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江苏省兴化市高中数学青年教师解题比赛试题(初赛)(2011.9.25)


兴化市高中数学青年教师解题比赛试卷
(考试时间:150 分钟 题号 得分 得分 阅卷人 小题, 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写 填空题: 请把答案填写 在各题的相应的横线上. 在各题的相应的横线上 . 一 二 满分:160 分) 总分 2011 年 9 月 25 日 评分人 复计分人

1.若 ?ABC 的内角 A, B, C 满足 6sin A = 4 sin B = 3sin C ,则 cos B 的值为

2.已知 y = f ( x) 是定义在 R 上的函数,且 y = f ( x + 2) 是偶函数,则 y = f (2 x ) 图象关于 直线 对称.

3.设 Sn 是等比数列 {an } 的前 n 项的和,若 a3 + 2a6 = 0 ,则

S6 的值是 S3
. .



x ?x 4.若函数 f ( x ) = e + 2e 定义域是 [0,1] ,则函数 f ( x ) 的值域是

5.设 ( x ? 1)

21

= a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L + a 21 x 21 ,则 a10 + a11 的值为 1 1 , } ,那么 S max = | x ? 2| | x ?3|

6.已知 x 是实数且 x ≠ 2,3 .若 S = min{



7 . 设 A1 , A2 , A3 , ???, An 是 空 间 中 给 定 的 n( n ≥ 3) 个 不 同 的 点 , 则 使

uuuu uuuu uuuu r r r uuuur r MA1 + MA2 + MA3 + ??? + MAn = 0 成立的点 M 的个数为
uuuu r uuu uuur r uuur



8.如图,直线 MN 过 ?ABC 的重心 G,且 AM = m AB, AN = n AC (其中 m > 0, n > 0 ), 则 mn 的最小值是 .

D

A
C
(第 8 题图)

B
(第 9 题图)

9.如图,在四面体 D ? ABC 中, DA ⊥ 面 ABC , AB ⊥ BC , DA = AB = BC = 1 ,则 . 四面体 D ? ABC 的外接球的表面积为
解题比赛 第 1 页 共 16 页

10.有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机地并排摆放 . 到书架的同一层上,则同一科目的书都不相邻的概率为

11 . 如 图 , 是 根 据 所 输 入 的 x 值 计 算 y 值 的 一 个 算 法 程 序 , 若 x 依 次 取 数 列

? n ? ? 1? (n ∈ N *) 中的前 10000 项,则输出 y 值中的最小值为 ? ? 2010 ?
Read x If x > 0



Then

y ← 2011 + x
Else

y ← 2011 ? x
End If Print y
(第 11 题图)

12.平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆

x2 y 2 + = 1(a > b > 0) ,过坐标原点的直线交椭 a 2 b2

圆于 P, A 两点,其中 P 在第一象限,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 C ,连接 AC ,并延长交 椭圆于点 B ,若 PA ⊥ PB ,则椭圆的离心率为__
y P B O C



x

A
(第 12 题图)

13.设函数 f ( x ) = 2 x 3 ? 3( a + 1) x 2 + 6ax + 1 ,当 x ∈ [1,3] 时, f ( x ) 的最小值为 5 ,则实 数 a 的值 .

14. 设正实数 x, y , z 满足 x + 2 y + z = 1 , 则

1 9( x + y ) + 的最小值为 x+ y y+z



解题比赛

第 2 页 共 16 页

小题, 解答应写出文字说明、 二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 解答题: 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 得分 阅卷人 15. (本小题满分 14 分)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 已知 B = C , 2b = 3a . (1)求 cos A 的值; (2)求 cos(2 A +

π
4

) 的值.

得分

阅卷人

16. (本小题满分 14 分)如 图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1

A1

A

中,侧棱 AA1 ⊥ 底面 ABC , AB ⊥ BC , D 为

D B1

AC 的中点, A1 A = AB = 2 , BC = 3 .
(1)求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2 求四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积.
C1

B

C

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第 3 页 共 16 页

得分

阅卷人

17. (本小题满分 14 分)如图,点 A(非顶点)为抛物线 y = 2 px( p > 0),
2

上任一点,F 是抛物线的焦点.求作抛物线在点 A 处的切线,并证明.

