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2013高考数学第二轮复习学案


2013 高考数学二轮复习 28 讲

第 17 讲
一、复习目标

圆锥曲线的方程和性质

1、能根据条件熟练地求出曲线的方程。 2、进一步掌握圆和三种圆锥曲线的定义、方程和简单的几何性质。 3、理解圆和椭圆的参数方程。

二、课前热身 1.若 ? ? R ,则方程 x 2 ? 4 y 2 sin ? ? 1所表示的曲线必定不是(
(A)直线
2 2

(B)圆

(C)双曲线

) (D)抛物线

x y ? ? 1 的中心为焦点,右准线为准线的抛物线与椭圆的左准线交于 A、B 25 16 两点,则 AB 的值是( )
2.以椭圆

50 50 3 25 3 (C) (D) 3 3 3 2 2 3.动点 P 在椭圆 x ? a( y ? 1) ? a(0 ? a ? 1) 上运动,线段 OP 长度的最大值是(
(A)

5 6 6

(B)



(A)1

(B)2

(C) 2 a

(D) 1 ? a 2

4.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 ,0) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M、N 两点

2 ,则此双曲线方程是 3 2 5.点 A 的坐标为 (2,1) ,F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,P 在抛物线上移动,若 PA ? PF 取
MN 的中点的横坐标为 ? 最小值,则点 P 的坐标为

三、例题探究
8 x2 y2 ? ? 1 上的点, F2 是右焦点且 AF2 ? BF2 ? a ,AB 2 9 2 5 a a 25 3 的中点 N 到左准线的距离等于 ,求此椭圆的方程。 2
例 1.已知 A、B 是椭圆

例2.已知双曲线

x2 y2 ? ? 1( a ? 0, b ? 0 )的右准线 L 2 与一条渐近线 L 交于点 P,F a2 b2

是双曲线的右焦点: (1)求证: PF ? L ; (2)若 PF ? 3 且双曲线的离心率 e ?

5 ,求双曲线的方程; 4

(3)延长 FP 交双曲线左准线 L1 和左支分别为 M、N,若 M 为 PN 的中点,求双曲线的离 心率 例3(选讲).抛物线有光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后,沿平行于抛物线
1

2013 高考数学二轮复习 28 讲

对称轴的方向射出。今有抛物线 y 2 ? 2Px ( P ? 0 ) ,一光源在点 M(

41 ,4 )处,由其 4

发出的光线沿平行于抛物线的对称轴方向射向抛物线上的点 P,反射后又射向抛物线上的 点 Q,再反射后又沿平行于抛物线的对称轴的方向射出,途中遇到直线 L : 2 x ? 4 y ? 17 ? 0 上的点 N,再反射后又射回到点 M (1) 设 P、Q 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,证明: y1 y2 ? ? P 2 ; (2) 求抛物线的方程; (3) 试判断在抛物线上是否存在一点 R 使该点与点 M 关于 PN 所在直线对称?若存在 请求出此点的坐标;若不存在,请说明理由。

y

P

M L

O Q N

x

四、方法点拨
1. 例 1 运用了椭圆的两种定义来解决, 椭圆两定义都是椭圆上任意一点 P 到焦点的距离来描述的, 这两 种定义能够对一些距离进行相关的转化、简化解题过程。因此在解答时遇到涉及曲线上点到焦点的 距离时应该考虑是否能够使用椭圆的定义求解。 2. 例 2 用待定系数法求双曲线的标准方程,一定要抓住题设所给的独立条件建立 a、b、c 之间的 等量关系,再利用 a 3.

? b 2 ? c 2 运用方程的思想来求解。 2 例3设 PQ 是过抛物线 y ? 2Px( P ? 0) 焦点 F 的一条弦,若 P( x1 , y1 ) ,Q( x2 , y 2 )且 PQ
2

的倾斜角为

? (? ? 0) 则有以下结论: x1 x 2 ? ①


P2 4



y1 y2 ? ?P 2 ② PQ ? x1 ? x2 ? P ③

PQ ?

2P sin 2 ?

