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2014届高三上学期期中考试 数学理试题 Word版含答案


半塔中学 2014 届高三年级第四次考试试题

数学(理科)
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={0,m2},B={1,2},则“m=1”是“A∪B={0,1,2}”的( ) A.充要条件 不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不

充分条件 D.既不充分又

2.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? 则与 AB 同方向的单位向量是( A. ? , ?

??? ?

) D. ? ?

?3 ?5

4? ? 5?
2

B. ?
2

? 4 3? ,? ? ?5 5?

C. ? ? ,

? 3 4? ? ? 5 5?

? 4 3? , ? ? 5 5?

2 3.已知点 ? a, b ? 在圆 x ? y ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos x ? b sin x cos x ?

a ? 1的最小正 2
D. 2? , ?

周期和最小值分别为( A. 2? , ?

) B. ? , ?

3 2

3 2

C. ? , ?

5 2


5 2

4.已知函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ? ?2, A. ? ?

? ?

1? ? ,则 f ? x ? 的定义域为( 2?
C. ? ?3, 2 ?

? 3 1? , ? ? 2 4?
2 3 log 2 3

B. ? ?1,

? ?

3? ? 2?
的值为(

D. ? ?3,3?

5.实数 27 ? 2 A.2

? log 2

1 ? lg 4 ? 2 lg 5 8
B.5

) C.10 D.20 )

6.已知角 x 的终边上一点坐标为 ? sin A.

? ?

5? 5? , cos 6 6

? ? ,则角 x 的最小正值为( ?
C.

5? 6

B.

5? 3

11? 6
).?

D.

2? 3

7.设复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 6 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数是( A. 2 ? 4i

B. 2 ? 4i C. 4 ? 4i ? ? ? ? ? ? 8.已知向量 a ? b ? ? 2, ?8 ? , a ? b ? ? ?8,16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( A.

D. 4 ? 4i ) D.

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

5 13

-1-

9.设分程 2 ? x ? 2 ? 0 和方程 log 2 x ? x ? 2 ? 0 的根分别为 p 和 q ,函数
x

f ? x ? ? ? x ? p ?? x ? q ? ? 2 ,则(
A. f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 3? C. f ? 3? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ?

) B. f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3? D. f ? 0 ? ? f ? 3? ? f ? 2 ? ,若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的 ) C.[0,+∞)

10.已知函数 实数根,则实数 a 的取值范围是( A. (﹣∞,1] B. (0,1)

D. (﹣∞,1)

第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)=2x3+ax2+b﹣1 是奇函数,则 a﹣b= .

12.已知向量 a 、b 不共线,若 a-2b 与 3a+kb 共线,则实数 k=_____. π π → → → 13.函数 y=tan?4x-2?的部分图象如图所示,则(O B -OA)· = OB ? ? 14.设两个向量 a=(λ+2,λ -cos α)和 b=(m, +sinα),其中 λ,m,α 为实数.若 a=2b, 2 λ 则 的取值范围是___________.
2 2

m

m

15.设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 t 和向量 a ? M ,都有 ta ? M ,则称

?

?

M 为“点射域”.现有下列平面向量的集合:
① {( x, y ) |

x ? y} ;
2
2 2

? ? x ? y ? 0? ?( x, y) | ? ? ②? ? x ? y ? 0? ;
④ {( x, y ) | 3x
2

③ {( x, y ) | x ? y ? 2 x ? 0} ; 上述为“点射域”的集合的有

? 2 y 2 ? 6 ? 0} ;

(写正确的标号)

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 75 分,请将解题过程写在答题纸相应的位置,写错位置不得分) 16. (本小题满分 12 分)

-2-

设命题 P : f ( x) ?

2 在区间(1,??)上是减函数 ; x?m
2 2

命题 q : x1 , x2 是方程 x ? ax ? 2 ? 0 的两个实根 ,且不等式 m ? 5m ? 3 ≥ | x1 ? x2 | 对任意的实数

a ? [?1,1] 恒成立,若 ? p ? q 为真,试求实数 m 的取值范围.