得分

阅卷人

18. (本小题满分 16 分)已知数列 {an } 的首项为 1 ,记
1 k n f (n) = a1Cn + a2Cn2 + L + ak Cn + L + anCn (n ∈ N + ) .

(1)若 {an } 为常数列,求 f (4) 的值; (2)若 {an } 为公比为 2 的等比数列,求 f ( n) 的解析式; (3)数列 {an } 能否成等差数列,使得 f ( n) ? 1 = ( n ? 1)2n 对一切 n ∈ N + 都成立?若能,求 出数列 {an } 的通项公式;若不能,请说明理由.

解题比赛

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得分

阅卷人

19. (本小题满分 16 分)已知 a ∈ R ,函数 f ( x) = x x ? a , (1)当 a =2 时,写出函数 y = f (x ) 的单调递增区间;

(2)求函数 y = f (x ) 在区间 [1,2] 上的最小值; (3)设 a ≠ 0 ,函数 f ( x ) 在 (m, n) 上既有最大值又有最小值,请分别求出 m、n 的取值范 围(用 a 表示) .

得分

阅卷人
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20 . 本 小 题 满 分 16 分 ) 已 知 数 列 {an } 和 {bn } 的 通 项 公 式 分 别 为 (

an = 3n + 6 , bn = 2n + 7 ( n ∈ N * ) ,
将集合 {x | x = an , n ∈ N } U {x | x = bn , n ∈ N } 中的元素从小到大依次排列,构成数列
* *

c1 , c2 , c3 ,L , cn ,L .
(1)求 c1 , c2 , c3 , c4 ; (2)求证:在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,L , a2 n ,L ; (3)求数列 {cn } 的通项公式.

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第 6 页 共 16 页

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1.

11 ; 16

2. x = 1 ;

3.

1 ; 2

4. [2 2, e + ] ;

2 e

5. 0 ;

6. 2 ;

1 7. ;
13. 2 ;

8. ; 14. 7 .

4 9

9. π ; 3

10. ;

2 5

11. 2011 ;

12.

2 ; 2

15.解: (1)由 B = C , 2b = 3a ,可得 c = b =

3 a, 2

3 2 3 2 a + a ? a2 b +c ?a 1 4 =4 = . 所以 cos A = 2bc 3 3 3 a? a 2× 2 2
2 2 2

(2)因为 cos A =

1 2 2 , A ∈ (0, π ) ,所以 sin A = 1 ? cos 2 A = . 3 3

7 4 2 cos 2 A = 2 cos 2 A ? 1 = ? , sin 2 A = 2sin A cos A = . 9 9
所以 cos ? 2 A +

? ?

π?

π π ? 7? 2 4 2 2 ? × ? = cos 2 A cos ? sin 2 A sin = ? ? ? × 4? 4 4 ? 9? 2 9 2

=?

8+7 2 . 18

16.(1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,
A1 A

∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 // 平面 BC1 D .
C1 B1 D

E

B

O C

(2)解法 1:∵ AA1 ⊥ 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C ,
解题比赛 第 7 页 共 16 页

∴ 平面 ABC ⊥ 平面 AA1C1C ,且平面 ABC I 平面 AA1C1C = AC . 作 BE ⊥ AC ,垂足为 E ,则 BE ⊥ 平面 AA1C1C , ∵ AB = BB1 = 2 , BC = 3 , 在 Rt ?ABC 中, AC =

AB 2 + BC 2 = 4 + 9 = 13 , BE =
1 1 × ( A1C1 + AD ) ? AA1 ? BE 3 2 1 3 6 × 13 × 2 × = 3. 6 2 13
A1

AB ? BC 6 = , AC 13

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积 V =

=
∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 .

