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【高考领航】2014届高三数学(理)二轮复习练习:小题精练(十)平面向量


小题精练(十) 平面向量
(限时:60 分钟) π 1.已知非零向量 a,b 满足向量 a+b 与向量 a-b 的夹角为 ,那么下列结论中一定成立 2 的 是( ) B.a=b D.a∥b )

A.|a|=|b| C.a⊥b

2.(2014·泰安模拟)已知向量 a=(2,1),b=(-1,k),若 a⊥(2a-b),则 k 等

于( A.6 C.12 B.-6 D.-12

3.(2014·泉州模拟)定义:|a×b|=|a|·|b|·sin θ ,其中 θ 为向量 a 与 b 的夹角, 若 |a|=2,|b|=5,a·b=-6,则|a×b|等于( A.-8 C.-8 或 8 B.8 D.6 )

→ → 4.(2013·高考福建卷)在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面 积 为( A. 5 C.5 ) B.2 5 D.10

→ 5.(2014·郑州市质检)已知 A(1,2),B(3,4),C(-2,2),D(-3,5),则向量AB在向量 →

CD
上的投影为( A. C. 10 5 3 10 5 ) B. D. 2 10 5 4 10 5

6.已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a·b=-6,则 为( A. 2 3 ) B.- 2 3

x1+y1 的值 x2+y2

C.

5 6

D.-

5 6

7.已知 i 与 j 为互相垂直的单位向量,a=i+2j,b=-i+λ j,且 a 与 b 夹角为钝角, 则 λ 的取值范围是( 1? ? A.?-∞, ? 2? ? )

?1 ? B.? ,+∞? ?2 ?
1? ? C.(-∞,-2)∪?-2, ? 2? ? 2? ?2 ? ? D.?-2, ?∪? ,+∞? 3? ?3 ? ? π? ?π 8.(2014·济南市模拟)若函数 f(x)=2sin? x+ ?(-2<x<10)的图象与 x 轴交于点 A, 3? ?6 → → → 过点 A 的直线 l 与函数的图象交于 B、C 两点,则 (OB+OC)·OA=( A.-32 C.16 B.-16 D.32 )

→ → → 9.(2014·大连市双基测试)设 O 在△ABC 的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则△ABC 的面积 和△AOC 的面积之比为( A.3 C.2 ) B. D. 5 3 3 2

10.已知点 O(0,0),A0(0,1),An(6,7),点 A1,A2,?,An-1(n∈N,n≥2)是线段 A0An 的

n
→ → → 等分点,则|OA0+OA1+?+OAn-1+OAn|等于( A.5n C.5(n+1) B.10n D.10(n+1) ) )

11.(2013·高考陕西卷)设 a,b 为向量,则“|a·b|=|a|·|b|”是“a//b”的( A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12. 在矩形 ABCD 中, AB=1,AD= 3,P 为矩形内一点, 且 AP= μ ∈R),则 λ + 3μ 的最大值为( )

3 → → → , 若AP=λ AB+μ AD(λ , 2

A.

3 2 3+ 3 4

B.

6 2 6+3 2 4

C.

D.

→ → → 1→ → 13.(2014·福州模拟)在△ABC 中,已知 D 是边 AB 上的一点,若AD=2DB,CD= CA+λ CB, 3 则 λ =________. 14.向量 a=(cos 10°,sin 10°),b=(cos 70°,sin 70°),则|a-2b|=________. 15.(2014·湖南省五市十校联考)在△ABC 中,AB=10,AC=6,O 为 BC 的垂直平分线上一 → → 点,则AO·BC=________. 16. (2014·合肥市质量检测)下列命题中真命题的编号是________. (填上所有正确的编号) ①向量 a 与向量 b 共线,则存在实数 λ 使 a=λ b(λ ∈R); ②a,b 为单位向量,其夹角为 θ ,若|a-b|>1,则 π <θ ≤π ; 3

→ → → → → → ③A,B,C,D 是空间不共面的四点,若AB·AC=0,AC·AD=0,AB·AD=0,则△BCD 一定是锐角三角形; → → → → → → → → ④向量AB,AC,BC满足|AB|=|AC|+|BC|,则AC与BC同向; ⑤若向量 a∥b,b∥c,则 a∥c.

小题精练(十)
1.解析:选 A.由题意知(a+b)·(a-b)=0, 即|a| -|b| =0,∴|a|=|b|. 2. 解析: 选 C.因为 a⊥(2a-b), 所以 a·(2a-b)=0, 即 2|a| -a·b=0, 所以 2( 5) -(-2+k)=0,解得 k=12,选 C.
2 2 2 2

