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20130723向量数乘运算及其几何意义打印4份


向量数乘运算及其几何意义 20130722
实数与向量的积 定义:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作: ? a 。 其大小和方向规定如下: 大小:

?a ? ? a

方向:λ >0 时, ? a 与 a 方向相同; λ <0 时, ? a 与 a 方向相反。 特别地,当 ? ? 0 或 a ? 0 时 ? a ? 0 。 (2) 运算律:设λ 、μ ∈R,则 设 a 、 b 为任意向量, ? 、 结合律:

? 为任意实数,则有: ?(? a) ? (?? )a

第一分配律: (? ? ?)a ? ? a ? ? a 第二分配律: ? (a ? b) ? ? a ? ?b ①λ (μ a)=(λ μ )a;②(λ +μ )a=λ a+μ a;③λ (a+b)=λ a+λ b. 4.两个向量共线定理 对于向量 a ( a ? 0 )、 b ,如果有一个实数 ? ,使得 b ? ? a , 那么,由数乘向量 的定义知:向量 a 与 b 共线。 若向量 a 与 b 共线, a ? 0 ,且向量 b 的长度是 a 的长度的 ? 倍,即有 当 a 与 b 同方向时,有 b ? ? a ; 当 a 与 b 反方向时,有 b ? ?? a 所以始终有一个实数 ? ,使 b ? ? a 。 从而得到, 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线当且仅当有唯一一个实数 ? ,使得 b ? ? a 。

b ??a

,

→ → → 1.给出下列四个结论①AB-AC=BC;②0(a)=0;③0(0)=0; ④若两个非零向量 a,b 满足 a=kb(k≠0),则 a,b 方向相同. 其中正确结论的个数是( 2.下列叙述不正确的是( ) ) A.0 B.1 C.2 D.3

A.若 a、b 共线,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb.

1

B. b=3a(a 为非零向量),则 a、b 共线 3 C.若 m=3a+4b,n= a+2b,则 m∥n 2 D.若 a+b+c=0,则 a+b=-c 3.下列说法不正确的是( )

→ 3→ → 3→ → → A.若AO= OB,则 A、O、B 三点共线 B.若AO= OB,则AO∥OB 4 4 C.若|λa|=|λ||a|(λ∈R),则 λa 与 a 方向相同 D.若 a=4m+n,b=m+n 则 a-b=3m )

→ → → 4. 若 AD 与 BE 分别为△ABC 的边 BC、 AC 上的中线, 且AD=a, BE=b, 则BC为( 4 2 A. a+ b 3 3 2 4 B. a+ b 3 3 2 2 C. a- b 3 3 2 2 D.- a+ b 3 3

5.已知 O 是直线 AB 外一点,C、D 是线段 AB 的三等分点,且 AC=CD=DB.如 → → → 果OA=3e1,OB=3e2,那么OD等于( A.e1+2e2 2 1 B. 2e1+e2 C. e1+ e2 3 3 ) 1 2 D. e1+ e2 3 3

6.已知|a|=4,b 与 a 的方向相反,且|b|=2,a=mb,则实数 m=________. 2 7.若 a,b 为已知向量,且3(4a-3c)+3(5c-4b)=0,则 c=________. 8.有下面四个命题: ①对于实数 m 和向量 a、b,恒有 m(a-b)=ma-mb; ②对于实数 m,n 和向量 a,恒有(m-n)a=ma-na; ③对于实数 m 和向量 a、b,若 ma=mb,则 a=b; ④对于实数 m、n 和非零向量 a,若 ma=na,则 m=n. 其中真命题有________.

2

9.如图所示,在△OAB 中,延长 BA 到 C,使 AC=BA,在 OB 上取点 D,使 DB 1 → → → → =3OB.DC 与 OA 交于 E,设OA=a,OB=b,用 a,b 表示向量OC,DC.

→ → → → 10.已知:AD=3AB,AE=3AC,且 B、C、D、E 不共线. 求证:BC∥DE.

→ → → → 1.若 5AB+3CD=0,且|AD|=|BC|,则四边形 ABCD 是( A.平行四边形 B.菱形 C.矩形

)

D.等腰梯形 )

→ → → 2. 点 P 是△ABC 所在平面内一点, 若CB=λPA+PB, 其中 λ∈R, 则点 P 一定在( A.△ABC 的内部 B.AC 边所在的直线上

C.AB 边所在的直线上 D.BC 边所在的直线上 3.已知向量 a、b 不共线,实数 x,y 满足 5xa+(8-y)b=4xb+3(y+9)a,求 x,y.

5.已知非零向量 a、b、c 满足 a+b+c=0,则表示 a、b、c 的有向线段能否一定 构成三角形?