A

解法 2: AA1 ⊥ 平面 ABC , AB ? 平面 ABC , ∴ AA1 ⊥ AB . ∵ BB1 // AA1 , ∴ BB1 ⊥ AB . ∵ AB ⊥ BC , BC I BB1 = B , ∴ AB ⊥ 平面 BB1C1C . 取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE // AB, DE = ∴ DE ⊥ 平面 BB1C1C . 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 V = 则 VD ? BC1C1
C1 D

B1

B

O C

E

1 AB , 2

1 ? AB ? BC ? AA1 = 6 , 2 1 1 1 1 1 1 = × ? BC ? CC1 ? DE = V = 1 ,VA1 ? BB1C1 = × ? B1C1 ? BB1 ? A1 B1 = V = 2 . 3 2 6 3 2 3

而 V = VD ? BCC1 + VA1 ? BB1C1 + VB ? AA1C1D , ∴ 6 = 1 + 2 +VB ? AA1C1D . ∴ VB ? AA1C1D = 3 .

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 .

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17.解:作法一:以抛物线的焦点 F 为圆心,以|FA|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点 B,且点 B 在顶点 O 的左侧,则直线 AB 就是抛物线在点 A 处的切线. y

A B O F x

证明: 抛物线的焦点 F 的坐标为 ( 故过点 A、B 的直线方程为 y =
2

p p ,0 ) 设 A x0 , y 0 ) 则|FA|= x0 + , , ( , 从而 B ? x0 ,0 ) ( , 2 2

y0 ( x + x0 ) 2 x0

(*)

利用方程 y 0 = 2 px0 将方程(*)整理得 y ? y0 = p ( x + x0 ) ,此方程即为抛物线在点 A 处 的切线点方程. 作法二:过 A 作 y 轴垂线,交 y 轴于 D 点,在 x 轴上截取 BO = DA ,且点 B 在顶点 O 的 左侧,连 BA ,则直线 BA 为所求作的切线.证明同上. 18.解:(1)∵ {an } 为常数列,∴ an = 1 ( n ∈ N + ) .∴ f (4) = C4 + C4 + C4 + C4 = 15 .
1 2 3 4

(2)∵ {an } 为公比为 2 的等比数列,∴ an = 2 ∴ f ( n) = Cn + 2Cn + 4Cn + L + 2
1 2 3 1 2 2 3 n ?1

n ?1

(n ∈ N + ) .

Cnn ,
n n

∴ 1 + 2 f ( n) = 1 + 2Cn + 2 Cn + 2 Cn + L + 2 Cn , (1 + 2) n = 3n ,
3

故 f (n) =

3n ? 1 . 2

(3)假设数列 {an } 能为等差数列,使得 f ( n) ? 1 = ( n ? 1)2n 对一切 n ∈ N + 都成立,设 公差为 d ,则 f ( n) = a1Cn + a2Cn + L + ak Cn + L + an ?1Cn
1 2 k n ?1

+ an Cnn ,

且 f ( n) = an Cn + an ?1Cn
n

n ?1

2 1 + L + ak Cnk + L + a2Cn + a1Cn , 1 2 k n ?1

相加得 2 f ( n) = 2an + ( a1 + an ?1 )(Cn + Cn + L + Cn + L + Cn ) , ∴ f ( n ) = an +

a1 + an ?1 1 (Cn + Cn2 + L + Cnk + L + Cnn ?1 ) 2

解题比赛

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= an +

a1 + an ?1 n (2 ? 2) = 1 + (n ? 1)d + [ 2 + (n ? 2)d ] (2n ?1 ? 1) . 2
n ?1

∴ f ( n) ? 1 = (d ? 2) + [ 2 + ( n ? 2) d ] 2

= (n ? 1)2n 恒成立,

即 ( d ? 2) + ( d ? 2)( n ? 2) 2 n ?1 = 0 n ∈ N + 恒成立,∴ d = 2 .
n 故 {an } 能为等差数列,使得 f ( n) ? 1 = ( n ? 1)2 对一切 n ∈ N + 都成立,它的通项公式

为 an = 2 n ? 1 . (也可先特殊猜想,后一般论证及其它方法相应给分) 19.解: (1)当 a = 2 时, f ( x ) = x | x ? 2 |= ?

