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复合函数求零点的方法


已知函数 的 上的图象如下图所示.给出下列四个命题: ①方程 有且仅有 6 个根; ②方程 有且仅有 3 个根; ③方程 有且仅有 5 个根; ④方程 有且仅有 4 个根. 需要详解 另外,复合函数的零点问题,也详细说明一下,比如说子函数有 3 个零点,复合到含有 2 个零点的母函数就变成有 2+3=5 个零点或者是 2*3=6 个零点(假设子母函数定义域都是 R) 向左转|向右转

1)f[g(x)]:f(x)存在三个零点,分别是[-2,-1][0][1,2];而 g(x)的值在[-2,-1]上对应的 x 有两个, 在[1,2]上对应的 x 有两个,g(x)=0 的根也是两个,所以复合函数有六个根。 2) f(x)+g(x),这个答案是有些问题的, 这个要看两个函数复合后函数在某一区间的单调问题, 如果复合后在譬如[0,1]区间上是单调的,那这个答案应该是对的 3)f(x)*g(x),这个答案是最简单的,只要 f(x)或 g(x)其中有一个为 0,且 f(x)和 g(x)不同时为 0,这样 f(x)和 g(x)的乘积的根就是他们分别得根数相加。 4)g[f(x)],其道理同(1),g(x)有两个零点,在[-2,-1]和[0,1]内,f(x)的值在[-2,-1]内对应的 x 有 1 个,f(x)的值在[0,1]内对应的 x 有三个,加起来是四个。 对于其他的复合函数的问题,只能说 f(x)*g(x)的根数是二者的根数相加(f(x)和 g(x)不同时 为 0),若 f(x)和 g(x)在 x=x1 时同时为 0,则要相应减去相同的根数。 其他的 f[g(x)]的问题只能是具体问题具体分析了。 至于 f(x)+-g(x)的问题是最为复杂的。


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