17. (本小题满分 12 分) 如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45° 点北 ,B 偏西 60° D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 60° 的 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援 船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

18. (本小题满分 12 分) π 3π 已知 A,B,C 的坐标分别为 A (3,0),B (0,3),C (cosα,sinα),α ∈ ?2, 2 ?. ? ? → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值; 2sin2α+sin2α → → (2)若AC· =-1,求 BC 的值. 1+tanα

19.(本小题满分 13 分) 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后,发现一天中环境综合放射性污染指
-3-

数 f(x)与时刻 x(时)的关系为 f(x)=?

? 2 x -a?+2a+2,x [0,24],其中 a 是与气象有关的参数, ? ? 3 ?x +1 ?

? 1? 且 a ? ?0, ? ,若用每天 f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数,并记作 M (a ). 2 ? ?
(1)令 t=

x ,x∈[0,24],求 t 的取值范围. x2+1

(2)省政府规定, 每天的综合放射性污染指数不得超过 2, 试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超 标?

20(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? a sin x ? x ? b (a,b 均为正常数). (1)求证:函数 f(x)在(0,a+b]内至少有一个零点; (2)设函数在 x ? ? 处有极值, 3 ①对于一切 x ? ?0,π ? ,不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立,求 b 的取值范围; ? 2? ? ? ②若函数 f(x)在区间 m ? 1 π,2m ? 1 π 上是单调增函数,求实数 m 的取值范围. 3 3

?

?

21、 (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 2 , g ( x) ? a ln( x ? 1) ? 2a ? 6( a 为常数)
2

(1)当 x ? [2,??) 时 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2) 若函数 h( x) ? xf ( x) 有对称中心为 A (1, , 0) 求证: 函数 h(x ) 的切线 L 在切点处穿过 h(x ) 图象的充要条件是 L 恰为函数在点 A 处的切线。 (直线穿过曲线是指:直线与曲线有交点,且 在交点左右附近曲线在直线异侧)

数学(理科)解答
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

-4-

1.若集合 A={0,m2},B={1,2},则“m=1”是“A∪B={0,1,2}”的( B ) A.充要条件 不必要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分又

2.已知点 A ?1,3? , B ? 4, ?1? 则与 AB 同方向的单位向量是( A A. ? , ?

??? ?

) D. ? ?

?3 ?5

4? ? 5?
2

B. ?
2

? 4 3? ,? ? ?5 5?

C. ? ? ,

? 3 4? ? ? 5 5?

? 4 3? , ? ? 5 5?

3.已知点 ? a, b ? 在圆 x ? y ? 1上,则函数 f ? x ? ? a cos 2 x ? b sin x cos x ? 周期和最小值分别为( B A. 2? , ? ) B. ? , ?

a ? 1 的最小正 2
D. 2? , ?

3 2

3 2

C. ? , ?

5 2


5 2

4.已知函数 f ? 2 x ? 1? 的定义域为 ? ?2, A. ? ?

? ?

1? ? ,则 f ? x ? 的定义域为( C 2?
C. ? ?3, 2 ?

? 3 1? , ? ? 2 4?
2 log 2 3

B. ? ?1,

? ?

3? ? 2?

D. ? ?3,3?

5.实数 27 3 ? 2 A.2

? log 2

1 ? lg 4 ? 2 lg 5 8
B.5

的值为(D

) C.10 D.20 )

6.已知角 x 的终边上一点坐标为 ? sin A.

? ?

5? 5? , cos 6 6

? ? ,则角 x 的最小正值为( B ?
C.

5? 6

B.

5? 3

11? 6
).?

D.

2? 3

7.设复数 z 满足 z ? (1 ? i) ? 6 ? 2i ,则复数 z 的共轭复数是( B A. 2 ? 4i B. 2 ? 4i C. 4 ? 4i

D. 4 ? 4i ) D.

8.已知向量 a ? b ? ? 2, ?8 ? , a ? b ? ? ?8,16 ? ,则 a 与 b 夹角的余弦值为( B A.

?

?

? ?

?

?