1 1 2 ? ? PF QF P

2

2013 高考数学二轮复习 28 讲

冲 刺 强 化 训 练 (17)
班级 1.方程 2 y ? A.圆 姓名
2

学号 ) C.双曲线的一支 B.椭圆上半部分

日期





4 ? x 所表示的曲线是(

D.抛物线

x2 y2 2. 椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的两焦点为 F 、 F2 ,以 F1 F2 为边作正三角形,若椭圆 1 a b
恰好平分正三角形的另两边,则椭圆的离心率为( A. 3 ? 1 B. ) C.

1 3 D. 2 3 3. 椭圆的一个焦点是(2,1) ,相应准线方程是 x ? y ? 1 ? 0 ,椭圆的短轴长为 4 2 ,

3 2

则椭圆的另一个焦点为( A. (4 2 ? 2,4 2 ? 1)

) D. (6,5)

B. 2 ? 4 2,1 ? 4 2 )C. (2 ? 4 2,1 ? 4 2 ) (

4.焦点在 x 轴上,以 y 轴为准线,且到点 A(5,0) 最近距离为 2 3 的一个抛物线的方程是 ( ) A. y ? 2( x ? 1)
2

B. y ? 4( x ? 1)
2

C. y ? 18( x ? 9)
2

D. y ? 36( x ? 9)
2

5 . F1、F2 是 双 曲 线

x2 y2 ? 2 ?1 ( a ? 0 )的两个焦点,P 为双曲线上一点, 4a 2 a ?F1 PF2 ? 90? 且 ?F1 PF2 的面积为 1,则 a 的值是

x2 y2 ? ? 1 上运动, Q、R 分别在两圆 x ? 1 2 ? y 2 ? 1, ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 1 ( ) 4 3 运动,则 PQ ? PR 的最大值为 ,最小值为
6.P 在椭圆 7.抛物线的顶点在原点,焦点在 x 轴上,它的准线过双曲线的一个焦点,且与双曲线实轴 垂直,已知抛物线与双曲线的交点为(

3 , 6) ,求抛物线与双曲线的方程。 2

3

2013 高考数学二轮复习 28 讲

8.已知抛物线 C: y 2 ? 4 x 的顶点为 O,过点( ? 1,0 )且平行于向量 a ? (1, k ) 的直线与 抛物线 C 交于 A、B 两点,当实数 k 变化时: (1) 求证: OA? OB 是一个与 k 无关的常数; (2) 若 OM ? OA ? OB ,求 OM 的最小值。

x2 y2 9. 已知椭圆 E : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)中,以F1 (?c,0) 为圆心, a ? c 为半径作圆 F1 , 以 a b 过点 B2 (0, b) 作圆 F1 的两条切线,设切点分别为 M , N 两点。 (1) 若过两个切点 M , N 的直线恰好经过点 B1 (0,?b) 时,求此椭圆的离心率;
(2) 若直线 MN 的斜率为-1,且原点到直线 MN 的距离为 4( 2 ? 1) ,求此时的椭圆方 程 (3) 是否存在椭圆 E ,使得直线 MN 的斜率 k 在区间 ? ?

? ? ?

2 3? ? 内取值?若存在, ,? 2 3 ? ?

求出椭圆的离心率 e 的取值范围;若不存在,请说明理由。

第 18 讲
一、复习目标

求轨迹方程
4

2013 高考数学二轮复习 28 讲

1、熟悉求曲线方程的两类问题:一是动点变动的根本原因,二是动点变动的约束条件 2、熟练掌握求曲线方程的常用方法:定义法、代入法、待定系数法、参数法等,并能灵 活应用。

二.课前热身
1.到顶点 F (5,0) 和定直线 x ?

