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遵义市2010年高考数学模拟试题二及答案(理科)


遵义市 2010 年高考模拟试题 数学(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1 ? i 2009 1. ?( 1 ? i 2010 ?1 ? i (A) 2

) (B)

?1 ? i 2

(C)

1? i 2

(D)

1? i 2


2.设集合 A ? {x | y ? (A) (1, 2] 3.函数 y ? (A) y ?

2 x ? x 2 } , B ? { y | y ? 2 x , x ? 0} ,则 A ? B ? (
(C) [0,1) ? (1, 2] ) (D) [0, 2]

(B) [0, ??)

4 ? x 2 ( ?2 ? x ? 0 )的反函数为( 4 ? x 2 ( ?2 ? x ? 0 )
2

(B) y ?

4 ? x2 ( 0 ? x ? 2 )
2

(C) y ? ? 4 ? x ( ?2 ? x ? 0 )

(D) y ? ? 4 ? x ( 0 ? x ? 2 )

a 4.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 OB=a 2OA + 2009 OC ,且 A 、 B 、C 三点共线(该
直线不过原点 O ) ,则 S2010 ? ( (A) 2010 (B) 1005 ) (C) 2 )
b
2010

?? ? ?

?? ??

?? ??

(D) 2

?2010

5.若 0 ? a ? b ? 1 ,则下列不等式成立的是(
(A) log 1 b ? a ? logb a
b a

(B) log 1 b ? logb a ? a
a b

(C) logb a ? log 1 b ? a
a

b

(D) a ? log 1 b ? logb a
a

第 1 页 共 11 页

x y ) ? ? 1 经过点 M (2cos ? ,2sin ?) ,则( a b 1 1 1 1 1 1 1 1 (A) a 2 ? b 2 ? (B) a 2 ? b 2 ? (C) 2 ? 2 ? (D) 2 ? 2 ? 4 4 a b 4 a b 4 ? ? 7.将函数 y ? sin ? x ( ? ? 0 )的图象按向量 a ? (h, 0) 平移后得到函数 y ? sin(2 x ? ) ,则 h 3
6.若直线 的一个可能的值为( (A) ? ) (B)

?
6

? 6

(C) ?

?
3

(D)

? 3

8.设双曲线 等于(

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的渐近线与抛物线 y ? x 2 ? 2 相切,则该双曲线的离心率 2 a b

) B. 3 C. 10 D. 4

A. 5

9. 将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成 64 个同样大小的小正方体, 从这些小正方体中任取 一个,其中恰有 2 个面涂有颜色的概率为( (A) )

1 8

(B)

1 4
3

(C)

3 8

(D) )

5 8

10.过点 P(2, ?2) 且与曲线 y ? 3x ? x 相切的直线方程是( (A) y ? ?9 x ? 16 (B) y ? 9 x ? 20 (C) y ? ?2

(D) y ? ?9 x ? 16 或 y ? ?2

11.已知四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面为正方形,侧棱与底面边长相等, A1 在底面 ABCD 内 的射影为正方形 ABCD 的中心,则 AB1 与底面 ABCD 所成角的正弦值等于( )

(A)

1 2

(B)

2 6

(C)

6 3

(D)

6 6

12. 定义函数 y ? f ( x) x ? D (定义域) ,若存在常数 C,对于任意 x1 ? D ,存在唯一的

x2 ? D , 使得

f ( x1 ) ? f ( x2 ) 则称函数 f (x) 在 D 上的 “均值” C, 为 已知 f ( x) ? lg x , ?C, 2
) (D)10

x ? [10 , 100 ] ,则函数 f (x) 在 [10 , 100 ] 上的均值为(
(A)

1 10

(B)

3 4

(C)

3 2

第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题.每小题 5 分.共 20 分.把答案填在题中横线上.
3

13. (1 ?

x )5 (1 ? x )6 展开式中 x 2 的系数为



?0 ? x ? 8 ? 2 2 14.已知点 P( x, y ) 满足 ?0 ? y ? 6 ,则 x ? y 的最小值是 ?6 ? x ? y ? 12 ?



?1 ? 1 ? x ( x ? 0) ? 15. 函数 f ( x ) ? ? 在 x ? 0 处连续, 则实数 a 的值为 x ?a ( x ? 0) ?



16.如图, A 、 B 、 C 是表面积为 48? 的球面上三点, AB ? 2 , BC ? 4 ,

?ABC ? 600 , O 为 球 心 , 则 直 线 OA 与 截 面 ABC 所 成 角 的 余 弦 值
是 .

三、解答题:本大题共 6 小题.共 70 分.解答应写出文宇说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 若函数 f ( x) ? sin x cos x ? cos x sin x ? 3 sin x .
3 3 2

(1)求函数 f ( x) 的单调递减区间;

(2) 已知 ?ABC 的三边 a 、 、 对应角为 A 、 、 , 若 b c B C 且三角形的面积为 S , 求 f ( A) 的取值范围.