? x( x ? 2), x ≥ 2 ? x(2 ? x), x < 2

由图象可知,单调递增区间为(- ∞ ,1],[2,+ ∞ ) (开区间不扣分) (2)当 a < 1 时, f ( x ) = x ( x ? a ) = ( x ? ∴ f ( x) min = f (1) = 1 ? a 当 1 ≤ a ≤ 2 时, | x ? a | min = 0 ,∴ f ( x) min = 0 当 a > 2 时, (Ⅰ)当 2 < a ≤ 3 时, f ( x) min = f ( 2) = 2a ? 4 (Ⅱ)当 a > 3 时, f ( x) min = f (1) = a ? 1

a 2 a2 a ) ? ,Q < 1 2 4 2

∴ f ( x ) min

?1 ? a, a < 1 ?0,1 ≤ a ≤ 2 ? =? ?2a ? 4,2 < a ≤ 3 ?a ? 1, a > 3 ? ? x( x ? a ), x ≥ a ? x(a ? x), x < a

(3) f ( x ) = ?

①当 a > 0 时,图象如右图所示

? a2 ( 2 + 1)a ?y = 由? 得x = 4 2 ? y = x( x ? a ) ?
∴0 ≤ m <

a ,a < n ≤ 2

2 +1 a 2

②当 a < 0 时,图象如右图所示

解题比赛

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? a2 (1 + 2) ?y = ? 由? 得x = a 4 2 ? y = x( a ? x ) ?


1+ 2 a ≤ m < a, 2

a < n ≤ 0. 2

20.解: (1)

c1 = 9, c2 = 11, c3 = 12, c4 = 13 ;
*

(2) ① 任意 n ∈ N ,设 a2 n ?1 = 3(2n ? 1) + 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7 ,则 k = 3n ? 2 ,即

a2 n ?1 = b3n ? 2 .
② 假设 a2 n = 6n + 6 = bk = 2k + 7 ? k = 3n ?

1 ∈ N * (矛盾) ,∴ 2

a2 n ? {bn } .

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,L , a2 n ,L . (3) b3 k ? 2 = 2(3k ? 2) + 7 = 6k + 3 = a2 k ?1 ,

b3 k ?1 = 6k + 5 , a2 k = 6k + 6 , b3k = 6k + 7 ,


6k + 3 < 6k + 5 < 6k + 6 < 6k + 7 ,

∴ 当 k = 1 时,依次有 b1 = a1 = c1 , b2 = c2 , a2 = c3 , b3 = c4 ,……

? 6k + 3 (n = 4k ? 3) ?6k + 5 (n = 4k ? 2) ? ,k ∈ N* . ∴ cn = ? ? 6k + 6 (n = 4k ? 1) ? 6 k + 7 ( n = 4k ) ?

解题比赛

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1.

11 ; 16

2. x = 1 ;

3.

1 ; 2

4. [2 2, e + ] ;

2 e

5. 0 ;

6. 2 ;

1 7. ;
13. 2 ;

8. ; 14. 7 .

4 9

9. π ; 3

10. ;

2 5

11. 2011 ;

12.

2 ; 2

15.解: (1)由 B = C , 2b = 3a ,可得 c = b =

3 a, 2

3 2 3 2 a + a ? a2 b +c ?a 1 4 =4 = . 所以 cos A = 2bc 3 3 3 a? a 2× 2 2
2 2 2

(2)因为 cos A =

1 2 2 , A ∈ (0, π ) ,所以 sin A = 1 ? cos 2 A = . 3 3

7 4 2 cos 2 A = 2 cos 2 A ? 1 = ? , sin 2 A = 2sin A cos A = . 9 9
所以 cos ? 2 A +

? ?

π?

π π ? 7? 2 4 2 2 ? × ? = cos 2 A cos ? sin 2 A sin = ? ? ? × 4? 4 4 ? 9? 2 9 2

=?