16 5 的距离之比为 的动点的轨迹方程是 5 4

x2 ? y 2 ? 1 交于 P、Q 两点,已知 l 过定点(1,0) 2.直线 l 与椭圆 ,则弦 PQ 中点的轨迹 4
方程是 3.已知点 P 是双曲线 的轨迹方程是 4.在 ?ABC 中,已知 A(?2,0), B(2,0) ,且 AC 、 、 成等差数列,则 C 点轨迹方程 AB BC 为

x2 y2 ? ? 1 上任一点,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 Q,则 PQ 中点 M a2 b2

三.例题探究
例 1.设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x ? 2 y ? 4 交于 A、B 两点,P 是 l 上满足 y l PA ? PB ? 1 的点,求点 P 的轨迹方程。 A
2 2

O B 例 2.如图,在 Rt?ABC 中, ?BAC ? 90? , A(? 2,1)、B( 2,1), S ?ABC ?

x

2

平 方

单位,动点 P 在曲线 E ( y ? 1) 上运动,若曲线 E 过点 C 且满足 PA ? PB 的值为常数。 (1) 求曲线 E 的方程; (2) 设直线 l 的斜率为 1,若直线 l 与曲线 E 有两个不同的交点 Q、R,求线段 QR 的中点 y M 的轨迹方程。 C

A O 例 3.如图所示,过椭圆 E:

B x

x2 y2 ? ? 1 上任一点 P,作右准线 l 的垂线 PH,垂足为 H。 3 2 延长 PH 到 Q,使 HQ= ? ? PH (? ? 0)
(1)当 P 点在 E 上运动时,求点 Q 的轨迹 G 的方程;
5

2013 高考数学二轮复习 28 讲

(2)当 ? 取何值时,轨迹 G 是焦点在平行于 y 轴的直线上的椭圆?证明这些焦点都在同 一个椭圆 E 上,并写出椭圆的方程; (3)当 ? 取何值时,轨迹 G 是一个圆?判断这个圆与椭圆 E 的右准线 l 的位置关系。 y
' '

'

P

H

Q

x O l
2 例 4.设椭圆方程为 x ?

y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原点, 4

点 P 满足 OP ?

1 1 1 (OA ? OB ), 点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2

(1)动点 P 的轨迹方程; (2) NP 的最小值与最大值。

四.方法点拨
例 1 用直接法:若曲线上的动点满足的条件是一些几何量的等量关系,则只需直接把这种关系“翻译” 成关于动点的坐标 x、 y 的方程。经化简所得同解的最简方程,即为所求轨迹方程。其一般步骤为:建 系——设点——列式——代换——化简——检验。 例 2 用圆锥曲线的定义求方程。如果题目中的几何条件能够满足圆、椭圆、双曲线,抛物线的第一、二 定义,则直接利用曲线定义写出其轨迹方程。 例 3 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一。求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就 是利用题设中的几何条件,通过“坐标互化”将其转化为变量间的关系。在确定了轨迹方程之后,有时 需要对方程中的参数进行讨论,因为参数取值的变化会使方程表示不同的曲线,会使其与其他曲线的位 置关系不同,会引起另外某些变量取值范围的变化。 例 4 本题是运用参数法求的轨迹。当动点 P 的坐标 x、 y 之间的直接关系不易建立时,可适当地选取中

? x ? f (t ) ,消去参数 t ,便 ? y ? g (t ) 可得到动点 P 的轨迹普通方程。其中应注意方程的等价性,即由 t 的范围确定出 x、 y 范围。
间变量 t ,并用 t 表示动点 P 的坐标 x、 y ,从而得到动点轨迹的参数方程 ?

冲 刺 强 化 训 练 (18)
班级 姓名_____学号__
2 2

日期 D 抛物线.



日 )

1.若点 M(x,y)满足 ( x ? 3) ? ( y ? 1) ? | x ? y ? 3 |? 0 ,则点 M 的轨迹是( A.圆 B.椭圆 C.双曲线
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2.点 M 为抛物线 y ? x2 上的一个动点,连结原点 O 与动点 M,以 OM 为边作一个正方形 MNPO,则动点 P 的轨迹方程为( ) A. y 2 ? x B. y 2 ? ? x C. y 2 ? ? x D. x2 ? ? y )
2 2 2 2 3.方程 ( x ? 6) ? y ? ( x ? 6) ? y ? 20 化简的结果是(

x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 C. D. 100 64 36 100 64 100 4.一动圆 M 与两定圆 ? C1 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 1, ? C2 : ( x ? 4)2 ? y2 ? 9 均外切,则动圆圆心
A. B. M 的轨迹方程是_______________. 5.抛物线 y 2 ? 4 x 关于直线 l : y ? x ? 2 对称的曲线方程是__________.