? ? 3 ??? ??? A C S ? BB? 2



18 . (本小题满分 12 分) 有编号为 l,2,3,??, n 的 n 个学生,入坐编号为 1,2,3,??, n 的 n 个座位.每 个学生规定坐一个座位, 设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为 ? , 已知 ? ? 2 时, 共有 6 种坐法. (1)求 n 的值; (2)求随机变量 ? 的概率分布列和数学期望.

第 3 页 共 11 页

P

19 . (本小题满分 12 分) 如图,在底面是正方形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 面 ABCD ,
F A E G B C D

BD 交 AC 于点 E , F 是 PC 中点, G 为 AC 上一点.
(Ⅰ)求证: BD ? FG ;

(Ⅱ)确定点 G 在线段 AC 上的位置,使 FG //平面 PBD ,并说明理由; (Ⅲ)当二面角 B ? PC ? D 的大小为

2? 时,求 PC 与底面 ABCD 所成角的正切值. 3

20. (本小题满分 12 分) 已知 S n 是数列 {an } 其前 n 项和,且 an ? 7 Sn ?1 ? 2(n ? 2) , a1 ? 2 . (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 m ? ,且 Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N 都 log 2 an ? log 2 an ?1 20

成立的最小正整数 m . 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,其中 F2 也是抛物线 a 2 b2

C2 : y 2 ? 4 x 的焦点, M 是 C1 与 C2 在第一象限的交点,且 | MF2 |?
(1)求椭圆 C1 的方程;

5 . 3

(2)已知菱形 ABCD 的顶点 A 、 C 在椭圆 C1 上,顶点 B 、 D 在直线 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上, 求直线 AC 的方程.

22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x, 其中 a 为常数,且 a ? ?1 . (Ⅰ)当 a ? ?1 时,求 f ( x) 在 [e, e 2 ] (e=2.718 28…)上的值域; (Ⅱ)若 f ( x) ? e?1 对任意 x ? [e,e2 ] 恒成立,求实数 a 的取值范围.
第 4 页 共 11 页

遵义市 2010 年高考模拟试题理科数学 参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 D 2 B 3 D 4 B 5 A 6 C 7 A 8 B 9 C 10 D 11 D 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. ?5 14. 3 2 15. ?

1 2

16.

3 3

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17. (本小题满分 10 分) 解: (1)? f ( x) ? sin x cos x(sin x ? cos x) ? 3 sin x ?
2 2 2

1 3 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2

?? 3 ? ? sin ? 2 x ? ? ? ????????2 分 3? 2 ?
由 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
3

? 2 k? ?

3? 5? 11? (k ? Z ) 得 k? ? ? x ? kx ? (k ? z ) ,?? 4 分 2 12 12

5? 11? ? ? , k? ? (k ? Z ) .????????5 分 ? f ( x) 的单调递减区间为 ? k? ? 12 12 ? ? ?
(2)? S ?

? ? ? ? 1 ??? ??? 3 ??? ??? | AB | ? | BC | ? sin B ? | AB | ? | BC | cos(? ? B) ?????6 分 2 2

? tan B ? ? 3 ,即 B ?

2? 即?????7 分 3

? 3 ? f ( A) ? sin(2 A ? ) ? 3 2
? A?C ?

?
3

,? 0 ? A ?

?
3

,?

?
3

? 2A ?

?
3

?

?
3

?????9 分

第 5 页 共 11 页

? 0 ? f (A ) ?

3 ?????10 分 .

18 . (本小题满分 12 分) 解: (1)当 ? ? 2 时,有 Cn 种坐法,
2 2 ? Cn ? 6 ,即

n(n ? 1) ? 6 ,?????2 分 2

n2 ? n ? 12 ? 0, n ? 4 或 n ? ?3 舍去.
(2)?? 的可能取值是 0,2,3,4 又? P (? ? 0) ?

?n ? 4 。?????4 分

C 2 ?1 6 1 1 1 ? , P(? ? 2) ? 4 4 ? ? 4 A4 24 A4 24 4

P(? ? 3) ?

3 C4 ? 2 8 1 1 1 1 3 ? ? , P(? ? 4) ? 1 ? ( ? ? ) ? , ?????4 分 4 A4 24 3 24 4 3 8

?? 的概率分布列为

?
P

0

2

3

4

1 24

1 4

1 3

1 8

?????10 分
则 E? ? 0 ?

