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广东省中山一中等七校2015届高三第二次(12月)联考数学(文)试题


广东省校联合体 2015 届高三第二次联考试卷

文科数学
命题人:中山一中 审题人:宝安中学
本试卷分为第 I 卷和第 II 卷两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第 I 卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项

是符合题目要求的. 1. 已知 z ? 1 ? i ,则 ( z) 2 =( A. 2 B. ? 2 ) C. 2i D. ? 2i )

2. 设全集 U=Z,集合 M= ? 1, 2?,P= ?? 2,?1,0,1,2?,则 P ?CU M =( A. ?0? B. ? 1? C. ?? 1,?2,0? ) D.

D. ?

3. 一枚硬币连掷 2 次,只有一次出现正面的概率为( A.

2 3

B.

1 4

C.

1 3

1 2
).

?x ? 2 ? 4. 已知实数 x、 y 满足约束条件 ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为( ?x ? y ? 6 ?
A.24 B.20
?

C.16

D.12

5.在数列{ an }中,若 a1 ? 1 且对所有 n ? N , 满足 a1a2 A.

an ? n2 ,则 a3 ? a5 ? (
D.

)

25 16

B.

61 16

C. )

25 9

31 15

6.下列算法中,含有条件分支结构的是( A.求两个数的积 C.解一元二次不等式

B.求点到直线的距离 D.已知梯形两底和高求面积 )
0

7.已知向量 | a |? 10, | b |? 12 ,且 a ? b ? ?60 ,则向量 a 与 b 的夹角为( A. 60
0

B. 120

0

C. 135

0

D. 150

? 3x ? 4 ( x ? 2) ? 8.函数 f ( x) ? ? 2 ,则 f ( x) ? 1 的自变量 x 的取值范围为( ( x ? 2) ? ? x ?1



-1-

A. [1, ]

5 3

B. [ , 3]

5 3

C. (??,1)

5 [ , ??) 3

D. ( ??,1)

5 [ ,3] 3

9. M ( x0 , y0 ) 为圆 x 2 ? y 2 ? a 2 (a ? 0) 内异于圆心的一点,则直线 x ? x0 ? y ? y0 ? a 2 与该 圆的位置关系为( A.相离 B.相交 ) C.相切 D.相切或相离

10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

16 3 64 C. 3
A.

B.

80 3
D.

43 3

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分. (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.函数 y ? sin 2 x 的图象中相邻两条对称轴的距离为____________________________. 12.设 F1、F2 为曲线 C1:

x x2 y2 ? y 2 ? 1 与 C1 的一个交点, + =1 的焦点,P 是曲线 C 2 : 6 2 3
a b

2

则△PF1F2 的面积为_______________________. 13.设 a ? 0, b ? 0 .若 2 是 2 与 2 的等比中项,则

1 1 ? 的最小值为 a b
A



【选做题】从 14、15 题中选做 1 题,多做只计 14 题得分!! 14. 如图所示,在△ABC 中,AD 是高线, CE 是中线, DC=BE, DG ? CE 于 G, EC 的长为 8, 则 EG=__________________. 15 直 线 ?
B E

G

D

C

? ? x ? 1 ? 2t ? ? y ? 2 ? 2t

(t 为 参 数 ) 上 到 点 A ( 1 , 2 ) 的 距 离 为 4

2 的点的坐标为

_____________________________. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)

,x ? R . 已知函数 f ( x) ? 2cos x(sin x ? cos x) ? 1
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最小值和最大值.

π 3π 8 4

-2-

17.(本小题满分 12 分) 如图 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 是 PC 的中点. 求证:(1).PA//平面 BDE;(2).平面 PAC ? 平面 BDE.

ABCD , E

P E D O A
18.(本小题满分 14 分) 在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行学生 互评.某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了了解性别对该维度测评结果的影响, 采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 等 优秀 级 频 15 数 (1)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的概 率; (2)由表中统计数据填写下边 2 ? 2 列联表,并判断是否有 90% 的把握认为“测评结果优秀 与性别有关”. 合格 进 尚待改 等级 优秀 合格 进 频数 15 3 表 2:女生 尚待改

C

B

x

5

y

男生 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式:

女生

总计

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

-3-

临界值

P( K 2 ? k0 )
k0

0.05

0.05

0.01

表:

2.706

3.841

6.635

19. 已知椭圆 C :

x2 y 2 3 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 e ? ,其左右焦点分别为 F 1 、 F2 , 2 a b 2

F1F2 ? 2 3 ,设点 M ( x1, y1 ) , N ( x2 , y2 ) 是椭圆上不同两点,且这两点与坐标原点的连线的
斜率之积 ?

