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高中数学竞赛讲座 29有理数的运算


竞赛讲座 29 -有理数的运算
有理数运算是中学数学中一切运算的基础, 同学们在理解有理数的概念、 法则的基础上, 能够利用法则、公式等正确地运算。但有些有理数计算题,数字大、项数多,结构貌似复杂, 致使同学们望题生畏,不知所措。本讲采用举例的办法,介绍几种有理数的计算方法,以帮 助同学们轻松地进行计算,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性。 一、连续自然数的和 (首项 ? 末项) ? 项数 连续自然数的和? ,项数 ? 大数 ? 小数 ? 1 2 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 48 例1.计算 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 2 3 3 4 4 4 5 5 5 5 49 49 49
解:原式 ? ? 1 1 1 1 1 ? (1 ? 2) ? (1 ? 2 ? 3) ? (1 ? 2 ? 3 ? 4) ? ? ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 48) 2 3 4 5 49

1 3 1 (1 ? 4) ? 4 1 (1 ? 48) ? 48 ?1? ? ? ??? ? 2 2 5 2 49 2 1 3 4 48 ? ?1? ? ??? 2 2 2 2 1 (1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 48) 2

?
?

1 (1 ? 48) ? 48 ? 2 2 1 ? ? 49 ? 48 4
? 588

二、凑整法 例 2.计算 3998+2997+1996+195 分析:直接计算较繁,根据题目,将原有数字凑成相应的整数或便于计算的数,达到 简单的目的。 解:原式=(4000―2)+(3000―3)+(2000―4)+(200―5) =(4000+3000+2000+200) ―(2+3+4+5) =9200―14 =9186 三、拆项相消法

1

利用一对相反数的代数和为零这一性质常可简化运算。 1 1 1 例3.计算: ? ??? 1? 2 2 ? 3 10 ? 11 1 1 1 1 1 ? 1? ? ? ??? ? 2 2 3 10 11 1 ? 1? 11 10 ? 11
此题的关键是把分数 1 1 1 , , ?, 分别化成两个分数的差 。 1? 2 2 ? 3 10 ? 11

1 1 1 总结:利用 ? ? 进行拆项,以此出现互 为相反数的项而相消。 n(n ? 1) n n ? 1
例4.计算 1 1 1 1 ? ? ? 2 ? 5 5 ? 8 8 ? 11 11 ? 14

1 1 1 1 分析:为产生互为相反 数的项而达到相消的目 的,可构造: ? ( ? ) n(n ? 3) 3 n n ? 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解:原式 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) 3 2 5 3 5 8 3 8 11 3 11 14
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ? ? ? ) 3 2 5 5 8 8 11 11 14 ?
?

1 1 1 ( ? ) 3 2 14
1 7

1 1 1 1 推广:利用 ? ( ? )产生相消项以解决一些 带有综合性的计算。 n( n ? k ) k n n ? k

四、分组法

例5.计算s ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? 2001? 2002 分析:此算式的规律是 任何相邻两项之和或为 “ 1 ”或“?1 ”,故采用分组将第一 项与第 二项、第三项与第四项 、 ?分别配对构成一系列的 “?1 ”之和。
解:s ? (1 ? 2) ? (3 ? 4) ? ? ? (2001? 2002 )
? (?1) ? (?1) ? ? ? (?1) 推广:s ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) n ?1 ? n ? ?1001 n n n 讨论:当n为偶数时,有 个(?1)的和,则s ? (?1) ? ? ? 2 2 2 n ?1 当n为奇数时,有 个(?1)的和,再加上最后一项 (?1) n ?1 ? n ? n 2 n ?1 n ?1 则s ? (?1) ? ?n? 2 2 2

五、错位相减法
例6.计算 s ? 1 ? 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2003 2 2 2 2 1 1 1 1 解: s ? 1 ? ? 2 ? 3 ? ? ? 2003 (1) 2 2 2 2 1 1 1 2s ? 2 ? 1 ? ? 2 ? ? ? 2002 (2) 2 2 2 1 (2)减(1)得: s ? 2 ? 2003 2 1 1 1 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2003 2 2 2 2

或者:因 s ? 1 ?

1 1 1 1 1 1 则 s ? ? 2 ? 3 4 ? ? ? 2004 2 2 2 2 2 2 1 1 这两式相减得: s ? 1 ? 2004 2 2 1 ? s ? 2 ? 2003 2

1 说明:此算式从第二项 起,每一项与前一项之 比都相等为 , 如果将(1)式各项乘以 2得(2)式, 2 所得(2)式中除个别项外,其余 得项与(1)式中得项相同。再两式 相减使差易于计算。

六、倒序相加法 分析:观察发现,从第二项开始,后项减前项的差都等于 2;其次,算式中首末两项之和 与距首末两项等距离的两项之和都等于 100,则采用“倒写相加”来凑整的方法解决。
例7.计算1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 99 解:设s ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 99 s ? 99 ? 97 ? 95 ? 93 ? ? ? 1 ? 2s ? (1 ? 99) ? (3 ? 97) ? ? ? (99 ? 1) 99 ? 1 ? 100 ? ( ? 1) 3 ?1 ? 100 ? 50
? s ? 2500 七、运用公式法

例8.计算(2 ? 1)(22 ? 1)(24 ? 1)(28 ? 1)(216 ? 1) 解:原式? (2 ?1)(2 ? 1)(22 ? 1)(24 ? 1)(28 ? 1)(216 ? 1)
3

? (22 ?1)(22 ? 1)(24 ? 1)(28 ? 1)(216 ? 1)
? (2 4 ?1 )( 24
8 ?1 )( 2 1 6 ?1 )( 2

?1 )

4


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