a·b -6 3 4 4 3.解析:选 B.∵cos θ= = =- ,∴sin θ= ,∴|a×b|=2×5× = |a||b| 2×5 5 5 5
8. 4.解析:选 C.先利用向量的数量积证明四边形的对角线垂直,再求面积. 1 → 1 → → → → → ∵AC·BD=(1,2)·(-4,2)=-4+4=0,∴AC⊥BD,∴S 四边形 ABCD= |AC|·|BD|= × 2 2 5×2 5=5. → → → → → 5.解析:选 B.依题意得AB=(2,2),CD=(-1,3),|CD|= 10,AB·CD=-2+6= 4 2 10 → → 4,向量AB在向量CD上的投影等于 = . 5 10 6.解析:选 B.由已知得,向量 a=(x1,y1)与 b=(x2,y2)反向,3a+2b=0,即 3(x1, 2 2 x1+y1 2 y1)+2(x2,y2)=(0,0),得 x1=- x2,y1=- y2,故 =- . 3 3 x2+y2 3 7.解析:选 C.由题意知 a=(1,2),b=(-1,λ),

a·b<0?-1+2λ <0?λ< .当 a 与 b 的夹角为π时, λ+2=0 即 λ =-2.综上知, λ的取值范围是(-∞,-2)∪?-2, ?.
8.解析:选 D.由题意知,点 A(4,0),根据三角函数的图象,点 B、C 关于点 A 对称, → → → 设 B(x1,y1),则 C(8-x1,-y1).故(OB+OC)·OA=8×4=32. → → → → 9.解析:选 A.设 AC、BC 的中点分别为 M、N,则已知条件可化为(OA+OC)+2(OB+OC) → → → → =0,即OM+2ON=0,所以OM=-2ON,说明 M、O、N 共线,即 O 为中位线 MN 上的三等 分点. 2 2 1 1 OM= MN= × AB= AB 3 3 2 3 ∴ OM 1 = AB 3

1 2

? ?

1? 2?



S△ABC AB = =3. S△AOC OM

→ → → 10.解析:选 C.取 n=2,则OA0+OA1+OA2=(0,1)+(3,4)+(6,7)=(9,12),所以 → → → 2 2 |OA0+OA1+OA2|= 9 +12 =15,把 n=2 代入选项中,只有 5(n+1)=15,故排除 A、 B、D,选 C. 11.解析:选 C.先讨论平面向量共线的条件,再结合充要条件的概念求解. 若|a·b|=|a||b|, 若 a,b 中有零向量,显然 a∥b; 若 a,b 均不为零向量,则 |a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, ∴|cos〈a,b〉|=1, ∴〈a,b〉=π或 0, ∴a∥b,即|a·b|=|a||b|?a∥b. 若 a∥b,则〈a,b〉=0 或π, ∴|a·b|=|a||b||cos〈a,b〉|=|a||b|, 其中,若 a,b 有零向量也成立, 即 a∥b?|a·b|=|a||b|. 综上知, “|a·b|=|a||b|”是“a∥b”的充分必要条件.

? 3?2 → → → → 2 → → 2 2 → 12.解析:选 B.因为AP=λ AB+μ AD,所以|AP| =|λ AB+μ AD| ,所以? ? =λ |AB ?2?
3 3 → → 2 2 → 2 2 2 | +μ |AD| +2λ μ ·AB·AD,因为 AB=1,AD= 3,AB⊥AD,所以 =λ +3μ .又 4 4 3 3 3 3 2 2 2 =λ +3μ ≥2 3λμ,所以(λ + 3μ) = +2 3λμ≤ + = ,所以 λ + 3μ的 4 4 4 2 最大值为 6 6 2 ,当且仅当 λ = ,μ= 时取等号. 2 4 4

→ → → 2→ → → → → 2→ → 2 → = 13.解析:因为AD=2DB,所以AD= AB,又CD=CA+AD=CA+ AB=CA+ → 3 3 3 CB-CA

(

)

1→ 2→ 2 CA+ CB,所以 λ = . 3 3 3 答案: 2 3

14.解析:∵a-2b=(cos 10°-2cos 70°, sin 10°-2sin 70°), ∴|a-2b|=

(cos 10°-2cos 70°) +(sin 10°-2sin 70°) = 5-4cos 60°= 3. 答案: 3

2

2

→ → → → → → → → → 15.解析:取 BC 边的中点 D,连接 AD,则AO·BC=(AD+DO)·BC=AD·BC+DO·BC= →

AD·BC= (AB+AC)·(AC-AB)= (AC2-AB2)= (62-102)=-32.
答案:-32 16.解析:①不是真命题,当 b=0 时,命题不成立;对于②,|a-b|= a -2a·b+b
2 2



1 → → 2





1 → 2



1 2

1 = 1-2cos θ+1 > 1 , 解 得 cos θ < , 因 为 向 量 夹 角 范 围 是 [0 , π ] , 所 以 2

?π ? 2 2 2 2 2 θ ∈? ,π?;对于③,易知,BD>AB,CD>AC,所以 BD +CD >AB +AC =BC ,所以 ?3 ?
∠BDC 是锐角,同理可证其余两边所对的角都是锐角,所以△BCD 一定是锐角三角形; ④不对,当 C 点位于线段 AB 上时,满足题设条件,但是两向量是反向的;⑤不对,当

b=0 时,命题就不成立.
答案:②③


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