1 2 2 .(1)求椭圆 C 的方程;(2)求证: x1 为定值,并求该定值. ? x2 4
开始 A=1,b=0,n=1 输出 a,b N=n+1 A=a+1 B=3b+2 n≤2008 N 结束 Y

20.(本小题满分 14 分)根据如图所示的程序框图,将输出 a,b 的值依次分别记为 a1,a2,?,an,?,a2008;b1,b2,?,bn,?, b2008. (Ⅰ )求数列 { an } 的通项公式; (Ⅱ )写出 b1,b2,b3,b4,由此猜想{ bn }的通项公式,并证 明你的证明; (Ⅲ ) 在 ak 与 ak+1 中插入 bk+1 个 3 得到一个新数列 { cn } , 设数列 { cn }的前 n 项和为 Sn,问是否存在这样的正整数 m,使数 列{ cn }的前 m 项的和 Sm ? 2008 ,如果存在,求出 m 的值,如果 不存在,请说明理由.

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln

x . a

(1)若曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线为 x ? y ? 1 ? 0 ,求 a 的值; (2)设 g ( x) ?

x?a ax

, a ? 0 ,证明:当 x ? a 时, f ( x) 的图象始终在 g ( x) 的图象的下方; ( e 为自然对数的底数) ,h' ( x ) 表示 h( x) x ? g ( x)] ,

(3) 当 a ? 1 时, 设 h( x) ? f ( x) ? e[1 ?

B( x2 , y2 ) , x1 ? x2 , 导函数, 求证: 对于曲线 C 上的不同两点 A( x1 , y1 ) , 存在唯一的 x 0 ? ( x1 , x2 ) ,
使直线 AB 的斜率等于 h' ( x0 ) .

-4-

七校联合体 2015 届高三第二次联考试卷

文科数学参考答案
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.D.解:Z=1+ z ? 1 ? i , z ? 1 ? i , ( z)2 ? ?2i ,故选 D. 2.C .集合 P= ?? 2,?1,0,1,2

?,M= ?1, 2?,CuM = ?x ? z且x ? 1, x ? 2 ?,? P ? CuM =

?? 2,?1,0 ?.故选 C.
3.D 本题主要考察的是古典概型,一枚硬币连掷 2 次可能出现正正,反反,正反,反正四 种情况,而只有一次出现正面的有两种,? P=

2 1 = 4 2

故选 D.

4.B 解.目标函数在点(2,4)处取得最大值 20 故选 B 5.B 解. an ?

9 25 61 n2 ? a3 ? , a5 ? , a3 ? a5 ? ,故选 B.此题也可求 a2 , a3 , 2 4 16 16 (n ? 1)

a4 , a5 .
6.C 解,A、B、D 不含条件分支,解一元二次不等式要用到条件分支故选 C. 7.B 解.由 a : b = a . b . cos? ? ?60 ? cos ? = ? 8.D 本题主要考察分式,绝对值不等式的解法.

1 0 ,故 ? ? 120 ,选 B. 2

?x ? 2 ?x ? 2 5 5 ? 或? ? 2 ? x ? 3 或 x ? 1 或 ? x ? 2 ? x ? 1 或 ? x ? 3 选 D. ? 2 3 3 ? 1 ? 3x ? 4 ? 1 ? ? x ?1
2 2 A 解.点 M 在圆内故 x0 ? y0 ? a2 ,圆心到直线的距离 d ?

a2
2 2 x0 ? y0

? a .故直线与圆

相离.选 A. 10.解析: C 根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和三棱锥的组合体, 如图所示,且 EA ? 平

D 底 面 ABCD 为 正 方 形 , 则 有 面 ABCD , FD ? 平 面 A B C ,

FD ? 4, AE ? 2, AD ? DC ? 4, FD // EA ,所以 F 和 D 到平面 AEB 的距离相等,
且为 4 ,故 VF ? AEB ?

1 1 16 ? AD ? ? ? 4 ? 2 ? 4 ? , 3 2 3 1 1 64 VF ? ABCD ? ? S四形ABCD ? FD ? ? 4 ? 4 ? 4 ? ,则该几何体的体积为 3 3 3 16 64 80 ? ? . 3 3 3
BAE

1 ?S 3

-5-

二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 11.

? 2? 解:相邻对称轴间的距离为半个周期,故此题关键是求函数的周期.T= =? . 2 2

12. 2 , 此题考察的是椭圆、双曲线的基本概念. 13 解 析 : 4 由 题 意 知 (

22 ) ?

a

?2 b ? 2a ? b ?

,1 又 a?0 b ,?