3

→ → → → 1.化简OP-QP+PS+SP的结果等于(

)

→ A.QP

→ B.OQ

→ C.SP

→ D.SQ

→ → → 2.已知△ABC 的三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P 满足PA+PB=PC,下列结论中 正确的是( ) B.P 在△ABC 的边 AB 上

A.P 在△ABC 的内部

C.P 在 AB 边所在直线上 D.P 在△ABC 的外部 3.如图,在平行四边形 ABCD 中,下列结论中错误的是( → → A.AB=DC )

→ → → → → → → → B.AD+AB=AC C.AB-AD=BD D.AD+CB=0 )

4.(07·湖南)若 O、E、F 是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( → → → → → → → → → → → → A.EF=OF+OE B.EF=OF-OE C.EF=-OF+OE D.EF=-OF-OE

→ → → → 5.在平面上有 A,B,C 三点,设 m=AB+BC,n=AB-BC,若 m 与 n 的长度恰好相 等,则有( ) B.△ABC 必为等腰三角形且∠B 为顶角

A.A,B,C 三点必在一条直线上

C.△ABC 必为直角三角形且∠B 为直角 D.△ABC 必为等腰直角三角形 6.已知向量 a 与 b 反向,且|a|=r,|b|=R,b=λ a,则 λ 的值等于( A. )

r R

B.-

r R

C.-

R r

D.

R r
)

→ → → 7. 已知 O 是△ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点, 且 2OA+OB+OC=0, 那么( → → A.AO=OD → → B.AO=2OD → → C.AO=3OD → → D.2AO=OD

→ → → 8. 已知 P 是△ABC 所在平面内的一点, 若CB=λ PA+PB, 其中 λ ∈R, 则点 P 一定在( A.△ABC 的内部 B.AC 边所在直线上 C.AB 边所在直线上 D.BC 边所在直线上 )

)

→ → → 9.G 为△ABC 内一点,且满足GA+GB+GC=0,则 G 为△ABC 的( A.外心 B.内心 C.垂心
4

D.重心

→ → → → 10. (河北唐山)已知 P、 A、 B、 C 是平面内四个不同的点, 且PA+PB+PC=AC, 则( A.A、B、C 三点共线 B.A、B、P 三点共线 C.A、C、P 三点共线 D.B、C、P 三点共线 二、填空题 11. 已知 x、 y 是实数, 向量 a, b 不共线, 若(x+y-1)a+(x-y)b=0, 则 x=

)



y=

.

12.若|a|=5,b 与 a 的方向相反,且|b|=7,则 a=

b.

→ → → 1→ → 13.(2010·浙江宁波十校)在平行四边形 ABCD 中,AB=e1,AC=e2,NC= AC,BM= 4 1→ → MC,则MN= 2 三、解答题 14.如图,ABCD 是一个梯形,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别是 DC 和 AB 的中点, → → → → 已知AB=a,AD=b,试用 a、b 表示BC和MN. (用 e1,e2 表示).

15.若 a、b 都是非零向量,在什么条件下向量 a+b 与 a-b 共线?

CD AE 1 → → 16.如图,在△ABC 中,D、E 分别为 AC、AB 边上的点, = = ,记BC=a,CA= DA EB 2 b,求证:DE= (b-a).
→ 1 3

→ → 17.点 E、F 分别为四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的中点,设BC=a,DA=b,试用

a,b 表示EF.



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→ → 18.已知?ABCD 的边 BC、CD 的中点分别是 M、N,设AM=a,AN=b,试用 a、b 表示 →

AB、BC.



→ → → → → → 11.已知△ABC 和点 M 满足MA+MB+MC=0,若存在实数 m 使得AB+AC=mAM 成立,则 m=________. → → 12.设 O 是平面上一定点,A、B、C 是平面上不共线的三点,动点 P 满足OP=OA+ → → ? AB AC ? λ? → + → ?λ∈[0,+∞),则 P 点的轨迹通过________. ?|AB| |AC|? (1)△ABC 的外心;(2)△ABC 的内心;(3)△ABC 的重心;(4)△ABC 的垂心. → → 13.等腰 Rt△ABC 中,∠C=90° ,M 为 AB 的中点,设CM=a,CA=b,试用 a、b → → → → 表示AM、MB、CB、AB.

→ → → 14.设 a、b 是不共线的两个非零向量,(1)若OA=2a-b,OB=3a+b,OC=a-3b, 求证:A、B、C 三点共线; (2)若 8a+kb 与 ka+2b 共线,求实数 k 的值; → → → (3)设OM=ma,ON=nb,OP=α a+β b,其中 m、n、α、β 均为实数,m≠0,n≠0,若 α β M、P、N 三点共线,求证: + =1. m n

→ → → 15.已知 O 为△ABC 内一点,且OA+OB+OC=0,求证:O 为△ABC 的重心.

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