63 65

B. ?

63 65

C. ?

63 65

5 13

x 9.设分程 2 ? x ? 2 ? 0 和方程 log 2 x ? x ? 2 ? 0 的根分别为 p 和 q ,函数

f ? x ? ? ? x ? p ?? x ? q ? ? 2 ,则( A
A. f ? 2 ? ? f ? 0 ? ? f ? 3? C. f ? 3? ? f ? 0 ? ? f ? 2 ?

) B. f ? 0 ? ? f ? 2 ? ? f ? 3? D. f ? 0 ? ? f ? 3? ? f ? 2 ?

-5-

10.已知函数

,若方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的

实数根,则实数 a 的取值范围是( D ) A B(0,1) (﹣∞,1] C.[0,+∞) . . 解:函数 的图象如图所示,

D.(﹣∞,1)

当 a<1 时,函数 y=f(x)的图象与函数 y=x+a 的图象有两个交点, 即方程 f(x)=x+a 有且只有两个不相等的实数根, 故选:D

Ⅱ卷
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.已知 f(x)=2x3+ax2+b﹣1 是奇函数,则 a﹣b= ﹣1 . 解:∵f(x)是 R 上的奇函数,∴f(0)=0,得 b﹣1=0,解得 b=1. ∴f(x)=2x3+ax2. 又∵f(﹣x)+f(x)=0,∴﹣2x3+ax2+2x3+ax2=0,化为 ax2=0,对于任意实数 R 都成立. ∴a=0.∴a﹣b=﹣1. 故答案为﹣1. 12.已知向量 a、b 不共线,若 a-2b 与 3a+kb 共线,则实数 k=________. 解析:因为 a-2b 与 3a+kb 共线,所以存在实数λ 使得 a-2b=λ (3a+kb), 整理得(3λ -1)a+(kλ +2)b=0,又因为向量 a、b 不共线,
?3λ -1=0 ? 所以? ? ?kλ +2=0

?λ =1 ? 3 ,∴? ?k=-6 ?

.

答案:-6

π π → → → 13.函数 y=tan?4x-2?的部分图象如图所示,则(O B -OA)· = OB ? ?

4

→ → → 解析:由题意知 A(2,0),B(3,1),所以(OB-OA)· =(1,1)· OB (3,1)=4 m 14.设两个向量 a=(λ+2,λ2-cos2α)和 b=(m, +sinα),其中 λ,m,α 为实数.若 a=2b, 2 λ 则 的取值范围是_______________. m

-6-

解析:根据已知条件得 2b=(2m,m+2sinα),又 a=2b,所以 λ+2=2m,λ2-cos2α=m +2sinα, 于是 2λ2-2cos2α=λ+2+4sinα, 2λ2-λ=-2sin2α+4sinα+4=-2(sinα-1)2+6, 即 2 ? ?2λ -λ≤6 3 故-2≤2λ2-λ≤6,即? 2 ,解得- ≤λ≤2, 2 ? ?2λ -λ≥-2 λ λ 4 故 =λ =2- ∈[-6,1]. m λ+2 +1 2 答案:[-6,1]

15.设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 t 和向量 a ? M ,都有 ta ? M ,则称

?

?

M 为“点射域”.现有下列平面向量的集合:
① {( x, y ) |

x ? y} ;
2
2 2

? ? x ? y ? 0? ?( x, y) | ? ? ②? ? x ? y ? 0? ;
④ {( x, y ) | 3x
2

③ {( x, y ) | x ? y ? 2 x ? 0} ; 上述为“点射域”的集合的有 ②

? 2 y 2 ? 6 ? 0} ;

(写正确的标号)

三、解答题(本大题共 6 道小题,共 75 分,请将解题过程写在答题纸相应的位置,写错位置不得分) 16 解:解:对命题

P : x ? m ? 0, 又 x ? (1, ??) 故 m ? 1
( x 1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? a 2 ? 8 对 a ?[?1,1] 有 a 2 ? 8 ? 3

对命题 q :| x1 ? x2 |?
2

∴ m ? 5m ? 3 ? 3 ? m ? 1或m ? ?6 若 ?p ? q 为真,则 p 假 q 真 ∴?

