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2008年全国高中数学联赛福建赛区预赛


2009 年第 9 期

33

2008 年全国高中数学联赛福建赛区预赛
   、 一 选择题 (每小题 6 分 , 共 36 分 )
1. 已知 0 < x < tan x + 2 , sin x - cos x = 4 .若
2 对于某个正实数 k ,存在函数 f ( x ) = ax ( a

> 0 ) ,使得 QOA = 2 POA ,其中 , P ( 1, f ( 1 ) ) 、 Q ( k, f ( k ) ) . 则 k 的取值范围为 (   ) . (A ) ( 2, + ∞) (B ) ( 3, + ∞) ( C ) 4, + ∞ ( D ) 8, + ∞ 2 2 4. 方程 x - 3 x + 2 + x + 2 x - 3 = 11 的实数解的个数是 (   ) . (A ) 0 (B ) 1 ( C) 2 (D ) 4 ( x ) 满足对所有的实数 x、 5. 已知函数 f y ,都有 2 f ( x ) + f (2x + y ) +5xy = f (3x - y ) +2x +1 . 则 f ( 10 )的值为 (   ) . (A ) - 49   (B ) - 1   ( C ) 0   (D ) 25

1 a 可以表示成 b c c的形式 ( a、 、 tan x b是正整数 ) . 则 a + b + c = (   ) . (A ) 8 (B ) 32 ( C ) 48 (D ) 50 2. 已知一个正三棱柱的底面边长为 1, 且两个侧面的异面对角线互相垂直 . 则它的 侧棱长为 (   ) . 3 2 3. 在直角坐标平面 xO y 中有点 A ( 5, 0 ) . (A ) 2 (B ) (C) 2 (D ) 2 2

   因为两切线都过点 P, 所以 ,
x1 x0

25
x0 x

+

y1 y0

9

= 1,

x2 x0

25

+

y2 y0

9

= 1.

这表明点 M 、 均在直线 N
25 +
y0 y

9

=1



5 x0 - 70 63 -1 ≠ . -7 - 70 4 375 解得 x0 = . 533
x0

25 = 5

上 . 由两点决定一条直线知 , 式 ①就是直线 MN 的方程 , 其中 x0 , y0 满足直线 l的方程 . ( 1 ) 当 P 在直线 l 上运动时 , 可理解为 5 x0取遍一切实数 , 相应的 y0为 y0 = x0 - 10. 7 代入式 ① 消去 y0得 x0 5 x0 - 70 x+ y - 1 =0 ② 25 63 对一切 x0 R 恒成立 . x 5y 10 y + + 1 = 0对 变形可得 x0 25 63 9 一切 x0 R 恒成立 . x 5y 10 y 则 + = 0, + 1 = 0. 25 63 9 25 9 , 由此得直线 MN 恒过定点 Q . 14 10 ( 2 ) 当 MN ∥ l时 , 由式 ② 知

代入式 ② MN 的方程为 得 533 5x - 7y = 0. ③ 35 将此方程与椭圆方程联立 , 消去 y 得 533 2 533 128 068 x x= 0. 25 7 1 225 由此得 MN 截椭圆所得弦的中点横坐标 25 9 , 恰好为点 Q 的横坐标 , 即 14 10 x1 + x2 25 x= = . 2 14 代入式 ③可得弦中点纵坐标恰好为点 25 9 , Q 的纵坐标 , 即 14 10 5 25 533 9 y= × = - . 7 14 7 × 35 10 25 9 , 这就是说 , 点 Q 平分线段 MN. 14 10 (黄仁寿   欧阳新龙   提供 )
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中 等 数 学

6. 已知实数 a 使得只有一个实数 x 满足 2 关于 x 的不等式 x + 2 ax + 3 a ≤2. 则满足 条件的所有的实数 a 的个数是 (   ) . (A ) 1   (B ) 2   ( C ) 3   (D )无穷多    、 二 填空题 (每小题 6 分 ,共 36 分 ) 7. 若双曲线
x y 2 2 = 1 ( a > 0, b > 0 ) 上 a b
2 2