x2 y2 ? ?1 100 36

( x ? 3) 2 ( y ? 2) 2 ? ? 1 关于直线 x ? y ? 0 对称,椭圆C的方程是( ) 6.椭圆C与椭圆 9 4 ( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 ? ?1 A. B. 4 9 9 4 ( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ( x ? 2) 2 ( y ? 3) 2 ? ?1 ? ?1 C. D. 9 4 4 9
7.下列四个命题: ⑴圆 ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 关于点 A(1,2)对称的曲线方程是 ( x ? 3) ? ( y ? 3) ? 1 ;
2 2 2 2

( x ? 2)2 ( y ? 1)2 ? ?1; 10 14 9 2 ⑶顶点在原点,对称轴为坐标轴且过点(―4,―3)的抛物线方程只能是 y ? x ; 4 2 2 x y ? ? 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18,则 P 点到右焦点的距离为 ⑷双曲线 16 9 29 ; 2
⑵以点(2,-3)和点(2,1)为焦点的椭圆方程可以是 以上正确的命题是_______.(将正确命题的序号都填上) . 8.对于顶点在原点的抛物线,给出下列条件①焦点在 y 轴上;②焦点在 x 轴上;③抛物线 上横坐标为1的点到焦点的距离为6;④抛物线的通径长为5;⑤由原点向过焦点的 某条直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 。能使这抛物线的方程是 y ? 10x 的条件是 (要求填写合适条件的序号)
2

7

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9.求经过定点 A?1,2 ?, 以 x 轴为准线,离心率为

1 的椭圆下方的顶点的轨迹方程。 2

10.设曲线 C: y ?

x2 ? 2 x ? 2 和直线 l : y ? kx .
2 1 1 ? ? ,求点 Q 的轨迹方程; OQ OA OB

⑴记 l 与 C 的两个交点为 A、B,求线段 AB 中点的轨迹方程; ⑵若线段 AB 上的点 Q 满足

⑶在点 Q 的轨迹上是否存在点 Q0, 使得经过曲线 C 的焦点的弦被点 Q0 平分?证明你的 结论.

8

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第 19 讲
一、复习目标

直线与圆锥曲线的位置关系(1)

1、能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程(组)的问题; 2、会利用韦达定理等处理诸如弦中点、弦长等问题; 3、能够运用数形结合的思想方法分析、判断,能综合运用函数、不等式的知识解决相 关问题.

二、基础回顾
1、 直线 l 被圆 x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 截得的线段长为2, 将直线 l 沿向量 a ? (?3,4) 平 移后被该圆截得的线段的长仍为2,则直线 l 的方程为( )

A 4x ? 3 y ? 2 ? 0

B 3x ? 4 y ? 5 ? 0

C 4x ? 3 y ? 2 ? 0

D 3x ? 4 y ? 5 ? 0

2、若直线 y ? x ? t 与椭圆 ( )

x2 ? y 2 ? 1 相交于 A,B 两点,当 t 变化时, | AB | 的最大值是 4

A 2

B

4 5 5

C

4 10 5

D

2 10 5

2 2 3 、 若 双 曲 线 x ? y ? 1 的 右 支 上 一 点 P ( a, b) 到 直 线 y ? x 的 距 离 为

2 ,则

a?b ? ______ .
4 、 椭 圆 ax 2 ? by 2 ? 1 与 直 线 x ? y ? 1 ? 0 相 交 于 A, B 两 点 , C 为 AB 的 中 点 , 若

AB ? 2 2, O 为坐标原点, OC 斜率为

2 ,则 a , b 的值分别为_____________. 2

三、例题探究
? x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点,过 F1 作倾斜角 的直线与椭圆交于 例 1、 F1 , F2 分别是椭圆 3 2
P, Q 两点,求 ?F2 PQ 的面积.