?m ? 1 ? m ?1 ?m ? 1或m ? ?6
17. (

解:由题意知 AB=5(3+ 3)(海里), ∠DBA=90° -60° =30° ,∠DAB=90° -45° =45° , ∴∠ADB=180° -(45° +30° )=105° . DB AB 在△DAB 中,由正弦定理得 = , sin∠DAB sin∠ADB AB· sin∠DAB 5?3+ 3?· sin45° 5?3+ 3?· sin45° 5 3? 3+1? ∴DB= = = = =10 3(海里). sin105° sin∠ADB sin45° cos60° +cos45° sin60° 3+1 2 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=30° +(90° -60° )=60° , BC=20 3(海里), 2 2 2 在△DBC 中,由余弦定理得 CD =BD +BC -2BD· cos∠DBC BC· 1 =300+1200-2×10 3×20 3× =900, 2

-7-

30 ∴CD=30(海里),则需要的时间 t= =1(小时). 30 即该救援船到达 D 点需要 1 小时. → → 18 解:(1) ∵AC=(cosα-3,sinα),BC=(cosα,sinα-3), → ∴AC2=(cosα-3)2+sin2α=10-6cosα, → BC2=cos2α+(sinα-3)2=10-6sinα, → → → → 由|AC|=|BC|,可得AC2=BC2, 即 10-6cosα=10-6sinα,得 sinα=cosα. π 3π 5π 又∵α∈?2, 2 ?,∴α= . ? ? 4 → → (2)由AC· =-1,得(cosα-3)cosα+sinα(sinα-3)=-1, BC 2 ∴sinα+cosα= .① 3 2sin2α+sin2α 2sin2α+2sinαcosα 又 = =2sinαcosα. sinα 1+tanα 1+ cosα 4 由①式两边分别平方,得 1+2sinαcosα= , 9 2sin2α+sin2α 5 5 ∴2sinαcosα=- .∴ =- . 9 9 1+tanα 19.解:(1)当 x=0 时,t=0; 1 当 0<x≤24 时,x+ ≥2(当 x=1 时取等号),

x

∴t=

= x +1
2

x

? 1? ? 1? ∈?0, ?, 即 t 的取值范围是 ?0, ?. 1 ? 2? ? 2? x+
1

x

2 ? 1? (2)当 a ∈ ?0, ? 时,记 g(t)=|t-a|+2a+ , 2? 3 ?

?-t+3a+2,0≤t≤a, ? 3 则 g(t)=? 2 1 ? ?t+a+3,a<t≤2.

2 ?1? 7 ? 1? ∵g(t)在[0,a]上单调递减,在?a, ?上单调递增, 且 g(0)=3a+ ,g? ?=a+ , 2? 2? 3 ? 6 ?

g(0)-g? ?=2?a- ?. 2 4

?1? ? ?

? ?

1?

?

?g?1?,0≤a≤1, ? ?2? 4 ? ? 故 M(a)=? 1 1 ?g? 0? ,4<a≤2, ?

?a+7,0≤a≤1, ? 6 4 =? 2 1 1 ?3a+3,4<a≤2. ?

4 4 4 1 ∴当且仅当 a≤ 时,M(a)≤2.故当 0≤a≤ 时不超标,当 <a≤ 时超标. 9 9 9 2 20(本小题满分 13 分)
-8-

(1)证明:? f (0) ? b ? 0 , f (a ? b) ? a sin(a ? b) ? a ? b ? b ? a[sin(a ? b) ? 1] ? 0

? f (0) f (a ? b) ? 0
所以,函数 f ( x) 在 ? 0, a ? b ? 内至少有一个零点 (2) f ?( x) ? a cos x ? 1 由已知得: f ?( ) ? 0 所以 a=2,

?

3

所以 f(x)=2sinx﹣x+b ①不等式 f ( x) ? sin x ? cos x 恒成立可化为:sinx﹣cosx﹣x>﹣b 记函数 g(x)=sinx﹣cosx﹣x, x ? [0,

?
2

]

? ? ? ? 3? 2 ? g ?( x) ? cos x ? sin x ? 1 ? 2 sin( x ? ) ? 1, x ? [0, ]x ? ? [ , ], ? sin( x ? ) ? 1 4 2 4 4 4 2 4
1 ? 2 sin( x ? ) ? 2 ,所以 g ?( x) ? 0 在 [0, ] 恒成立 4 2
函数 g ( x) 在 [0,

?