( 1 )凹四边形 AB HC 的面积 ; ( 2 ) PO? 的值 . OH 15. 求最小的正实数 k ,使得不等式
ab + bc + ca + k

1
a

+

1
b

+

1
c

≥9

3 a 的点到右焦点的距离大于它到 2 左准线的距离 , 则该双曲线两条渐近线所夹 锐角的取值范围是    . 8. 设多项式 15 14 13 12 P ( x ) = x - 2 008x +2 008x - 2 008x + 11 3 2 2 008x - … +2 008x - 2 008x +2 008x. 则 P ( 2 007 ) =    . x + sin y = 2 008, 9. 实数 x、 满足 y x + 2 008cos y = 2 007

横坐标为

对所有的正实数 a、、都成立 . b c 16. 设 x1 , x2 , … 是不同的正实数 . 证明 : x1 , x2 , … 是一个等比数列的充分必要条件是 对所有整数 n ( n ≥2 ) ,都有 2 2 2 x1 n - 1 xn xn - x1 = . x2 k = 1 xk xk + 1 x2 - x2 2 1

参考答案
   、 D. 一 1. 由条件知
2

( sin x - cos x )

2

=

0 ≤y ≤

2

. 则 x + y =     .

4

.
2

10. 在平面直角坐标系中 , 设点 A 0, 4 、 B 3, 8 . 若点 P x, 0 使得 A PB 最大 , 则 x =     . 11. 质数 p、、满足 p + q = r,且 ( r - p) ? q r ( q - p ) - 27 p 是一个完全平方数 . 则满足条 件的所有三元数组 ( p, q, r) =    . 12. 正整数 n ≤ 500, 具 有性 质 : 从 集合 1, 2, …, 500 中任取一个元素 m , 使得 m | n 1 的概率是 . 则 n 的最大值是    . 100 三、 解答题 (每小题 20 分 ,共 80 分 ) 2 13. 已知抛物线 C : y = ax ( a > 0 ) , 直线 y = x +2 交抛物线于点 A、 , M 是线段 AB 的 B 中点 ,过 M 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 N. ( 1 )证明 : 抛物线 C 在点 N 处的切线 l 与 AB 平行 . ( 2 ) 是否存在实数 a , 使得 NA? NB = 0? 若存在 ,求出 a 的值 ; 若不存在 ,请说明理由 . 14. 如图 1,

因此 , sin x? x = cos 故 tan x +
= 1 sin x? x cos

16 . 32

1 sin x cos x = + tan x cos x sin x = 32 2. 16 -

所以 , a + b + c = 32 + 16 + 2 = 50. 2. B. 设 AB C - A1 B 1 C1是正三棱柱 , 侧棱的长 为 a ,侧面对角线 AB 1与 B C1互相垂直 . 则
B 1 A? C1 = 0 B

3. A.

由 0< 则 tan
=

已知锐角 △AB C 的外接圆半径 R = 1, BAC = 60 °△AB C 的垂 , 图 1 心、 心分别为 外 H、 ,联结 OH 与 B C 的延长线交于点 P. 求 : O

结合 tan

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]

B 1 B + BA ? BB 1 + B 1 C1

=0

] B 1 B? 1 + B 1 B? 1 C1 + BA? 1 + BA? 1 C1 = 0 BB B BB B ] - a2 + 0 + 0 + cos 60 ° 0 = ] a=
2 . 2
QOA、 POA < POA Ζ tan

2



QOA = 2

QOA = tan 2 POA

POA.