, 所 以 0

1 1 1 1 b a b ? ? ( ? )a(? b ? ) ? 1 ? ? 1 ? 2 a b a b a b a
14.4 解:连接 DE,则 DE=

1 1 a ? 的最小值为 4 . ? ,所以 4 ? a b b

1 AB=BE=DC.∴DG 平分 EC,故 EG=4. 2

15.(-3,6)或(5,-2)考查的是直线的参数方程问题.点 P( x, y ) 为直线上的点

PA ? (1 ? 2t ? 1)2 ? (2 ? 2t ? 2) 2 ? 4 2 ,解得 t ? 2 2 或 t ? ?2 2 ,
故 P(-3,6)或(5,-2). 16. (本小题满分 12 分) 解析:(1) f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 因此,函数 f ( x ) 的最小正周期为 π .(5 分) (2)解法一 因为 f ( x) ? 减函数,

π 2 sin(2 x ? ) .(3 分) 4

π π 3π 3π 3π 2 sin(2 x ? ) 在区间 [ , ] 上为增函数,在区间 [ , ] 上为 4 8 8 8 4

3π 3π 3π π π ) ? 2 , f ( ) ? 2 sin( ? ) ? ? 2 cos ? ?1 ,(11 分) 8 4 2 4 4 π 3π 故函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最大值为 2 ,最小值为 ?1 .(12 8 4
又 f( )?0, f( 分) 解法二 作函数 f ( x) ?

π 8

π 2 sin(2 x ? ) 在长度为一个周期的区间 4

π 9π [ , ] 上的图象如图:(11 分) 8 4 π 3π 由图象得函数 f ( x ) 在区间 [ , ] 上的最大值为 2 ,最小值为 8 4 3π f ( ) ? ?1 .(12 分) 4
17. (本小题满分 12 分) 证: (1) 连接 AC、OE,AC ? BD=O, ???? (1 分)

P E D

在△PAC 中,∵E 为 PC 中点,O 为 AC 中点.∴PA // EO,?? (3 分) 又∵EO ? 平面 EBD ,PA ? 平面 EBD,∴PA //BDE.???? (6 分)

C O

-6-

A

B

(2)∵PO ? 底面 ABCD,∴PO ? BD. 又∵BD ? AC,∴BD ? 平面 PAC. 又 BD ? 平面 BDE,∴平面 PAC ? 平面 BDE. 18.(本小题满分 14 分) 解析:(1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5, y ? 20 ? 18 ? 2 (2 分)

???? (8 分) ???? (10 分) ???? (12 分)

m 45 ? , m ? 25 , 500 500 ? 400

表 2 中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a, b, c ,尚待改进的 2 人为 A, B , 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为:

(a, b),(a, c),(b, c),( A, B),(a, A),(a, B),(b, A),(b, B),(c, A),(c, B) ,共10 种.(4 分)
设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格”, 则 C 的结果为: (a, A),(a, B),(b, A),(b, B),(c, A),(c, B) ,共 6 种. (6 分) ∴ P (C ) ? (2) 优秀 非优秀 总计

6 3 3 ? , 故所求概率为 . 10 5 5
男生 15 10 25 (10 分) 女生 15 5 20

(8 分)

总计 30 15 45

∵ 1 ? 0.9 ? 0.1 , P( K ? 2.706) ? 0.10 ,
2

而K ?
2

45(15 ? 5 ? 15? 10) 2 45? 152 ? 5 2 9 ? ? ? 1.125 ? 2.706, (12 分) 30 ? 15? 25? 20 30 ? 15? 25 ? 20 8

所以没有 90% 的把握认为“测评结果优秀与性别有关”. (14 分 ) 19. (本小题满分 14 分) 解析:(1)依题意, c ? 3 ,而 e ? 则椭圆 C 的方程为: (2)由于

3 2 2 2 ,∴ a ? 2 , b ? a ? c ? 1 , 2

x2 ? y 2 ? 1 ;(6 分 ) 4

y1 y2 1 ? ? ? ,则 x1 x2 ? ?4 y1 y2 , x12 x22 ? 16 y12 y22 (8 分 ) x1 x2 4

-7-



x12 x2 x2 x2 ? y12 ? 1 , 2 ? y2 2 ? 1 ,则 1 ? 1 ? y12 , 1 ? 2 ? y2 2 , 4 4 4 4 x12 x2 )(1 ? 2 ) ? y12 y2 2 ,则 (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ? 16 y12 y22 ,(11 分 ) 4 4

∴ (1 ?