1 1 1 3 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 3 .?????12 分 24 4 3 8
P

19 . (本小题满分 12 分) 证明 (Ⅰ) ∵ PA ? 面 ABCD, : 四边形 ABCD 是正方形, 其对角线 BD,AC 交于点 E,
A F D E G B C

∴ PA ? BD,AC?BD,

PA ? AC ? A

∴BD?平面 PAC, ????????????????3 分 ∵FG?平面 PAC, ∴BD?FG ????????????????4 分
3 AC 时,FG//平面 PBD, 4
第 6 页 共 11 页

(Ⅱ) :当 G 为 EC 中点,即 AG= 理由如下:

????????5 分

连接 PE,由 F 为 PC 中点,G 为 EC 中点,知 FG//PE, 而 FG?平面 PBD, PE?平面 PBD,

故 FG//平面 PBD。 ???????????8 分
P

(Ⅲ):作 BH?PC 于 H,连结 DH,

∵ PA ? 面 ABCD,四边形 ABCD 是正方形, ∴PB=PD, 又∵BC=DC,PC=PC, ∴△PCB≌△PCD, ∴DH?PC,且 DH=BH, ∴?BHD 就是二面角 B-PC-D 的平面角, ??????????9 分 即?BHD=
2? , 3
B A F H D E G C

∵ PA ? 面 ABCD, ∴?PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角???10 分
连结 EH,则 EH?BD,?BHE=

? ,EH?PC, 3

∴tan?BHE= ∴

BE ? 3 ,而 BE=EC, EH

EH 3 2 EC ? ,∴tan?PCA= , ? 3 ,∴sin?PCA= EC 3 2 EH 2 ??????????12 分 2

∴PC 与底面 ABCD 所成角的正切值是
用向量方法:

解:以 A 为原点,AB,AD,AP 所在的直线分别为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系如图所示, 设正方形 ABCD 的边长为 1,则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0), D(0,1,0),P(0,0,a)(a>0),E(

1 1 1 1 a , , 0 ),F( , , ),G(m,m,0)(0<m< 2 ) 2 2 2 2 2
??????????2 分

(Ⅰ) BD =(-1,1,0) FG =( m ? ,

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 1 1 BD ? FG =-m+ +m- +0=0, 2 2
∴BD ? FG

1 1 a , ,m ? ,? ) 2 2 2

????????????????4 分
第 7 页 共 11 页

1 1 ? m? ? ? ??? ? ??? ??? 1 1 ? ? ? ? 2 2 , (Ⅱ)要使 FG//平面 PBD,只需 FG//EP,而 EP =( , , ?a ),由 FG =? EP 可得 ? 2 2 ?? a ? ?a? ? 2 ?
解得?=1,m= ∴G(

???? 3 ???? 3 3 , ,0) ,∴ AG ? AC , 4 4 4 3 故当 AG= AC 时,FG//平面 PBD 4

3 , 4

???????????????6 分

??????????8 分

? ??? ? ? ??? ? ?u P ? 0 ?C ? 1 ? (Ⅲ)设平面 PBC 的一个法向量为 u = x,y,z)则 ? ? ??? ( , , P ?,,( ) a 而 C 1 ? ?C ?u B ? 0 ?

BC , ? (0,1, 0) ,

??? ?

? ? ? x ? y ? az ? 0 ∴? ,取 z=1,得 u =(a,0,1),同理可得平面 PDC 的一个法向量为 v =(0,a,1), ?y ? 0 ? ? ? ? | u ?v | 1 1 1 2? 1 ? , 设 u , v 所成的角为?,则|cos?|=|cos |= ,即 ? ? = ,∴ 2 2 3 2 | u || v | 2 a ?1 ? a ?1 2
∴a=1 ???????????????????11 分

∵ PA ? 面 ABCD, ∴?PCA 就是 PC 与底面 ABCD 所成的角, ∴tan?PCA=
PA 1 2 ? ? AC 2 2
????????????12 分

20. (本小题满分 12 分) 解: (1)? n ? 2 时, an ? 7 Sn ?1 ? 2,? an ?1 ? 7 Sn ? 2 ,? an ?1 ? an ? 7an

? an?1 ? 8an (n ? 2) ????????????3 分
又 a1 ? 2 ,? a2 ? 7a1 ? 2 ? 16 ? 8a1 ,

? an ?1 ? 8an (n ? N ? )

?{an } 是一个以 2 为首项,8 为公比的等比数列????????????5 分
? an ? 2 ? 8n ?1 ? 23n ? 2 ???????????6 分

第 8 页 共 11 页

(2)bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ????????8 分 log 2 an ? log 2 an ?1 (3n ? 2)(3n ? 1) 3 3n ? 2 3n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ?Tn ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ) ? (1 ? ) ? ??????10 分 3 4 4 7 3n ? 2 3n ? 1 3 3n ? 1 3 m 1 20 ,所以最小正整数 m ? 7 .?????????12 分 ? ? ,? m ? 20 3 3
21. (本小题满分 12 分) (1)设 M ( x1 , y1 ),? F2 (1,0),| MF2 | ? 由抛物线定义, x1 ? 1 ?

