 4 页 共 4 页

盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试

数学附加题部分
(本部分满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.[选做题] 在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题 纸的指定区域内. A.(选修 4—1:几何证明选讲) 如图,AB 是⊙O 的直径,C、E 为⊙O 上的点,且 CA 平分∠BAE,DC 是⊙O 的切线,交 AE 的延长线于点 D. 求证:CD⊥AE. D E D

C

A

O

B

B.(选修 4—2:矩阵与变换)
?1 0 ? 求曲线 2 x2 ? 2 xy ? 1 ? 0 在矩阵 MN 对应的变换作用下得到的曲线方程, 其中 M ? ? ?, ?0 2 ?

? 1 0? N ?? ?. ??1 1?

C. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 已知圆 C 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数), 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? sin ? ? 2

建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 1 , 求直线 l 截圆 C 所得的弦 长.

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D.(选修 4-5:不等式选讲) 若 x ?? ?

? 1 2? , ? ,证明 1 ? 2x ? 3 ? x ? 2 ? 3x ? 3 2 . ? 2 3?

[必做题] 第 22、23 题,每小题 10 分,计 20 分.请把答案写在答题纸的指定区域内. 22. (本小题满分 10 分) 正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 4, D 为的 CC1 中点. (1)求证 AB1 ? 面 A1 BD ; (2)求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值. A A1 C1 D

C

B

B1

23. (本小题满分 10 分)

n ?1 ? 已知数列 an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ? n ? 1? n ? N .

?

?

?

(1)证明: an ? n ? n ? 3? ; (2)证明: 2 ? 3 ? 4 4 ? ?? n n ? 2 ? n ? 2? .
3

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