2 (4 ? x12 )(4 ? x22 ) ? x12 x22 ,展开得 x12 ? x2 ? 4 为一定值(14 分 )

20.(本小题满分 14 分) 解析:(Ⅰ )a1=1,an+1 =an +1,∴ { an }是公差为 1 的等差数列.∴ an=n.3 分 (Ⅱ )b1=0,b2=2,b3=8,b4=26, 猜想 bn ? 3n ?1 ? 1 .证明如下:bn+1 =3bn+2,bn+1+1=3(bn+1), ∴{ bn+1}是公比为 3 的等比数列.∴bn ? 1 ? (b1 ? 1)3n?1 ? 3n?1 .则 bn ? 3n ?1 ? 1 .7 分 (Ⅲ)数列 {cn } 中, ak 项(含 ak )前的所有项的和是

k ? k ? 1? 3k ? 3 ? , 2 2 37 ? 3 ? 1120 ? 2008 ,当 k ? 8 时,其和是 估算知,当 k ? 7 时,其和是 28 ? 2 38 ? 3 36 ? ? 3315 ? 2008 ,又因为 2008 ? 1120 ? 888 ? 296 ? 3 ,是 3 的倍数, 2

(1 ? 2 ?

? k ) ? (31 ? 32 ?

? 3k ?1 ) ?

故存在这样的 m ,使得 Sm ? 2008 ,此时 m ? 7 ? (1 ? 3 ? 32 ? 21. (本小题满分 14 分)

? 35 ) ? 296 ? 667 .14 分

1 1 ,此时 f '(1) ? 1 ,又 f (1) ?ln ,所以曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的 x a 1 1 切线方程为 x ? y ? 1 ? ln ? 0 ,由题意得, ?1 ? ln ? ?1 , a ? 1 . ……… 3 分 a a
解析:(1) f '( x ) ? (2) ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ln x ? ln a ?

x?a ax

, ( x ? a). 则 ? ?( x) ? ?

( x ? a )2 ? 0. 2 x ax

? ? ( x) 在 (0,??) 单调递减,且 ? (a) ? 0.

? 当 x ? a 时, ? ( x) ? ? (a) ? 0, 即 f ( x) ? g ( x) , ? 当 x ? a 时, f ( x) 的图像始终在 g ( x) 的图象的下方.
(3) 由题, h( x) ? ln x ? ex . ∵ h' ( x0 ) ? k AB ,∴ 即 x0 ln …………… 7分

ln x2 ? ln x1 ? e( x2 ? x1 ) 1 x ? x1 x ?e ? ,∴ 2 ? ln 2 ? 0 , x0 x2 ? x1 x0 x1
………………………………………9 分

x2 ? ( x2 ? x1 ) ? 0 , x1

-8-

设 ? ( x) ? x ln

x2 ? ( x2 ? x1 ) ,则 ? ( x) 是关于 x 的一次函数,故要在区间 ( x1 , x2 ) 证明存在唯 x1

一性, 只需证明 ? ( x) 在上满足 ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 .下面证明之:

x2 x ? ( x2 ? x1 ) , ? ( x2 ) ? x2 ln 2 ? ( x2 ? x1 ) , x1 x1 为了判断 ? ( x1 ),? ( x2 ) 的符号,可以分别将 x1 , x 2 看作自变量得到两个新函数 ? ( x1 ),? ( x2 ) ,

? ( x1 ) ? x1 ln

讨论他们的最值:

? ( x1 ) ? x1 ln

x2 x ? ( x2 ? x1 ) ,将 x1 看作自变量求导得 ? ' ( x1 ) ? ln 2 ? 0 , x1 x1 x2 ? ( x2 ? x2 ) ? 0 ;………..11 分 x2

? ? ( x1 ) 是 x1 的增函数,
∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? x2 ln 同理:

? ( x2 ) ? x2 ln
增函数,

x2 x 将 x2 看作自变量求导得 ? ' ( x2 ) ? ln 2 ? 0 , ? ( x2 ? x1 ) , ? ? ( x2 ) 是 x2 的 x1 x1 x1 ? ( x1 ? x1 ) ? 0 ; x1

∵ x1 ? x2 ,∴ ? ( x2 ) ? ? ( x1 ) ? x1 ln ∴ ? ( x1 ) ? ? ( x2 ) ? 0 ,

x2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有零点 x0 ,……………..13 分 x1 x x x 又 2 ? 1,? ln 2 ? 0 ,函数 ? ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 是增函数, x1 x1 x1 x ∴函数 ? ( x) ? x ln 2 ? ( x2 ? x1 ) 在 ( x1 , x2 ) 内有唯一零点 x0 ,从而命题成立. x1
∴函数 ? ( x) ? x ln

……14 分

-9-


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