5 . 3

5 2 ,? x1 ? ,? y12 ? 4 x1 , 3 3

? y1 ?

2 6 .?????????2 分 3

2 2 6 4 8 ?M ( , ),? M 在 C1 上,? 2 ? 2 ? 1 ,又 b2 ? a2 ? 1 3 3 9a 3b

?9a 4 ? 37a 2 ? 4 ? 0

? a2 ? 4 或 a2 ?

1 ? c 2 舍去. 9

? a 2 ? 4, b2 ? 3 ?????????5 分
∴椭圆 C1 的方程为

x2 y2 ? ? 1 .?????????6 分 4 3

(2)∵直线 BD 的方程为 7 x ? 7 y ? 1 ? 0, ABCD 为菱形,

? AC ? BD ,设直线 AC 的方程为 y ? ? x ? m ?????????7 分
? y ? ?x ? m ? 2 ? 7 x 2 ? 8mx ? 4m 2 ? 12 ? 0,? A 、 C 在椭圆 C1 上, ?x y2 ?1 ? ? 3 ?4
?? ? 0,? m2 ? 7,?? 7 ? m ? 7 .?????????8 分
设 A( x1 , y1 ), C ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?

8m . 7

8m 6m ????9 分 ? 2m ? 7 7 4m 3m 4m 3m , ) , 由 ABC D为 菱 形 可 知 , 点 ( , ) 在直线 ? AC 的 中 点 坐 标 为 ( 7 7 7 7 y1 ? y2 ? (? x1 ? m) ? (? x2 ? m) ? ?( x1 ? x2 ) ? 2m ? ?
第 9 页 共 11 页

BD : 7 x ? 7 y ? 1 ? 0 上,

?7 ?

4m 3m ?7? ? 1 ? 0, m ? ?1 ?????????11 分 7 7

? m ? ?1? (? 7, 7)
∴直线 AC 的方程为 y ? ? x ? 1 ,即 x ? y ? 1 ? 0 .?????????12 分

22. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ? ln x,
1 得 f ?( x) ? 1 ? , x

?????????1 分
1 ? 0 ,解得 x ? 1 ,所以函数 f ( x) 在 (1, ??) 上为增函数, x

令 f ?( x) ? 0 ,即 1 ?

据此,函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数,

?????????3 分

而 f (e) ? e? 1 , f (e2 ) ? e2 ? 2 , 所以函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上的值域为 [e? 1,e2 ? 2] ?????????4 分
a a (Ⅱ)由 f ?( x) ? 1 ? , 令 f ?( x) ? 0 ,得 1 ? ? 0, 即 x ? ?a, x x 当 x ? (0, ?a) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (0, ?a) 上单调递减; 当 x ? (?a, ??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 在 (?a, ??) 上单调递增;???????5 分

若 1 ? ?a ? e ,即 ? e ? a ? ?1 ,易得函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为增函数, 此时, f ( x)max ? f (e2 ) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e2 ) ? e? 1 即可, 所以有 e2 ? 2a ? e? 1 ,即 a ? 而
? e 2 ? e? 1 2

? e 2 ? e? 1 ?(e2 ? 3e? 1) ? e 2 ? e? 1 ? (? e) ? ? 0 ,即 ? ? e ,所以此时无解. 2 2 2 ?????????7 分

若 e ? ?a ? e2 ,即 ? e ? a ? ? e2 ,易知函数 f ( x) 在 [e, ?a] 上为减函数,在 [?a,e2 ] 上为增函数,
a ? ?1 ? ? f (e) ? e? 1 ? 要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 ? ,即 ? ? e 2 ? e? 1 , 2 ? f (e ) ? e? 1 ?a ? ? 2



? e 2 ? e? 1 ? e 2 ? e? 1 ? e 2 ? e? 1 e 2 ? e? 1 ? (?1) ? ?0和 ? (? e2 ) ? ?0 2 2 2 2
第 10 页 共 11 页

得 ? e2 ? a ?

? e 2 ? e? 1 . 2

?????????9 分

若 ?a ? e2 ,即 a ? ? e2 ,易得函数 f ( x) 在 [e, e 2 ] 上为减函数, 此时, f ( x)max ? f (e) ,要使 f ( x) ? e? 1 对 x ? [e,e2 ] 恒成立,只需 f (e) ? e? 1 即可, 所以有 e? a ? e? 1 ,即 a ? ?1 ,又因为 a ? ? e2 ,所以 a ? ? e2 . 综合上述,实数 a 的取值范围是 (??,
? e ? e? 1 ]. 2
2

???????11 分

?????????12 分

第 11 页 共 11 页


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