QOA = tan 2

2 tan POA . 2 1 - tan POA

POA = a, tan

QOA = ak ,得

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2a 2 1- . 2 ,即 a = k 1- a 因此 , k > 2. 4. C. 原方程为 x - 1 x - 2 + x + 3 = 11. 分 x ≤ - 3、- 3 < x ≤1、 < x ≤2、 > 2 四 1 x 种情况讨论知满足方程的实数解有 2 个 . 5. A. 令 x = 10, y = 5,得 f ( 10 ) + f ( 25 ) + 250 = f ( 25 ) + 200 + 1. 因此 , f ( 10 ) = - 49. 6. B. 2 欲使得不等式 x + 2 ax + 3 a ≤ 2 只有 2 一个解 ,则抛物线 f ( x ) = x + 2 ax + 3 a 的图 像必须与直线 y = 2 相切 . 2 2 因此 ,方程 x + 2 ax + 3 a = 2,即 x + 2 ax + 3 a - 2 = 0 的判别式 Δ = 4 a2 - 4 ( 3 a - 2 ) = 0. 解得 a = 1, 2. ) 二 、 ( 0 °60 °. 7. , 3 双曲线上横坐标为 a 的点到右焦点的 2 2 3 a a距离 为 e , 到左准线的距离为 2 c 2 a 3 a- . c 2 2 2 3 a a 3 a由条件知 e > a- . 2 c c 2 3 3 1 e- 1 > + 整理得 . 2 2 e 结合 e > 1,解得 e > 2.
ak =

因此 ,只能是 sin y = 1, cos y = 0. 故 y=
2 . 进而 x = 2 007. 2 .

因此 , x + y = 2 007 +

10. 5 2 - 3. 设 A PB =θ . 易知当 △AB P 的外接圆与 x 轴相切时 , A PB 最大 . 延长 BA 与 x 轴交于点 Q. 则 Q - 3, 0 . 2 由圆幂定理知 Q P = QA? = 5 × 则 QB 10.
Q P = 5 2.



a +b b > 2,即 > 3. a a

2

2

因此 ,双曲线两条渐近线所夹锐角的取 ) 值范围是 ( 0 °60 °. , 8. 2 007. 14 13 12 P ( x ) = ( x - 2 007 ) ( x - x + x 11 2 x + … + x - x ) + x. 因此 , P ( 2 007 ) = 2 007.
9. 2 007 + 2 .

故此时点 P 的横坐标为 x = 5 2 - 3. 11. ( 2, 29, 31 ) . 由题设知 p < q < r,结合 p + q = r,知 p = 2. 故 q = r - 2. 于是 , 2 ( r - p) ( q - p) - 27 p = ( q - 1 ) - 55. 2 2 设 ( q - 1 ) - 55 = n ( n 为正整数 ) . 则 ( q - 1 - n ) ( q - 1 + n ) = 55. 解得 ( q, n ) = ( 29, 27 )或 ( 9, 3 ) (舍去 ) . 因此 , ( p, q, r) = ( 2, 29, 31 ) . 12. 81. 由题设知 n 恰有 5 个正约数 . 设 n 的质 α α α 因数分解是 n = p1 1 p1 2 …pk k. 则 n 的正约数个数为 (α + 1 ) (α + 1 ) … (α + 1 ) = 5. 1 2 k 4 因此 , n 具有 p ( p为质数 )的形式 . 4 4 由于 3 = 81, 5 = 625 > 500,故 n 的最大 值为 81. y = x + 2, 三 、 ( 1 )由 13. 得 2 y = ax 2 ax - x - 2 = 0. 设 A ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) . 则 B 1 2 x1 + x2 = , x1 x2 = - .
a a