8+7 2 . 18

16.(1)证明:连接 B1C ,设 B1C 与 BC1 相交于点 O ,连接 OD , ∵ 四边形 BCC1 B1 是平行四边形,
A1 A

∴点 O 为 B1C 的中点. ∵ D 为 AC 的中点, ∴ OD 为△ AB1C 的中位线, ∴ OD // AB1 . ∵ OD ? 平面 BC1 D , AB1 ? 平面 BC1 D , ∴ AB1 // 平面 BC1 D .
C1 B1 D

E

B

O C

(2)解法 1:∵ AA1 ⊥ 平面 ABC , AA1 ? 平面 AA1C1C ,
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∴ 平面 ABC ⊥ 平面 AA1C1C ,且平面 ABC I 平面 AA1C1C = AC . 作 BE ⊥ AC ,垂足为 E ,则 BE ⊥ 平面 AA1C1C , ∵ AB = BB1 = 2 , BC = 3 , 在 Rt ?ABC 中, AC =

AB 2 + BC 2 = 4 + 9 = 13 , BE =
1 1 × ( A1C1 + AD ) ? AA1 ? BE 3 2 1 3 6 × 13 × 2 × = 3. 6 2 13
A1

AB ? BC 6 = , AC 13

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积 V =

=
∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 .

A

解法 2: AA1 ⊥ 平面 ABC , AB ? 平面 ABC , ∴ AA1 ⊥ AB . ∵ BB1 // AA1 , ∴ BB1 ⊥ AB . ∵ AB ⊥ BC , BC I BB1 = B , ∴ AB ⊥ 平面 BB1C1C . 取 BC 的中点 E ,连接 DE ,则 DE // AB, DE = ∴ DE ⊥ 平面 BB1C1C . 三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积为 V = 则 VD ? BC1C1
C1 D

B1

B

O C

E

1 AB , 2

1 ? AB ? BC ? AA1 = 6 , 2 1 1 1 1 1 1 = × ? BC ? CC1 ? DE = V = 1 ,VA1 ? BB1C1 = × ? B1C1 ? BB1 ? A1 B1 = V = 2 . 3 2 6 3 2 3

而 V = VD ? BCC1 + VA1 ? BB1C1 + VB ? AA1C1D , ∴ 6 = 1 + 2 +VB ? AA1C1D . ∴ VB ? AA1C1D = 3 .

∴四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3 .

解题比赛

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17.解:作法一:以抛物线的焦点 F 为圆心,以|FA|为半径画弧与抛物线的对称轴交于一点 B,且点 B 在顶点 O 的左侧,则直线 AB 就是抛物线在点 A 处的切线. y

A B O F x

证明: 抛物线的焦点 F 的坐标为 ( 故过点 A、B 的直线方程为 y =
2

p p ,0 ) 设 A x0 , y 0 ) 则|FA|= x0 + , , ( , 从而 B ? x0 ,0 ) ( , 2 2

y0 ( x + x0 ) 2 x0

(*)

利用方程 y 0 = 2 px0 将方程(*)整理得 y ? y0 = p ( x + x0 ) ,此方程即为抛物线在点 A 处 的切线点方程. 作法二:过 A 作 y 轴垂线,交 y 轴于 D 点,在 x 轴上截取 BO = DA ,且点 B 在顶点 O 的 左侧,连 BA ,则直线 BA 为所求作的切线.证明同上. 18.解:(1)∵ {an } 为常数列,∴ an = 1 ( n ∈ N + ) .∴ f (4) = C4 + C4 + C4 + C4 = 15 .
1 2 3 4

(2)∵ {an } 为公比为 2 的等比数列,∴ an = 2 ∴ f ( n) = Cn + 2Cn + 4Cn + L + 2
1 2 3 1 2 2 3 n ?1

n ?1

(n ∈ N + ) .

Cnn ,
n n

∴ 1 + 2 f ( n) = 1 + 2Cn + 2 Cn + 2 Cn + L + 2 Cn , (1 + 2) n = 3n ,
3

故 f (n) =

3n ? 1 . 2

(3)假设数列 {an } 能为等差数列,使得 f ( n) ? 1 = ( n ? 1)2n 对一切 n ∈ N + 都成立,设 公差为 d ,则 f ( n) = a1Cn + a2Cn + L + ak Cn + L + an ?1Cn
1 2 k n ?1