例 2、对于椭圆 x ?
2

y2 ? 1,是否存在存直线 l ,使 l 与椭圆交于不同的两点 M , N ,且线 9
9

2013 高考数学二轮复习 28 讲

段 MN 恰好被直线 x ? 由.

1 ? 0 平分,若存在,求出 l 的倾斜角的范围,若不存在,请说明理 2

例 3、 (苏州二模卷)已知O为坐标原点, OA ? (?4,0), AB ? (8,0) ,动点 P 满足关系 (1)求 PA? PB 的最小值。 (2)若 Q(1,0) ,试问动点 P 的轨迹上是否 PA ? PB ? 10 , 存在 M , N 两点,满足 NQ ? 明理由。

4 QM ,若存在,求出 M , N 两点的坐标;若不存在,请说 3

〔备用题〕 、已知椭圆的一个顶点是 A(0,?1) ,焦点在 x 轴上,其右焦点到直线

x ? y ? 2 2 ? 0 的距离为3,试问是否存在一条斜率为 k (k ? 0) ,且在 y 轴上的截距为 2的直线 l ,使 l 与已知椭圆交于不同的两点 M , N ,设 MN 的中点为 P ,且有直线 AP 到 2 直线 l 的角的正切为 。若存在,求出 k 的值,若不存在请说明理由。 k

四、方法点拨
1、研究直线与圆锥曲线的位置关系时,常常联立方程组,应用韦达定理求解。如例1 将面积表示为 S ?

1 (2c) | x1 ? x2 | ,再求 | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 2

2、直线和曲线有两个交点,应用△>0,再借助于等式消去其中一个变量,去求其中另一 个变量的范围。如例 2。 3、在研究曲线上的点的性质时,要注意定义的应用,如例 3。在研究线段长度关系时, 可以转化为坐标关系,再用一元二次方程求解。

冲 刺 强 化 训 练 (19)
班级 姓名 学号 日期 月 日

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2013 高考数学二轮复习 28 讲

1、 F1 , F2 是椭圆

???? ? ???? x2 y 2 ? 2 ? 1 的左,右焦点,把向量 F1F2 绕 F1 逆时针旋转 60°得到 F1 A a2 b


A 点在 y 轴上,且 F1 A 的中点 M 在椭圆上,则椭圆的离心率为(
A、

1 2

B、

2 2

C

2? 3

D

3 ?1

2、过 M(-2,0)的直线 l 与椭圆 x2 ? 2 y 2 ? 2 交于 P1、P2 两点,线段 P1P2 的中点为 P, 设直线 l 的斜率为 k1,(k1≠0),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1·k2 的值等于( ) A. 2 B.-2 C.

1 2

D. ?

1 2

x y x y 3、已知 a ? ( , ), b ? ( ,? ) ,双曲线 a ? b ? 1 上一点 M 到 F(7,0)的距离为 11,N 5 2 6 5 2 6

是 MF 的中点,O 为坐标原点,则|ON|=(



11 21 1 1 21 A、 B、 D、 或 C、 2 2 2 2 2 4、 已知 F1、F2 是两个定点,椭圆 C1 和等轴双曲线 C 2 都以 F1、F2 为焦点, 点P是 C1 和 C 2
的一个交点,且 ?F1 PF2 ? 900 ,那么椭圆 C1 的离心率是( A. ) D.

6 3

B.

3 2

C.

2 2

2 2 3

x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1、F2,点 P 在双曲线上,且直线 PF1、PF2 倾斜角 9 16 ? 之差为 ,则△PF1F2 的面积是_____. 3 6、已知椭圆 C 的焦点分别是 F1 (?2 2,0), F2 (2 2,0), 长轴长为 6,设直线
5、双曲线 y=x+2 交椭圆 C 于 A、B 两点,则线段 AB 的中点坐标为
2 2

.