把两个方程相减得 sin y = 1 + 2 008cos y. 由 0 ≤y ≤ ,知 1 + 2 008cos y ≥1. 2

2 2 由 y ′ ( ax ) ′ 2 ax ,知抛物线 C 在点 N = = 1 处的切线 l的斜率为 kl = 2 a? = 1. 2a 因此 ,抛物线 C 在点 N 处的切线 l与直 线 AB 平行 . ( 2 )假设存在实数 a ,使得 NA? = 0. NB
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故 xN = xM =

x1 + x2

=

1 1 2 , yN = axN = . 2a 4a

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中 等 数 学

由 M 是线段 AB 的中点知
NA? =0Ζ NA NB MN NB Ζ MN
图 2

=

1 AB . 2

ab + bc + ca + 2

1
a

+

1
b

+

1
c

≥9

由 MN

x 轴知

对所有的正实数 a、、都成立 . b c 由平均不等式得
ab +

=

1 1 1 +2 = + 2. 2a 4a 4a

1
a

+

1
b

3

≥3
+ 1
c

ab ? = 3. ? a b

1

1

又 AB = 2? x1 - x2
2

同理 , bc +
1
a
2

1
b

≥3, ca +

1
c

+

1
a

≥3.

= 2 ? ( x1 + x2 ) - 4x1 x2 = 2 ? 1 +2 4a
2

+

8
a

,

把上面三个不等式相加得
ab + bc + ca + 2

则 

=

1 8 1 × 2 + 2 . a 4 a

1
a

+

1
b

+

1
c

≥9.

7 1 (舍去 ) . 解得 a = 或 a = 8 8 7 故存在实数 a = ,使得 NA? = 0. NB 8 14. (1)如图 2,联结 AH ,作 OD B C 于点
D.

综上 , k 的最小值为 2. 16. 必要性 . 若 x1 , x2 , …是一个等比数 列 ,设 xk = a r . 则
x1 x2
n- 1 k- 1

xn xk xk + 1
2

2

=

r

2 ( n - 1) n - 1

1
r
2k - 1

n- 2

k =1

r
2

=
k =0

r

2k

k =1

由 O为 △AB C 的 外 心及 BAC
= 60 ° ,知 =2
BOC

=

r

2 ( n - 1)

- 1 xn - x = 2 . r - 1 x2 - x
x1 x2 x3 x3 + x1 x2 x2 x3
2 2

2 1 2 1

充分性 . 当 n = 2 时 ,两边都等于 1. 当 n = 3 时 ,由
2

=

x3 - x1 x2 - x1
2 2

2

2

BAC

= 120 ° ,

OD = OC cos 60 ° =

1 . 2

由欧拉线的性质知 AH = 2OD = 1. 由正弦定理知 B C = 2R sin A = 3, 故凹 四边形 AB HC 的面积为
1 3 AH? C = . B 2 2
BOC.

化简得 x1 x3 = x2 . 故 x1 、2 、3成等比数列 . x x 假设 x1 , x2 , …, xn - 1 ( n ≥4 ) 成等比数列 , k- 1 记 xk = a r ( k = 1, 2, …, n - 1 ) , xn = aun . 则 由条件知 2 2 un 1 un - 1 1 1 1 + 3 + … + 2n - 5 + n - 2 = 2 . r r r r r un r -1
2 2n - 4 两边同乘以 ( r - 1 ) r 得
n- 3

( 2 )由 H 为 △AB C 的垂心知
B HC = 180 ° BAC = 120 ° =

un (
k =0

2

r ) +r

2k

n- 3

un ( r - 1 )

2

2 2n - 4 = ( un - 1 ) r . 2 n- 1 n- 3 2n - 4 故 un - ( r - r ) un - r = 0,

所以 , B 、 、 、 四点共圆 . C H O 因此 , PO? = PB? . PH PC 又由 O 为 △AB C 的外心 , 并结合圆幂定 2 2 理知 PB? = PO - R . 故 PC 2 2 PO? = PB? = PO - R . PH PC 2 于是 , PO - PO? = 1,即 PO? = 1. PH OH 15. 当 a = b = c = 1 时 ,可得 k ≥2. 下面证明 : 不等式

un - r

n- 1

un + r

n- 3 n- 1

= 0.
n- 1

结合 un > 0,得 un = r ,即 xn = a r . 从而 , x1 , x2 , …, xn成等比数列 . 由数学归纳法知 x1 , x2 , … 是等比数列 . (张鹏程   提供 )

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