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综合法与分析法的综合应用


综合法与分析法的综合应用 【典例】(12分)(2015·黄山模拟)(1)设x≥1,y≥1,证明 x?y? 1 1 1 ? ? ? xy. xy x y (2)设1<a≤b≤c,证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 【解题导思】 【规范解答】 (1)由于x≥1,y≥1,所以x+y+ 1 ? 1 ? 1 +xy?xy(x+y)+1≤y+x+ xy x y (xy)2,……………………………………………………………2分 将上式中的右式减左式,得[y+x+(xy)2]-[xy(x+y) +1]=[(xy)2-1]-[xy·(x+y)-(x+y)]=(xy+1)(xy-1) -(x+y)(xy-1)=(xy-1)(xy-x-y+1) =(xy-1)(x-1)(y-1) ………………5分 既然x≥1,y≥1,所以(xy-1)(x-1)(y-1)≥0,从而所要证明的不等式 成立. ………………………………………………………………6分 (2)设logab=x,logbc=y,由对数的换底公式得 log ca ? 1 1 1 ,log ba ? ,log cb ? ,log a c ? xy, xy x y ………………………………………………………………………8分 1 1 于是,所要证明的不等式即为x+y+ 1 ≤ ? ? xy, xy x y ………………………………………………………………………10分 其中x=logab≥1,y=logbc≥1. 故由(1)可知所要证明的不等式成立. ………………………………………………………………………12分 【满分心得】 1.证明问题的常用思路: 在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题 思路,再用综合法表述解答或证明过程. 2.关键步骤要全面: 证明数学问题时,一些关键的步骤必不可少,如果写不全,会扣掉相应 的步骤分,如本例(1)中作差化简后的变形要彻底,(2)中要注明 x≥1,y≥1.

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