7、已知点 P 是直线 l : 3x ? 4 y ? 8 ? 0 上的动点,PA、PB 是圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 的两条切线,A、B 是切点,C 是圆心,那么四边形 PACB 的面积最小值是____.
2 2 8、设直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 两点,且 M , N 关于

?kx ? y ? 1 ? 0 ? 直线 x ? y ? 0 对称,求不等式组 ?kx ? m y ? 0 表示平面区域的面积。 ?y ? 0 ?
9、一船在水面上的高度为 5 米,船顶宽 4 米.现要通过一抛物线型桥洞,该抛物线方程 为 x ? ?8 y ,测得河面宽 10 米(河面宽与桥洞宽相同),问:该船能否通过桥洞?请说明
2

理由.若不能,只得等落潮退水。当河面宽至少为多少米时,该船才能通过桥洞?(精确 到 0 . 1 米) .
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2013 高考数学二轮复习 28 讲

10、直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 的左支交于 A、B 两点,直线 l ′过定点 P(-2,0)且过弦 AB 的中点 M,求直线 l′在 y 轴上的截距 b 的取值范围.

第 20 讲
一、复习目标

直线与圆锥曲线的位置关系(2)

1、会利用圆锥曲线的定义处理焦点弦、弦长等问题; 2、能够根据圆锥曲线图形的特征判断直线与曲线的位置关系问题,进而判断直线与曲 线的交点个数; 3、强化运用数形结合的思想方法分析、判断,能综合运用函数、方程、不等式的知识
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2013 高考数学二轮复习 28 讲

解决相关问题.

二、基础回顾
1、过椭圆 3x2 ? 4 y 2 ? 48 的左焦点 F 引直线交椭圆于 A, B 两点,若 AB ? 7 ,则此直 线的方程为______________________. 2、已知动点 P 在抛物线 y 2 ? x 上,且 P 到此抛物线的准线距离为 d ,当点 P 到直线 ) x ? y ? 2 ? 0 的距离最小时, d 等于(

A、

1 4

B、

1 2

C

3 4

D 1

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), A(2,0) 为长轴的一个端点,弦 BC 过椭圆的中心 O , a 2 b2 ???? ??? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? 且 AC ? BC ? 0, OC ? OB ? 2 BC ? BA ,则椭圆的焦距为( )
3、已知椭圆

A

2 6 3

B

4 3 3

C

4 6 3

D

以上答案都不对

4、B 地在 A 地的正东方向 4 km 处,C 地 在 B 地的北偏东 30°方向 2 km 处,河流的沿 岸 PQ(曲线)上任意一点到 A 的距离比到 B 的距离远 2 km ,现要在曲线 PQ 上选一处 M 建一座码头,向 B,C 两地转运货物,经测算,从 M 到 B,M 到 C 修建公路的费用分别是 a 万元/ km ,2 a 万元/ km ,那么修建这两条公路的总费用最低是( )万元。

A 、 (2 7 ? 2)a

B 、 5a

C 、 (2 7 ? 1)a

D 、 (2 3 ? 1)a

5、 、若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线有两个交点,则此圆锥曲 线为( ) A. 双曲线 B.椭圆 C.抛物线 D. 椭圆或双曲线 推广(1)若是椭圆或抛物线呢?(2)若是双曲线,所交弦对应的圆心角是否为定值?

三、例题探究
例 1、已知双曲线以两条坐标轴为对称轴,且与 x2+y2=17 圆相交于 A(4,-1),若圆在点 A 的切 线与双曲线的一条渐近线平行,求双曲线的方程.

例 2、已知 OA ? (2 2 ,0) ,O为坐标原点,点 M 满足 OM ? OA + OM ? OA =6 (1)点 M 的轨迹 C 的方程。 (2) 是否存在直线 l 过 P(0,2) 点, 与轨迹 C 交于 A, B 两点, 且以 AB 为直径的圆过原点? 若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由。

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2013 高考数学二轮复习 28 讲

例 3、如图: P(?3,0) ,点A在y轴上,点Q在 x 轴的正半轴上, 且 AP ? AQ ? 0 ,在 AQ 的延长线上取一点 M , 使  ? 2 AQ QM (1)当A点在y轴上移动时,求动点 M 的轨迹C的方程 (2)已知 k ? R, i ? (0,1), j ? (1,0) ,经过 (?1,0)以ki ? j 为 方向向量的直线 l 与轨迹C交于E,F两点,又点 D(1,0) ,若 y M P o Q A x