+ an Cnn ,

且 f ( n) = an Cn + an ?1Cn
n

n ?1

2 1 + L + ak Cnk + L + a2Cn + a1Cn , 1 2 k n ?1

相加得 2 f ( n) = 2an + ( a1 + an ?1 )(Cn + Cn + L + Cn + L + Cn ) , ∴ f ( n ) = an +

a1 + an ?1 1 (Cn + Cn2 + L + Cnk + L + Cnn ?1 ) 2

解题比赛

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= an +

a1 + an ?1 n (2 ? 2) = 1 + (n ? 1)d + [ 2 + (n ? 2)d ] (2n ?1 ? 1) . 2
n ?1

∴ f ( n) ? 1 = (d ? 2) + [ 2 + ( n ? 2) d ] 2

= (n ? 1)2n 恒成立,

即 ( d ? 2) + ( d ? 2)( n ? 2) 2 n ?1 = 0 n ∈ N + 恒成立,∴ d = 2 .
n 故 {an } 能为等差数列,使得 f ( n) ? 1 = ( n ? 1)2 对一切 n ∈ N + 都成立,它的通项公式

为 an = 2 n ? 1 . (也可先特殊猜想,后一般论证及其它方法相应给分) 19.解: (1)当 a = 2 时, f ( x ) = x | x ? 2 |= ?

? x( x ? 2), x ≥ 2 ? x(2 ? x), x < 2

由图象可知,单调递增区间为(- ∞ ,1],[2,+ ∞ ) (开区间不扣分) (2)当 a < 1 时, f ( x ) = x ( x ? a ) = ( x ? ∴ f ( x) min = f (1) = 1 ? a 当 1 ≤ a ≤ 2 时, | x ? a | min = 0 ,∴ f ( x) min = 0 当 a > 2 时, (Ⅰ)当 2 < a ≤ 3 时, f ( x) min = f ( 2) = 2a ? 4 (Ⅱ)当 a > 3 时, f ( x) min = f (1) = a ? 1

a 2 a2 a ) ? ,Q < 1 2 4 2

∴ f ( x ) min

?1 ? a, a < 1 ?0,1 ≤ a ≤ 2 ? =? ?2a ? 4,2 < a ≤ 3 ?a ? 1, a > 3 ? ? x( x ? a ), x ≥ a ? x(a ? x), x < a

(3) f ( x ) = ?

①当 a > 0 时,图象如右图所示

? a2 ( 2 + 1)a ?y = 由? 得x = 4 2 ? y = x( x ? a ) ?
∴0 ≤ m <

a ,a < n ≤ 2

2 +1 a 2

②当 a < 0 时,图象如右图所示

解题比赛

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? a2 (1 + 2) ?y = ? 由? 得x = a 4 2 ? y = x( a ? x ) ?


1+ 2 a ≤ m < a, 2

a < n ≤ 0. 2

20.解: (1)

c1 = 9, c2 = 11, c3 = 12, c4 = 13 ;
*

(2) ① 任意 n ∈ N ,设 a2 n ?1 = 3(2n ? 1) + 6 = 6n + 3 = bk = 2k + 7 ,则 k = 3n ? 2 ,即

a2 n ?1 = b3n ? 2 .
② 假设 a2 n = 6n + 6 = bk = 2k + 7 ? k = 3n ?

1 ∈ N * (矛盾) ,∴ 2

a2 n ? {bn } .

∴ 在数列 {cn } 中.但不在数列 {bn } 中的项恰为 a2 , a4 ,L , a2 n ,L . (3) b3 k ? 2 = 2(3k ? 2) + 7 = 6k + 3 = a2 k ?1 ,

b3 k ?1 = 6k + 5 , a2 k = 6k + 6 , b3k = 6k + 7 ,


6k + 3 < 6k + 5 < 6k + 6 < 6k + 7 ,

∴ 当 k = 1 时,依次有 b1 = a1 = c1 , b2 = c2 , a2 = c3 , b3 = c4 ,……

? 6k + 3 (n = 4k ? 3) ?6k + 5 (n = 4k ? 2) ? ,k ∈ N* . ∴ cn = ? ? 6k + 6 (n = 4k ? 1) ? 6 k + 7 ( n = 4k ) ?

解题比赛

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