?

?

2

] 上是增函数,最小值为 g(0)=﹣1

所以 b>1, 所以 b 的取值范围是(1,+∞) ②由 (

m ? 1 2m ? 1 m ?1 2m ? 1 ?, ? ) 得: ?? ? ,所以 m>0 3 3 3 3

令 f′(x)=2cosx﹣1>0,可得 2k? ? ∵函数 f(x)在区间(

?

m ? 1 2m ? 1 ?, ? )上是单调增函数, 3 3 m ?1 ? 2m ? 1 ? ∴ ? ? 2k? ? 且 ? ? 2k? ? 3 3 3 3
∴6k≤m≤3k+1 ∵m>0,∴3k+1>0,6k≤3k+1 ∴k=0 ∴0<m≤1
2

3

? x ? 2k? ?

?

3

,k ?Z

21、 (本题满分 14 分)21、解: (1)设 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? ax ? 2a ? 4 ? a ln( x ? 1)

a x[2 x ? (a ? 2)] ? x ?1 x ?1 a ' 令: F ( x) ? 0得 : x ? 0, x ? 1 ? 2 a 所以:当 1 ? ? 2即a ? 2 时, F (x) 在 x ? [2,??) 是增函数 F (x) 最小值为 F (2) ? 0 ,满足。 2 a a a 当 1 ? ? 2即a ? 2 时, F (x) 在区间 (2, ? ) 为减函数,在区间 1 ? ,? ?) 为增函数 1 ( 2 2 2 a 所以: F (x) 最小值 F (1 ? ) ? F (2) ? 0 ,故不合题意。 2 所以:实数 a 的取值范围是: a ? 2 ┄┄┄┄┄┄┄ 6 分
所以 F ( x) ? 2 x ? a ?
'

-9-

(2)因为 h( x) ? xf ( x) 关于 A(1,0)对称,则 h( x ? 1) 是奇函数,所以 a ? 3 所以 h( x) ? x ? 3x ? 2 x ,则 h ( x) ? 3x ? 6 x ? 2
3 2 ' 2

若 L 为 A 点处的切线则其方程为: y ? 1 ? x 令 t ( x) ? h( x) ? (1 ? x) ? x ? 3x ? 3x ? 1 , t ( x) ? 3x ? 6 x ? 3 ? 3( x ? 1) ? 0
3 2 ' 2 2

所以 t (x) 为增函数,而 t (1) ? 0 所以直线 L 穿过函数 h(x ) 的图象。┄┄┄┄┄ 9 分 若 L 是函数 h(x ) 图象在 B(m, h(m)) 的切线,则 L 方程: y ? h (m)( x ? m) ? h(m)
'

设 G( x) ? h( x) ? h (m)( x ? m) ? h(m) ,
'

则 G ( x) ? h ( x) ? h (m) ? 3x ? 6 x ? 2 ? 3m ? 6m ? 2 ? 3( x ? m)( x ? m ? 2)
' ' ' 2 2

令 G ( x) ? 0 得: x ? m, x ? 2 ? m
'

当 m ? 2 ? m即m ? 1 时: x ? (??, m)时G ( x) ? 0则G( x)在区间(??, m)为增函数
'

x ? (m,2 ? m)时G ' ( x) ? 0则G( x)在区间(m,2 ? m)为减函数
从而 G( x)在x ? m 处取得极大值,而 G(m) ? 0 , 则当 x ? (??,2 ? m) 时 G( x) ? 0 ,所以 h(x ) 图象在直线 L 的同侧 所在 L 不能在 B(m, h(m)) 穿过函数 h(x ) 图象, 所以 m ? 1 不合题意,同理可证 m ? 1 也不合题意。 所以 m ? 1 (前面已证)所以 B 即为 A 点。 、 所以原命题成立。 ┄┄┄┄┄ 14

- 10 -


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