? EDF 为钝角时,求 k 的取值范围

〔备用题〕椭圆 C1 :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 是双曲线 a2 b2

x2 y2 ? ? 1 在第一象限内的图象上的一点,直线 AP, BP 与椭圆 C1 分别交于 C, D a2 b2 点,若 C 是 AP 的中点(1)求 P 点的坐标。 (2)能否使直线 CD 过椭圆的右焦点?若 能,求出双曲线 C 2 的离心率;若不能,请说明理由。

C2 :

四、方法点拨
1、已知双曲线的渐近线,可以不分类讨论,先观察图形确定焦点在哪个轴上。如例 1) 2、直线与圆锥曲线的位置关系联立方程组是经常采用的手段。如例2以 AB 为直径的圆 过原点就是 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ,而 y1 ? k ( x1 ? 2) y2 ? k ( x2 ? 2) ,将韦达定理代入可 求k 。 3、有时直线与圆锥曲线的关系式也会与别的章节知识相结合。如例4将 ? EDF 为钝角 的条件转化为 DE ? DF ? 0 ,进而变形为 ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? 0 ,再用韦达定理 就可以转化为常见的题型。

14

2013 高考数学二轮复习 28 讲

冲 刺 强 化 训 练 (20)
班级 姓名 学号 日期 月 日 )

1、3、设 P ( x, y ) 是曲线

A

x y ? ? 1 上的点,另有两点 F1 (?4,0), F2 (4,0) ,则( 5 3 B F1P ? F2 P ? 10 F1P ? F2 P ? 10
D
2

C

F1P ? F2 P ? 10

F1P ? F2 P ? 10


2、等腰 ?ABC 的三个顶点在椭圆 4 x ? 5 y 2 ? 6 上,其中 A, B 两点关于原点O对称,设 直线 AC 的斜率为 k 1 ,直线 BC 的斜率为 k 2 ,则 k 1 k 2 的值为(

4 2 5 D 5 5 2 x ? y 2 ? 1 截得的最大弦长是( 3、直线 y ? kx ? 1 ,当 k 变化时,此直线被椭圆 4 4 3 A 、2 B、 D 不能确定 C 4 3
A 、? B 、?

5 4

4 5

C



4、过椭圆的左焦点F且倾斜角为 60°的直线交椭圆于A,B两点,若 FA ? 2 FB ,则 椭圆的离心率为 ( )

A

2 3

B

2 2

C

1 2

D

2 3

5、我国“神州 5 号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心 F 为一个焦点的椭圆,近地点 A 距地面为 m 千米,远地点 B 距地面 n 千米,地球半径为 R 千米,则飞船运行轨道的短 轴长为( )

A

2 (m ? R)(n ? R)
2

B
2

(m ? R)(n ? R)

C

2mn

D mn

6、直线 l 过圆 ( x ?1) ? ( y ? 2) ? 25 内一点 M (1,2) ,则被圆截得的弦长恰为整数的直线

l 共有( ) A 5条 B D 8条 C 7条 6条 7、已知点 P 在以坐标轴为对称轴,长轴在 x 轴上的椭圆上,点 P 到两焦点的距离分别为 4 3和2 3 ,且点 P 与两焦点连线所张角的平分线交轴于 Q(1, 0) ,求椭圆方程.

15

2013 高考数学二轮复习 28 讲

8、 、在 ?ABC 中,已知 B(?3,0), C (3,0), D 为线段 BC (不过 B 、 C 两点)上一点,

AD ? BC ? 0, H 是 ?ABC 的垂心,且 AH ? 3HD
(1) 求点 H 的轨迹 M 的方程。 (2)若过 C 点且斜率为 ?

1 的直线与轨迹 M 交于点 P ,点 Q(t ,0) 是 x 轴上任意一点, 2

求当 ?CPQ 为锐角三角形时 t 的取值范围。

9、一个截面为抛物线形的旧河道,河口宽 AB =4米,河深2米,现要将其截面改造为 等腰梯形,要求河道深度不变,而且施工时只能挖土,不准向河道填土,试求当截面梯形 的下底长为多少米时,才能使挖出的土最少? A B

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